中学受験の算数 分配算—倍の関係を同じ長さの線分に分けて考える｜武蔵野個別指導塾

48枚を1つ分と3つ分に分ける線分図と、27枚の差を3つ分と見る例を使い、割る数の違いを確かめます。

よくあるのは、小5が2人に配る数の合計を見て、「一方がもう一方の3倍だから、合計を3で割ろう」と考える場面です。3倍の側には、もとになる数と同じ大きさが3つあります。しかし合計には、もう一方の1つ分も入っています。線分を同じ長さに区切って数えれば、何で割るのかが見えてきます。数を当てずっぽうに探す前に、どの量を1つ分と見るかを決めましょう。

合計から探す場合と差から探す場合

分配算（ぶんぱいざん）では、2つの量の間にある倍の関係を使って、それぞれの量を求めます。例えば、同じ種類の品物を2人に分け、一方が他方の何倍かと、2人分の合計がわかっている型があります。合計は両方を合わせた量なので、線分の両方の区切りを数えます。

もう1つは、倍の関係と2人の差がわかっている型です。差は大きい方から小さい方を取り去った残りです。合計のときと同じように両方の区切りを足すのではなく、重なった部分を除いた区切りを数えます。同じ「3倍」が出てきても、与えられた数が合計か差かで割る数は変わります。

条件を読んだら、まず「何と何を比べるのか」「どちらがもとになるのか」を言葉で押さえます。合計を表す数に丸、差を表す数に線を引いておくと、計算の途中で意味を取り違えにくくなります。答えを求めた後も、その数が両方の条件を満たすか確かめます。

もとになる量を1つ分にする

同じ長さの線分を1つ分として、もとになる小さい量を描きます。大きい量がその3倍なら、同じ長さの線分を3つ続けます。図1のように、合計には1つ分と3つ分が入り、差には大きい方のうち小さい方と重ならない2つ分が入ります。

図1の区切りは、どれも同じ量を表します。小さい量そのものが1つ分であり、大きい量の1つ分も同じ大きさです。合計を使うなら1 + 3で4つ分、差を使うなら3 − 1で2つ分です。どちらの計算も、最初に何つ分なのかを図で確認してから行います。

「AはBの3倍」という文では、Bがもとです。Aを1つ分にして3つ並べるのではありません。名前を線分の横に書き、文を「Bの3つ分がA」と言い直してから描くと、向きを確かめられます。また、品物が同じ種類でなければ数をそのまま合わせられません。問題では単位をそろえ、どの数が何を表すかを式の横にも書いておきます。

線分の長さは実際の品物の大きさではなく、個数の関係を示しています。1つ分が何個かは、合計や差を使うまではわかりません。それでも区切りの数は倍の条件から先に決められるので、未知の量を整理できます。

基本例題：合計を分ける

赤い箱と青い箱に、同じ大きさのカードを合わせて48枚入れます。青い箱の枚数は赤い箱の3倍です。それぞれ何枚ですか。整数で答えましょう。

赤い箱を1つ分にすると、青い箱は3つ分です。図2のように2本を左端からそろえて描き、全体の区切りを数えます。赤に1つ、青に3つありますから、48枚は4つ分です。

まず、合計に含まれる区切りの数を求めます。

1 + 3 = 4（つ分）

次に、同じ大きさの4つ分が48枚なので、1つ分を求めます。

48 ÷ 4 = 12（枚）

赤い箱は1つ分ですから12枚です。青い箱はその3つ分なので、次のように求めます。

12 × 3 = 36（枚）

答えは赤い箱が12枚、青い箱が36枚です。48から赤い箱の12枚を引いて36枚と求めても、同じ結果になります。どちらの方法でも、求めた枚数を最初の条件に戻すところまでが解き方です。

合計は12 + 36 = 48（枚）です。倍の関係は36 ÷ 12 = 3（倍）です。合計が合うだけでは倍の条件も合うとは限らないので、両方を別々に確かめます。例えば24枚ずつなら合計は48枚ですが、青は赤の3倍ではありません。

