中学受験の算数 ダイヤグラム—折れ線の傾きと交点から移動の様子を読む｜武蔵野個別指導塾

時間と場所の組を折れ線に置き、横線が表す停止や、交点で2人が同じ場所にいることを読み取ります。

よくあるのは、小6のお子さまが移動の図にある横線を見て、出発地点へ戻ったと考える場面です。横へ進む線を道の形として見ると、そう思いやすくなります。しかし、この図の横方向は時間を表します。横線の間も時間は進みますが、縦の位置は変わりません。出発地点から同じ道のりの場所にとどまっているのです。時間と場所を別々に読み、線が表す動きを言葉にしてみましょう。

図からたずねられること

ダイヤグラムは、時間の経過と場所の変化を折れ線にした図です。道そのものの形を描いた地図ではありません。左から右へ進むと時間が進み、線の高さは決めた地点からどれだけ離れているかを示します。道を曲がっていても、図に曲がり角を描く必要はありません。

出方にはいくつかの型があります。1つ目は、折れ線を読んで、何分間歩いたか、どこで何分間止まったかを答える型です。横線は停止、右上がりの線は基準の地点から遠ざかる動きを表します。右下がりなら、その地点へ近づいています。

2つ目は、2人の線が交わる点から、同じ時刻に同じ場所にいることを読む型です。交点（こうてん）の高さと横の位置をそれぞれ読み、出会った場所と時刻を区別します。線が交わるだけで、どちらかが止まったと決めることはできません。

3つ目は、途中で速さが変わったり止まったりする条件から、自分で折れ線を描く型です。変化の前後を分けて点を置き、時間の順に結びます。どの型でも、まず横と縦の軸（じく）が何を表すかを確かめます。

時間と場所を一組にする

図1では、横軸（よこじく）に出発からの時間、縦軸（たてじく）に出発地点からの道のりを取ります。点は「何分後に、出発地点から何mの場所にいるか」を表します。例えば6分後の点が300mの高さなら、その時点の場所は出発地点から300mです。その人がこれまでに歩いた道のりが必ず300mとは限りません。途中で引き返していたら、歩いた道のりと現在の場所は別の量です。

図1のように、0分から6分までは出発地点から300mまで進み、6分から10分までは300mの場所で止まっています。横線は4分間、位置が変わらないことを表します。10分から14分までは300mから100mへ近づきます。出発地点に戻ったのは縦の値が0になったときであり、横線の終わりではありません。

線の傾き（かたむき）は、同じ時間に位置がどれだけ変わるかを表します。同じ目盛りの図で、右上がりの線が急なほど、遠ざかる速さは大きくなります。右下がりの線も、同じ時間の位置の変化が大きいほど移動の速さは大きくなります。目盛りの取り方が違う別々の図では見た目だけで比べず、道のりの変化を時間で割ります。

図を描くときは、最初に横軸の1目盛りが何分、縦軸の1目盛りが何mかを決めます。時間が同じ幅だけ進むところは等しい間隔にし、道のりについても等しい量を等しい間隔にします。点の高さを読む基準の地点は、動く人が変わってもそろえます。2本の線を重ねるときに基準が違うと、同じ高さでも同じ場所とは言えません。

基本例題：途中で待つ道のり

出発地点からまっすぐ続く道を、あきさんが一定の速さで歩きます。出発してから6分で300mの地点に着き、そこで4分間休みました。その後、出発地点へ向かって一定の速さで歩き、休み終えてから4分で出発地点から100mの地点に着きました。図を描き、休みの前と後の速さをそれぞれ整数の分速何mかで答えましょう。

まず、時間と場所の組を整理します。出発は0分後、0mです。休み始めは6分後、300mです。休み終わりは6 + 4 = 10分後で、場所は同じ300mです。最後は10 + 4 = 14分後、100mです。4つの点を時間順に結ぶと図2のようになります。

最初の区間で進んだ道のりは300m、時間は6分です。1分あたりの道のりを求めます。

300 ÷ 6 = 50

休む前は分速50mです。休みの間の4分は、最初の300mを歩いた時間には入れません。休みの線は高さが変わらないので、歩いた道のりは0mです。

休み終わった後は、出発地点から300mの地点から100mの地点へ移りました。近づいた道のりを求めます。

300 − 100 = 200

200mを4分で歩いたので、次の計算をします。

200 ÷ 4 = 50

休んだ後も分速50mです。右下がりの線は出発地点からの道のりが減ることを表しますが、歩いた道のりは200mあります。2つの速さが同じでも、向きが反対なので、線の傾く向きは逆です。

