中学受験の算数 食塩水の濃度—食塩の重さを保って混合と蒸発を考える｜武蔵野個別指導塾

混ぜる食塩水の重さが違う場合も、食塩と全体を別々に足すことで濃度を求められます。

よくあるのは、小6が2種類の食塩水を混ぜる問題で、濃度（のうど）の数字だけを足して2で割る場面です。2つの重さが同じならその方法で求められますが、重さが違うと答えは変わります。どちらの食塩水が多いかを考えず、数字の真ん中を選ぶと、混ぜた後の様子を取り違えてしまいます。

食塩水の問題では、食塩の重さと水の重さを分けて考えます。見た目は1つの液体でも、計算の上では2つの量に分けて記録できます。変化の前後を追えば、混ぜる場合も水を加える場合も、同じ考え方で整理できます。

要点（結論から）

• 食塩水の全体は、食塩と水を合わせた重さです。
• 濃度は食塩の重さを全体の重さで割って求めます。
• 混合では食塩と全体をそれぞれ足します。

どんな変化が出てくるか

1つ目は、濃さや重さの違う食塩水を混ぜる型です。混ぜた後の全体の重さは、それぞれの食塩水の重さを足します。食塩の重さも別々に出してから足し、その合計を新しい全体の重さで割ります。濃度をいきなり足すのではなく、食塩の量をいったん求めるところが入口です。

2つ目は、食塩水に水を加える型です。加えた水には食塩が入っていないので、食塩の重さは変わりません。一方で全体の重さは増えます。同じ食塩がより多くの水に広がるため、濃度は低くなります。加えた水を全体の重さに入れ忘れると、変化前と同じ答えになってしまいます。

3つ目は、水を蒸発（じょうはつ）させる型です。問題で水だけが蒸発すると考えるとき、食塩の重さは変わらず、全体の重さは減ります。そのため濃度は高くなります。どのくらい蒸発したかを求める問題では、変化後の濃度から変化後の全体を戻し、変化前との差を取ります。

食塩と水を分けて記録する

濃度は、食塩水全体の重さに対する食塩の重さの割合です。百分率で表すときは、食塩の重さを全体の重さで割り、100をかけます。たとえば食塩水100gに食塩が7g入っていれば、濃度は7%です。残りの93gは水です。全体100gの中に食塩7gが含まれているので、100gに7gをさらに足してはいけません。

図1のように、全体の帯を食塩と水に分けると、重さの関係を目で追えます。食塩水の重さは食塩の重さと水の重さを合わせたものです。濃度は食塩を全体で割った割合であり、水の重さで割るのではありません。問題文に「何%の食塩水」とあれば、その食塩水全体をもとにします。

100g以外でも、濃度を100で割った数を全体の重さにかければ食塩が出ます。たとえば7%の食塩水200gなら、200 × 0.07 = 14gです。水は200 − 14 = 186gです。濃度の7%を0.7にしてしまうと、食塩が140gになり、全体の半分以上を食塩が占めることになります。7%は100分の7なので、0.07と置きます。

反対に、食塩の重さと濃度から全体を求めることもできます。食塩14gが全体の7%なら、14 ÷ 0.07 = 200gです。割る理由は、全体に0.07をかけた結果が14gだからです。答えの200gに0.07をかけ、14gに戻るか確かめます。

表を作るときは、変化前と変化後に分けて「全体」「食塩」「水」を並べます。空いているところをすぐ埋めようとせず、問題に書かれた量と、変わらない量を先に書きます。水を加えるときや水だけが蒸発するときは、食塩の欄をそのまま次の行へ移せます。混ぜるときは、各食塩水の食塩を足した値を次の行へ書きます。

基本例題：重さの違う2つを混ぜる

6%の食塩水200gと、15%の食塩水100gを残さず混ぜます。混ぜた食塩水の濃度は何%ですか。答えは整数で表してください。

まず、6%の食塩水に入っている食塩を求めます。6%は0.06ですから、次のように計算します。

200 × 0.06 = 12g

次に、15%の食塩水に入っている食塩を求めます。15%は0.15なので、次の式です。

100 × 0.15 = 15g

2つの食塩が合わさるので、混ぜた後の食塩の重さは12 + 15 = 27gです。食塩水の全体は200 + 100 = 300gです。ここでは水を捨てたり、食塩をこぼしたりしていないので、どちらの重さもそのまま足せます。