もし48を3で割ると16になります。これを赤い箱の枚数として青を48枚にすると、合計は64枚になり、問題の48枚と合いません。48枚には赤い箱の分も入っているためです。図に戻って、青い箱の3区切りに加えて赤い箱の1区切りも囲めば、割る数を直せます。

差が与えられたときの分かれ目

姉と弟が同じ種類のシールを持っています。姉の枚数は弟の4倍で、姉は弟より27枚多く持っています。それぞれ何枚ですか。整数で答えましょう。

弟を1つ分とすると、姉は4つ分です。左端をそろえた線分を考えると、姉の4つ分から弟の1つ分を取り去った残りが差です。27枚は2人の合計ではなく、残った3つ分を表します。

4 − 1 = 3（つ分）

27 ÷ 3 = 9（枚）

弟は9枚です。姉はその4倍です。

9 × 4 = 36（枚）

答えは姉が36枚、弟が9枚です。36 − 9 = 27（枚）で差を、36 ÷ 9 = 4（倍）で倍の関係を確かめられます。合計は45枚ですが、問題で与えられた27枚はこの合計ではありません。

合計の問題では両方を合わせた区切りが対象で、差の問題では重ならない区切りが対象です。「多い」という言葉に気を取られて足し算を選ぶのではなく、「何枚多い」は2つの量の差だと読みます。どちらの区切りを囲むかを決めてから、割り算に進みましょう。

条件が逆に「弟は姉の4倍」と書かれていたら、1つ分は姉になります。大きい方の名前だけを入れ替え、同じ関係を読み直してください。数字が同じでも、誰にどの答えを付けるかは文の向きで決まります。

間違えた式を図に戻す

基本例題で、48 ÷ 3 = 16として赤い箱を16枚とする誤りを考えます。原因は、青い箱の3つ分を、2箱の合計だと思ったことです。図3のように合計には赤の1つ分も含まれます。3つ分だけを囲んだ線を、両方の4つ分を囲む線に直します。

図3では、上の3つ分が青い箱、下の1つ分が赤い箱です。48枚として囲むのは2本の線分を合わせた4つ分です。したがって48 ÷ 4 = 12と直します。16を答えにする前に、赤16枚、青48枚として合計を調べれば、条件とのずれにも気づけます。

差の問題で逆の間違いも起こります。姉と弟の例で27を5つ分として割ると、合計の区切りを差に使ったことになります。差は姉の線分から弟と重なる1つ分を除いた部分です。図を描いて残りを指さし、「この部分が27枚」と言えるか確かめてください。

計算が割り切れないときは、すぐに筆算だけをやり直すのではなく、合計と差の読み違い、倍の向き、区切りの数を順に見直します。問題によっては整数にならない条件もありますが、個数を整数で答える今回の問題では、正しい区切り方なら整数になります。

線分を描くときの確かめ方

問題を読み終えたら、数字を使う前に2つの名前を紙に書きます。次に「こちらはあちらの何倍」という文の「あちら」に当たる方を1つ分にします。1つ分の線を引き、その線と同じ長さを必要な数だけ並べます。長い線を見た目で何となく分けると、区切りの大きさがそろわず、1つ分を等しく扱う理由が見えなくなります。定規で長さを測る必要はありませんが、同じ量を同じ長さで表すことは意識します。

2本の左端をそろえると、差は右端のずれとして見えます。左端がずれていると、余った部分がどちら側にも現れ、差として数える場所がわかりにくくなります。合計を考えるときも、2本を別々に描いてから両方をまとめて囲みます。片方の線分の長さが合計だと読み違えないためです。

途中式に付ける「つ分」は、カードの枚数やリボンの長さと区別するための言葉です。区切りが4つということと、1つ分が4枚ということは違います。割る前には1つ分が何枚かまだ決まっていません。割った後で初めて、その結果に枚や個などの単位を付けられます。最後に大きい量を求めるときは、1つ分に並んだ区切りの数をかけます。

検算で合計や差が合わなければ、まず足し算や引き算をもう一度行います。それでも合わなければ、元の問題に戻って、48枚や27枚が図のどの範囲を表すかを見直します。合計や差が合っていても倍が合わない場合は、1つ分にする側や、かけた倍の数を調べます。間違いを見つけた場所から直せば、最初からすべてを書き直す必要はありません。

