中学受験の算数 流水算—上りと下りの速さを静水時と流れに分ける｜武蔵野個別指導塾

川を上る時間と下る時間をそれぞれ速さに直し、速さの差を二等分して流速を求めます。

よくあるのは、小6のお子さまが川を上る時間と下る時間を比べ、その差を流れの速さとしてしまう場面です。時間の差は何時間かを表しますが、流れの速さは1時間に何km進むかを表します。単位の違うものをそのまま同じとはいえません。まずそれぞれの道のりと時間から船の速さを出し、その速さを船自身と流れの分に分けてみましょう。

川の問題で探すもの

流水算では、船が川を下るときと上るときの進み方を考えます。ここでは川の流れの速さと、船が水に対して進む速さは一定とします。また、上ることができるように、船の静水時の速さは流れの速さより大きいものとします。向きによって、岸から見た船の速さが変わります。

出方の1つは、静水時の船の速さと流れの速さがわかっていて、上りや下りにかかる時間を求める型です。もう1つは、上りと下りの速さから、船自身の速さと流れの速さを求める型です。さらに、同じ区間の往復にかかった時間が示され、まずそれぞれの速さを求める型もあります。どの型でも、最初に向きと単位を書き分けることが出発点です。

岸から見た道のりは、船が実際に地点の間を進んだ長さです。船といっしょに流れる水から見た進み方と混ぜると、足す数や引く数を選びにくくなります。問題文の「時速」が何を基準にしたものか、言葉を添えて整理しましょう。

船の力と水の流れを分ける

静水時（せいすいじ）の速さとは、流れのない水の上で、船が進む速さです。流速（りゅうそく）は、水の流れが1時間などの決まった時間に進む速さです。下りでは流れが船を進む向きに運ぶので、静水時の速さに流速を足します。上りでは流れが進む向きと反対にはたらくので、静水時の速さから流速を引きます。

図1のように、静水時の速さを真ん中に置くと、下りは流速の分だけ右に伸び、上りは同じ流速の分だけ短くなります。2つの端の差は流速1つ分ではなく、左右の2つ分です。この図は速さの長さを表し、船が進んだ道のりそのものを描いたものではありません。

図1の線分を指でたどり、上りの端から静水時の端までと、そこから下りの端までが同じ長さだと確かめます。下りと上りの速さを足すと、流れの増えた分と減った分が打ち消し合い、静水時の速さの2倍になります。したがって、2つの速さの和を2で割ると静水時の速さです。差を2で割ると流速です。

たとえば静水時が時速8km、流速が時速2kmなら、下りは時速10km、上りは時速6kmです。差は時速4kmで、流速の2倍です。下りから静水時の8を引いても2、静水時の8から上りの6を引いても2になり、両方から同じ流速が出ます。

基本例題：2つの速さから水の動きを出す

ある船は川を下ると時速14km、上ると時速10kmで進みます。船の静水時の速さと川の流速を、それぞれ整数で時速何kmか求めましょう。流れと船の静水時の速さは一定です。

図2のように、2本の線分の左端をそろえます。下りと上りの速さの差を求め、その差を等しい2つの流速に分けます。線分の長さは速さに対応するので、下りの線は上りの線より長くなります。

まず下りと上りの速さの差を求めます。

14 − 10 = 4（時速km）

この差は流速の2倍ですから、2で割ります。

4 ÷ 2 = 2（時速km）

流速は時速2kmです。上りの速さに流速を戻すと、静水時の速さになります。

10 + 2 = 12（時速km）

船の静水時の速さは時速12kmです。和を使っても、14 + 10 = 24、24 ÷ 2 = 12と求められます。2つの式が同じ結果になるのは、速さの線分の中心が静水時の速さを示すからです。

答えを元の条件へ戻します。12 + 2 = 14なので下りは時速14km、12 − 2 = 10なので上りは時速10kmです。両方の条件に合いました。差の4をそのまま流速とすると、上りに4を足した静水時は14、そこにさらに4を足した下りは18となり、問題の14と合いません。