図2のように、2つの食塩水について全体と食塩を別々に記録します。混ぜた後は、全体300gのうち食塩が27gです。食塩を全体で割ると、次の割合になります。

27 ÷ 300 = 0.09

百分率に直して0.09 × 100 = 9%です。答えは9%です。濃度は6%と15%の間にあり、重さの大きい6%の方に近い値になりました。これは見当をつけるための確認で、計算そのものの代わりにはしません。

元の条件に戻しても確かめます。300gの9%は300 × 0.09 = 27gで、最初に求めた食塩の合計と一致します。水の重さでも確認できます。最初の水は200 − 12 = 188g、次の水は100 − 15 = 85gです。合わせて273gなので、食塩27gと合わせると300gになります。

もし濃度だけを平均すると、(6 + 15) ÷ 2 = 10.5%です。300gの10.5%は31.5gとなり、実際の食塩の合計27gと合いません。等しい重さなら単純な平均が使えますが、この例では200gと100gで重さが異なります。多い方の濃さが結果により強く表れます。

混ぜた後の濃度が2つの濃度の間に入ることは、答えの大まかな点検にも役立ちます。ただし、間に入っている数なら何でも正しいわけではありません。食塩の合計を実際に計算し、全体に対して何%かを求めて初めて答えが決まります。計算の途中で食塩水の重さと食塩の重さを別々の行に書いておくと、割る数を取り違えにくくなります。

少し難しい例題：水を加えてから蒸発させる

10%の食塩水240gに水60gを加え、よく混ぜます。その後、水だけを蒸発させて濃度を12%にします。蒸発した水は何gですか。答えは整数で表してください。

はじめの食塩は240 × 0.10 = 24gです。水60gを加えても食塩は24gのままです。加えた後の全体は240 + 60 = 300gになります。この時点の濃度は24 ÷ 300 × 100 = 8%です。10%より低くなっているので、水を加えた変化と合っています。

次に、水だけが蒸発します。食塩は外へ出ないので、蒸発後も24gです。その24gが蒸発後の全体の12%を占めます。12%を0.12に直して、蒸発後の全体を求めます。

24 ÷ 0.12 = 200g

蒸発する直前は300g、蒸発後は200gですから、蒸発した水は300 − 200 = 100gです。答えは100gです。変化前の240gとの差40gを答えにすると、途中で加えた60gの水を落としてしまいます。差を取る2つの時点は、蒸発の直前と直後です。

確認のため水を追います。最初の水は240 − 24 = 216gです。60gを加えると276gになり、そこから100g蒸発すると176gです。食塩24gと合わせて200g、そのうち食塩は24 ÷ 200 × 100 = 12%です。各段階で水の重さが0より大きく、条件に合っています。

分かれ目は、問題が何を変化させたかです。水だけを加えたり蒸発させたりするなら食塩をそのまま引き継ぎます。食塩水そのものを混ぜる場合は、新しく加えた食塩も足します。食塩水を取り出す場合は食塩も一緒に減るので、食塩が変わらないと決めつけられません。

誤答から、どの量を直すか

上の基本例題で「6%と15%の平均だから10.5%」と答えたとします。間違いの原因は、200gと100gという全体の重さを見ずに、2つの濃度を同じ重みで扱ったことです。図3のように、6%の食塩水は15%の食塩水の2倍の重さです。

図3では、200g側を100gずつの2つに分けています。3つの100gがそれぞれ6%、6%、15%なので、同じ重さごとに平均するなら (6 + 6 + 15) ÷ 3 = 9%です。食塩の重さを求めて合計する方法と一致します。単純平均を使える条件は、平均する食塩水の重さが等しいことです。

別の誤りとして、水を加えた後も全体の重さを元のままにする場合があります。食塩が変わらないことと、全体が変わらないことは別です。たとえば上の難しい例題では、水を加えた後の食塩は24gのままですが、全体は300gです。表の食塩の欄に24gを写し、全体の欄に加えた60gを足すと、2つの変化を区別できます。