答えを条件に戻すと、50 × 6 = 300で最初の地点に着きます。休みの4分間は位置を変えず、その後50 × 4 = 200m戻れば、300 − 200 = 100mの地点です。折れ線の各区間と問題の条件が対応しています。

休みを見落として出発から14分までを1本の直線で結ぶと、6分後にも10分後にも300mの場所にいる条件が表せません。また、休み終わりの時刻を4分後としてしまうと、休み始めより前になります。4分は時刻ではなく、6分後からの長さです。区間の始まりと終わりを言葉にしてから点を置くと、間違いに気づけます。

速さが変わるところで線を分ける

出発地点から600m離れた地点まで、いおりさんが歩きます。はじめの4分は分速60m、残りは分速90mで進みます。一方、出発地点から同時に、かいさんが分速80mで同じ方向に歩きます。出発後、2人が初めて再び同じ場所にいるのは何分後ですか。整数の分で答え、図を描くための点も求めましょう。2人はそれぞれ600mの地点で止まるものとします。

まず、いおりさんの速さが変わる地点を求めます。

60 × 4 = 240

4分後は出発地点から240mです。600mまで残る道のりは次のとおりです。

600 − 240 = 360

360 ÷ 90 = 4

そこから4分で600mに着きます。いおりさんの線は、0分後の0m、4分後の240m、8分後の600mを結びます。8分後以降は600mの高さに横線を引きます。

かいさんは4分後に次の場所にいます。

80 × 4 = 320

この時点でかいさんは320 − 240 = 80m先です。その後、いおりさんは1分に90m、かいさんは1分に80m進むので、間は1分ごとに90 − 80 = 10mずつ縮みます。80 ÷ 10 = 8分と計算できますが、これは両方がその速さで歩き続けると仮定した時間です。いおりさんは4分後に目的地に着いて止まるため、そのまま8分後まで歩き続ける図にはできません。

いおりさんが着く8分後には、かいさんは80 × 8 = 640m進む計算ですが、600mで止まる条件です。かいさんが着くのは600 ÷ 80 = 7.5分後です。したがって、7.5分後から8分後まで、かいさんは600mで待ちます。いおりさんが8分後に着くと、同じ場所になります。答えは出発の8分後です。

図にするには、かいさんの線を0分後の0mから7.5分後の600mまで引き、その後は横線にします。いおりさんの線が8分後にその横線に達する点が、再び同じ場所にいる最初の点です。出発の点も2本の線が重なりますが、問題は「もう一度」とたずねています。8分後からは2人とも止まっているので、その後も同じ場所にいます。

分かれ目は、計算で求めた時間が、設定した速さで動く区間に入っているかどうかです。途中で目的地に着く人がいれば、そこで線を折って横に延ばします。折れ線を先まで延長して得た交点が、その区間の外にあるときは、元の条件に戻って描き直します。

横線を見たときの誤答を直す

図3は、出発地点から400mの地点まで8分で進み、そこで5分間止まり、さらに4分かけて出発地点に戻る動きを表します。一定の速さで進む区間を直線で結んでいます。図3の横線を見て「8分後から13分後の間に出発地点へ戻った」と答えるのは誤りです。

原因は、横線を道の上の横向きの移動として見てしまうことです。横軸は時間なので、右へ進むことは時間がたつことを表します。8分後と13分後の線の高さはどちらも400mです。縦の値が同じなので、その間は400mの地点で止まっています。

修正するときは、横線の両端から縦軸へ目を移します。両端とも400mと読めたら、次に横軸の8分と13分を読みます。13 − 8 = 5より、停止は5分間です。その後の右下がりの線を追い、縦の値が0になる17分後が出発地点への帰着です。13分後に戻ったとした答えは、縦の値が400mであることと合いません。

もう1つの誤りは、線が下がる区間の道のりを0mとすることです。高さは400mから0mへ変わるので、出発地点へ向かって400m進んでいます。4分で400mですから、帰りの速さは400 ÷ 4 = 100で分速100mです。縦の値は現在の場所、区間で進んだ道のりは両端の高さの差として読み分けます。