式を書くときは、4の横に「差」、2の横に「流速」と添えてください。計算した数字が何を表すかが残るため、最後に問われたものを取り違えにくくなります。上りと下りのどちらから静水時へ戻してもよいですが、戻す方向によって足し算と引き算が変わります。

時間が示されたら、速さに直してから分ける

船が2つの船着き場の間を下るのに2時間、同じ道のりを上るのに3時間かかりました。船着き場の間は24kmです。船の静水時の速さと流速を、それぞれ整数で時速何kmか求めましょう。流れと船の静水時の速さは一定で、折り返しにかかる時間は考えません。

上りと下りの時間差は1時間です。しかし、これは時速何kmという速さではありません。距離を時間で割り、それぞれの岸から見た速さにしてから差を調べます。

下りの速さは、24 ÷ 2 = 12（時速km）です。上りの速さは、24 ÷ 3 = 8（時速km）です。同じ24kmでも、短い時間で着く下りのほうが速くなります。速さの差は12 − 8 = 4（時速km）で、その半分が流速です。

4 ÷ 2 = 2（時速km）

したがって流速は時速2kmです。静水時の速さは、8 + 2 = 10（時速km）です。和を使えば、12 + 8 = 20、20 ÷ 2 = 10と求まります。

条件へ戻すと、下りは10 + 2 = 12（時速km）で、24 ÷ 12 = 2（時間）です。上りは10 − 2 = 8（時速km）で、24 ÷ 8 = 3（時間）です。両方の時間が問題文と一致します。

ここが考え方の分かれ目です。速さが直接与えられたら差と和を使えますが、時間が与えられたときは先に道のりを使って速さを出します。道のりが示されていなければ、この計算で具体的な時速は決まりません。同じ道のりを何時間で進むかという情報と、実際の距離の両方が必要です。

時間の単位にも気をつけましょう。時速を使うとき、30分は1時間の半分なので、1/2時間です。時間を分のまま扱うなら、速さも分速にそろえます。たとえば時速6kmは、6000mを60分で進むので分速100mです。片方を直したら、道のりの単位も対応しているか確かめます。

往復全体の速さを考えるときも、上りと下りの速さをそのまま足して2で割る前に、何を求めるかを確認します。往復にかかった時間は、上りの時間と下りの時間を別々に計算して足します。同じ距離を進んでも速さが違えば、かかる時間も違います。時間を出す前に速さを平均すると、それぞれにかかった時間の違いが消えてしまいます。

先の24kmの例では、往復の道のりは24 + 24 = 48km、時間は2 + 3 = 5時間です。全体の道のりを全体の時間で割ると、48 ÷ 5 = 48/5（時速km）です。下りと上りの速さの平均は10ですが、往復全体を通した速さは48/5です。どちらも意味のある数ですが、前者は静水時の速さを求めるための平均、後者は往復全体の道のりを時間で割った速さです。

同じ道のりを往復しているかも読み落とせません。折り返しの場所が出発点からどれだけ離れているかを書き込み、上りと下りの距離にそれぞれ単位を付けます。別の区間を進む問題なら、それぞれの距離をそれぞれの時間で割ります。時間の大小だけから速さの大小を決められるのは、比べる道のりが同じときです。

間違いの場所を見つける

先ほどの24kmの往復で、3 − 2 = 1として、流速を時速1kmとする答えを考えます。図3のように、引いた2つの数は時間です。答えの1も1時間という時間差であり、流速の単位である時速kmには変わりません。

原因は、上りと下りで違う量を見つけた時点で、それが流速だと決めてしまうことです。時間の差は、同じ道のりにかかった時間の違いを表します。流速は1時間あたりに水が運ぶ距離ですから、名前も単位も異なります。

修正するときは、まず24 ÷ 2で下りの時速12km、24 ÷ 3で上りの時速8kmを出します。その差の4は時速kmで表す速さの差です。流速はその半分の時速2kmになります。最後に静水時の時速10kmへ流速を足し引きし、元の時間に戻して確かめます。