蒸発の問題では、減った重さを食塩から引く誤りにも注意します。水だけが蒸発するという条件なら、減るのは水と全体です。途中で得た答えが、蒸発前より濃くなっているか、また食塩の重さを戻せるかを確かめると、どの欄を直すべきか見つけやすくなります。

水を加える問題で、目標の濃度と食塩の重さがわかっているときも、まず変化後の全体を求めます。そこから元の全体を引けば、加えた水の重さが出ます。求めた水を元の全体に足し、食塩の重さを新しい全体で割れば、指定された濃度に戻るか確認できます。式の答えに単位を添えると、全体を求めた段階と水を求めた段階を区別できます。

練習問題

次の4問は、問題を一通り読んでから取り組んでください。どの時点の全体をもとにするか、式の横に書くと整理しやすくなります。答えはそれぞれ指定された形で表します。

1. 4%の食塩水150gと、12%の食塩水50gを混ぜます。混ぜた後の濃度を整数の%で求めてください。
2. 8%の食塩水250gに水150gを加えます。加えた後の濃度を整数の%で求めてください。
3. 6%の食塩水300gから水だけを蒸発させ、9%の食塩水にします。蒸発した水の重さを整数のgで求めてください。
4. 20%の食塩水80gに水を加えて5%にします。加えた水の重さを整数のgで求めてください。

答えと道筋

1. はじめの食塩は150 × 0.04 = 6g、もう一方は50 × 0.12 = 6gです。食塩の合計は6 + 6 = 12g、全体は150 + 50 = 200gです。12 ÷ 200 × 100 = 6より、答えは6%です。200 × 0.06 = 12gと戻り、食塩の合計と一致します。濃度が低い方の重さが大きいため、答えは4%に近くなります。

2. はじめの食塩は250 × 0.08 = 20gです。水を加えた後の全体は250 + 150 = 400gで、食塩は20gのままです。20 ÷ 400 × 100 = 5より、答えは5%です。400 × 0.05 = 20gなので食塩を戻せます。水は230gから380gに増え、食塩と合わせて400gです。

3. はじめの食塩は300 × 0.06 = 18gです。蒸発後も食塩は18gで、全体の9%に当たります。蒸発後の全体は18 ÷ 0.09 = 200gです。300 − 200 = 100より、答えは100gです。残った水は200 − 18 = 182gで、はじめの水282gから100g減っています。200 × 0.09 = 18gとも確かめられます。

4. はじめの食塩は80 × 0.20 = 16gです。加水後も16gが食塩水全体の5%なので、全体は16 ÷ 0.05 = 320gです。加えた水は320 − 80 = 240gです。答えは240gです。水は最初に64gあり、加水後は64 + 240 = 304gです。食塩16gと合わせて320g、16 ÷ 320 × 100 = 5%になります。

要点

• 食塩水の全体は、食塩と水を合わせた重さです。
• 濃度は食塩の重さを全体の重さで割って求めます。
• 混合では食塩と全体をそれぞれ足します。
• 水の加減では食塩を保ち、変化前後の全体を記録します。
• 答えを元の濃度と重さに戻して確かめます。

お子さまと確かめるとき

お子さまが式を選べずに止まったら、先に答えの式を伝える代わりに、食塩水の帯のどこが食塩でどこが水かを説明してもらってください。全体を示せるか、食塩の部分を示せるかで、つまずきの場所が見えてきます。濃度の意味があいまいなら、100gのうち何gが食塩かを一緒に数えるところへ戻ります。

変化前の図が描けたら、水を加えた後に変わる欄を1つ指してもらいます。食塩の欄と全体の欄のどちらも確かめた後で、全体に加えた水を書き込む一手を促してください。途中式が合っていても答えの単位が抜けることがあります。最後に「この数は食塩、食塩水、水のどれか」を言葉にすると、計算の結果を問題の場面に戻せます。

濃度の数字の間を探す前に、食塩の重さを追うことが道しるべです。