練習で答えを確かめるときは、図の区切りを数える方法と、出した数を条件へ戻す方法の両方を使います。例えば合計の問題なら、2つの答えを足して指定の合計に戻し、大きい答えを小さい答えで割って倍も調べます。差の問題なら、足す代わりに大きい答えから小さい答えを引きます。何を検算しているかを区別すると、片方の条件の見落としを防げます。

答えが整数になったことだけでも安心せず、問題の言葉と答えの名前を対応させます。大きい方を聞かれているのに1つ分の小さい方を書けば、計算が正しくても答えは違います。2つとも求める問題では、名前と単位を添えると、入れ替えにも気づきやすくなります。倍の文をもう一度読み、どちらがもとだったかを最後に確かめてください。

図の上に合計や差の数を書き込むと、どの範囲の数かを後から追いやすくなります。式と図を行き来しながら、答えまでの道すじを残しましょう。

練習：どの区切りが与えられた数か

次の4問は、答えを整数で書きましょう。先に4問とも読み、合計か差かを線分の横に書いてから解いてみてください。

1. かごAとBに木の実が合わせて70個あります。BはAの4倍です。それぞれ何個ですか。
2. 2本のリボンの長さの合計は96 cmです。長いリボンは短いリボンの5倍です。それぞれ何cmですか。
3. 白い石は黒い石の3倍あり、白い石は黒い石より28個多いです。それぞれ何個ですか。
4. 大きい袋の豆は小さい袋の6倍で、大きい袋は小さい袋より45粒多いです。それぞれ何粒ですか。

練習の答えと道すじ

1. Aを1つ分とするとBは4つ分です。合計は1 + 4 = 5（つ分）なので、70 ÷ 5 = 14（個）がAです。Bは14 × 4 = 56（個）です。14 + 56 = 70、56 ÷ 14 = 4となり、両方の条件に合います。答えはAが14個、Bが56個です。

2. 短いリボンを1つ分とすると長いリボンは5つ分です。合計は1 + 5 = 6（つ分）ですから、96 ÷ 6 = 16（cm）が短い方です。長い方は16 × 5 = 80（cm）です。16 + 80 = 96、80 ÷ 16 = 5で確かめます。答えは短い方が16 cm、長い方が80 cmです。

3. 黒い石を1つ分とすると白い石は3つ分です。差は3 − 1 = 2（つ分）なので、28 ÷ 2 = 14（個）が黒い石です。白い石は14 × 3 = 42（個）です。42 − 14 = 28、42 ÷ 14 = 3で確かめます。答えは黒が14個、白が42個です。

4. 小さい袋を1つ分とすると大きい袋は6つ分です。差は6 − 1 = 5（つ分）ですから、45 ÷ 5 = 9（粒）が小さい袋です。大きい袋は9 × 6 = 54（粒）です。54 − 9 = 45、54 ÷ 9 = 6で確かめます。答えは小さい袋が9粒、大きい袋が54粒です。

1と2では合計の区切りを足し、3と4では差の区切りを引きました。同じ倍の関係でも、与えられた数の意味によって式が変わります。解答と違う式になった場合は、割った数が図のどの区切りを数えたものか説明してみましょう。

覚えておくこと

もとになる小さい量を1つ分として、倍の数だけ同じ長さを並べます。 合計なら両方の区切りを足し、差なら重ならない区切りを数えます。 与えられた数をその区切りの数で割り、1つ分を求めます。 答えを合計または差と倍の両方に戻して確かめます。

家で見守る方へ

お子さまが割る数で迷ったら、すぐに式を教える前に、どちらを1つ分にしたか尋ねてください。次に「問題の数は図のどこからどこまで」と聞き、指で示してもらいます。合計なのに片方だけを示した場合は、もう片方も合わせるよう一手だけ促します。

差の場合は、2本を左端でそろえて、重なる部分と残る部分を見分けられるか確かめます。答えが合っていても、たまたま数を選んだのか、区切りを数えたのかで次に必要な助けは違います。説明が途中で止まっても、描けた部分を使って条件を読み直せます。同じ長さの1つ分が見えれば、合計と差はそれぞれ図の中で確かめられます。