もう1つの間違いは、速さの差を求めた後に2で割り忘れることです。下りは中心より流速分だけ速く、上りは中心より流速分だけ遅いので、差には流速が2回分入ります。線分の中央を指して、差を2つに分けると理由を説明できます。

上りで流速を足してしまう場合は、矢印を描いて流れと船の進む向きを見比べましょう。反対向きなら岸から見た進みは遅くなるので引きます。下りでは同じ向きですから足します。式を暗記する前に、どちらが速くなるかを言葉にすると、答えの大小でも確かめられます。

練習：岸から見た進み方を考える

次の4問では、流れと船の静水時の速さは一定で、船は上流へ進めます。折り返しの時間は考えません。問題をまとめて読んだ後、答えと解き方で確かめましょう。

1. 静水時に時速9kmで進む船が、時速3kmの流れの川を下ります。下りの速さを整数で時速何kmか求めましょう。
2. 船の下りの速さが時速18km、上りの速さが時速12kmです。流速と静水時の速さを、それぞれ整数で時速何kmか求めましょう。
3. 川沿いの36kmの区間を船が下るのに3時間、上るのに4時間かかりました。流速と静水時の速さを、それぞれ整数または正確な分数で時速何kmか求めましょう。
4. 静水時の速さが時速11km、流速が時速1kmの船で、20kmの区間を上ってから同じ区間を下ります。往復にかかる時間を正確な分数で何時間か求めましょう。

答えと解き方

1. 下りは静水時の速さに流速を足します。9 + 3 = 12なので、答えは時速12kmです。1時間で船が水に対して進む9kmに、水が運ぶ3kmが加わることを確かめます。上りなら9 − 3 = 6となり、下りより遅くなる点も向きに合います。

2. 下りと上りの差は18 − 12 = 6（時速km）です。差の半分の6 ÷ 2 = 3が流速なので、時速3kmです。上りの速さに流速を足し、12 + 3 = 15から静水時は時速15kmです。15 + 3 = 18、15 − 3 = 12と、与えられた2つの速さに戻ります。

3. まず下りは36 ÷ 3 = 12（時速km）、上りは36 ÷ 4 = 9（時速km）です。速さの差は12 − 9 = 3（時速km）ですから、流速は3 ÷ 2 = 3/2（時速km）です。静水時の速さは9 + 3/2 = 21/2（時速km）です。21/2 + 3/2 = 12、21/2 − 3/2 = 9で、36 ÷ 12 = 3時間、36 ÷ 9 = 4時間と元の条件に戻ります。

4. 上りの速さは11 − 1 = 10（時速km）、下りの速さは11 + 1 = 12（時速km）です。上りは20 ÷ 10 = 2時間、下りは20 ÷ 12 = 5/3時間です。合わせて2 + 5/3 = 11/3時間が答えです。2時間に10kmずつ進むと20km、5/3時間に時速12kmで進むと20kmとなり、両方の道のりが合います。時間を足す前に、各区間の速さを分けることが要点です。

練習3のように差が奇数でも、2で割った流速を分数で表せます。近い小数に直してから検算すると条件がずれることがあるので、分数のまま足し引きします。

覚えておくこと

• 下りは静水時の速さに流速を足し、上りは引きます。
• 下りと上りの速さの差は流速の2倍です。
• 時間から考えるときは、先に道のりを時間で割ります。
• 答えを足し引きして元の速さや時間に戻します。

保護者の方へ

お子さまが時間の差を流速としたときは、すぐに答えを直す前に、書いた数字の横に単位を添えてもらってください。「1は時間と速さのどちらを表しているかな」と聞けば、何を引いたかを振り返れます。図のどこが静水時の速さで、どこが流速にあたるかをお子さまが説明できるところまで聞き、その次に「道のりを時間で割ると何が出るかな」と一手だけ促します。

計算が合っていても、上りと下りを取り違えることがあります。そのときは答えを隠さず、流れと船の矢印を指して、どちらが岸から見て速いかを確かめましょう。単位と向きがそろうと、時間の差と流速の違いを自分の言葉で説明できます。