自分で線を追う練習

次の問題では、同じ道の上を移動し、各移動区間では一定の速さとします。時間は出発から数え、縦軸は指定された出発地点からの道のりです。答えに書く形も問題ごとに確かめましょう。

1. えまさんは出発地点から分速40mで5分歩き、3分間止まり、その後同じ方向に分速60mで4分歩きました。折れ線の曲がる点と終点を、時間と出発地点からの道のりの組で表し、終点を整数のmで答えましょう。
2. そうたさんは出発地点から分速75mで8分歩き、その後出発地点へ向かって分速100mで3分歩きました。11分後の場所を、出発地点から整数のmで答えましょう。
3. みなさんとれんさんは同じ地点を同時に出発し、同じ方向へ歩きます。みなさんは分速50mで6分歩いた後、4分間止まります。れんさんは分速30mで歩き続けます。2人が出発後に再び同じ場所になる時刻を、整数の分後で答えましょう。
4. 出発地点から離れる人の折れ線は、0分後の0mから5分後の250m、さらに9分後の250m、12分後の430mを順に結んでいます。止まった時間を整数の分、最後の区間の速さを整数の分速何mかで答えましょう。

練習の答えと道筋

1. 最初の5分で40 × 5 = 200m進みます。止まる前の点は5分後、200mです。3分間の停止後は5 + 3 = 8分後で、同じ200mの点です。最後の4分では60 × 4 = 240m進みます。200 + 240 = 440より、終点は12分後、440mです。答えを元に戻すと、5分から8分は横線、8分から12分は240m上がる直線になります。

2. はじめに75 × 8 = 600m進みます。次に戻る道のりは100 × 3 = 300mです。600 − 300 = 300より、11分後は出発地点から300mです。歩いた道のりの合計は900mですが、求めるのは出発地点からの場所です。図では8分後の600mから11分後の300mへ右下がりに結びます。

3. 6分後のみなさんの場所は50 × 6 = 300mです。同じ時刻のれんさんの場所は30 × 6 = 180mです。みなさんが止まった後、れんさんがそこまで進む残りは300 − 180 = 120mです。120 ÷ 30 = 4分なので、6 + 4 = 10分後に同じ場所になります。停止は6分後から10分後までなので、交点は停止の終わりにあります。れんさんは30 × 10 = 300m進み、元の条件にも合います。

4. 5分後から9分後まで高さが250mで変わりません。9 − 5 = 4より、停止は4分です。最後の区間の時間は12 − 9 = 3分、進んだ道のりは430 − 250 = 180mです。180 ÷ 3 = 60より、分速60mです。60 × 3 = 180を250mに加えると430mになり、終点と一致します。

うまく描けないときは、折れ線全体を一度に描こうとせず、問題の文を区切って時刻と場所の組を書きます。先に目盛りを決めずに点を並べると、同じ5分でも幅が変わり、線の傾きを比べられません。点を置いた後には、各区間で増えたか、減ったか、変わらないかを読み上げ、条件と照らします。

2人の図で線が交わらないように見えるときは、両方の出発時刻と基準地点がそろっているかを確認します。時刻が同じでも高さが異なれば別の場所です。高さが同じでも時刻が異なれば、同じ場所を別の時に通っただけです。線を必要な区間の外まで勝手に延ばさず、停止や速さの変更がある点で区切って考えます。

覚えておくこと

横軸は時間、縦軸は基準地点からの道のりです。
横線は停止、右下がりは基準地点に近づく動きです。
交点では同じ時刻に同じ場所にいます。
速さが変わる点と停止の前後で線を分けます。
区間の速さは位置の変化とその区間の時間から求めます。

保護者の方へ

お子さまが横線を見て戻ったと答えたら、すぐに線の名前を教える前に、横線の始まりと終わりの高さを指してもらってください。両方の高さを読めるなら、「この間に時間は進んだかな」と一手を促します。時間は進んだのに場所が変わらなければ、停止を自分の言葉で説明できます。

高さが読み取れない場合は、軸の単位と目盛りに戻ります。交点で迷う場合は、点から横軸と縦軸へそれぞれ目を移し、時刻と場所を一組で話してもらいます。式だけが合っていても、どの区間の道のりと時間を使ったかを図で示せるかを確かめましょう。一本の線を時間と場所に分けて読むと、移動の様子が見えてきます。