中学受験の算数 速さの3公式—道のりと時間の単位をそろえて関係を読む｜武蔵野個別指導塾

時速と分をそろえる計算や往復の平均を、道のりと時間から読み直して速さの3公式を使います。

よくあるのは、小5のお子さまが時速と分をそのままかけてしまう場面です。時速は1時間に進む道のりなのに、式の時間は分のまま。計算自体が正しくても、答えは道のりを表しません。数字を式に入れる前に、速さが何を1つ分としているかを見てみましょう。

速さの問題は、道のり、時間、速さのうち、わかっている2つから残りの1つを求めます。3つの関係をことばで説明できると、公式を思い出せないときにも考え直せます。

どんな問いに出会うか

1つ目は、一定の速さで進んだ道のりを求める型です。1分間に進む長さと、何分進んだかがわかれば、同じ長さを時間の数だけ集めます。時速で示された場合は、時間も時間にそろえるか、速さを分速に直してから計算します。

2つ目は、道のりと時間から速さを求める型です。道のりをかかった時間で等しく分けると、1時間や1分あたりの道のりが出ます。反対に道のりと速さから時間を求めるときは、道のりの中に1分あたりの長さが何個あるかを考えます。

3つ目は、行きと帰りで速さが変わる型です。全体の平均の速さは、全体の道のりを全体の時間で割ります。行きと帰りの速さを足して2で割る方法は、進んだ時間が同じ場合には使えますが、道のりが同じ往復では一般には使えません。まず何を合わせるのかを決めます。

1あたりの道のりをつかむ

速さは、決めた時間あたりに進む道のりです。時速（じそく）は1時間あたり、分速（ふんそく）は1分あたり、秒速（びょうそく）は1秒あたりを表します。たとえば分速80 mは、一定の速さで1分に80 m進むという意味です。2分なら80 mが2つ、3分なら3つになります。

図1のように、分速80 mで3分進む道のりは、80 mの3つ分です。80 × 3 = 240より240 mです。1分あたりの長さを、時間の数だけ集めるので、道のりは速さに時間をかけます。

道のり ÷ 時間 = 速さ、道のり ÷ 速さ = 時間という関係も、同じ図から読めます。240 mを3分で等しく分ければ1分あたり80 m、240 mの中に80 mが3つあれば3分です。3公式は別々の決まりとして覚えるだけでなく、どれが1あたりかを言葉にして使います。

単位にも意味があります。時速4 kmなら1時間に4 kmですから、30分をそのまま30とみなすことはできません。1時間は60分、30分は1時間の半分です。また、1 kmは1000 m、1分は60秒です。道のりの単位も時間の単位も、式に入れる前にそろえましょう。

速さが一定なら、進む時間が2倍になると道のりも2倍です。途中で止まったり速さが変わったりする場合は、同じ速さの区間ごとに分けて考えます。全体を一度に計算できるかどうかは、問題に書かれた条件を見て判断します。

時間を直すときは、1時間を60分として分けます。たとえば15分は60分の4分の1なので、1時間の4分の1です。1時間15分なら、1時間に4分の1時間を加えた時間です。分の部分を100分のいくつかとして扱うと、時間の長さが変わってしまいます。小数に直す前に、60分のうち何分かを押さえます。

速さの単位を直す方法と、時間の単位を直す方法は、同じ移動を別の見方で表しています。どちらを選んでも、最後は同じ道のりになるはずです。分速に直したら時間は分、秒速に直したら時間は秒にします。計算の途中で単位を書き添えると、数だけを追うより、どこでそろえたかを見返せます。

問題に速さが2つ出てくるときも、数字をすぐ足したり割ったりせず、それぞれがどの区間の1あたりかを確かめます。ある区間の時間を求めるには、その区間の道のりと速さを組にします。別の区間の道のりを混ぜると、何時間分を数えているかがわからなくなります。

基本例題：時速と分をそろえる

問題　家から公園まで、一定の速さで時速4.8 kmで歩きます。出発してから25分で進む道のりを、小数でkmを単位として答えましょう。

図2のように、まず時速4.8 kmが1時間、つまり60分あたりの長さであることを確かめます。25分あたりを求めるため、1分あたりに直してから25分分を集めます。

時速4.8 kmは、60分に4.8 km進む速さです。4.8 kmをmに直すと、

4.8 × 1000 = 4800 m

です。60分で4800 mなので、1分で進む道のりは、

4800 ÷ 60 = 80 m

です。したがって分速80 mです。25分間に進む道のりは、

80 × 25 = 2000 m

となります。問題はkmで答えるので、

2000 ÷ 1000 = 2 km

です。答えは2 kmです。小数で書くなら2.0 kmとも表せます。

確かめるには、求めた2000 mを25分で割ります。2000 ÷ 25 = 80で、1分に80 mです。さらに80 × 60 = 4800 m、4800 ÷ 1000 = 4.8 kmとなり、もとの時速に戻ります。25分は1時間より短いため、道のりが4.8 kmより短いことも、見通しとして使えます。

時速4.8 kmに25を直接かけると120 kmとなりますが、この25は25時間として計算した値です。25分で進む距離にはなりません。式が何時間分を表しているかまで読み取ると、単位の取り違えに気づけます。

往復では全体の時間に注目

問題　同じ道を、行きは時速6 km、帰りは時速4 kmで、自転車で休まず進みます。片道の道のりは12 kmです。往復全体の平均の速さを、小数で時速何kmか答えましょう。それぞれの区間の速さは一定です。

平均の速さは、全体を同じ速さで進んだと考えたときの1時間あたりの道のりです。ここでは行きと帰りの道のりが同じでも、速さが違うため、かかる時間は同じではありません。区間ごとの時間を求めてから全体を合わせます。

行きにかかる時間は、道のりを1時間あたりの道のりで割って、

12 ÷ 6 = 2時間

です。帰りは同じ12 kmでも、1時間に4 kmずつ進むので、

12 ÷ 4 = 3時間

です。往復の道のりと時間をそれぞれ足します。

12 + 12 = 24 km

2 + 3 = 5時間

24 kmを5時間で進んだので、平均の速さは、

24 ÷ 5 = 4.8 km

です。これは1時間あたりの道のりですから、答えは時速4.8 kmです。4.8 × 5 = 24で往復の道のりに戻り、行きは6 × 2 = 12、帰りは4 × 3 = 12で両方とも問題の条件に合います。

ここで6と4を足して2で割ると5ですが、これは時速6 kmで進んだ時間と時速4 kmで進んだ時間が同じ場合の平均です。この問題では2時間と3時間で、遅い速さで進む時間の方が長いため、5より遅い4.8になります。平均を出すときに足すのは速さではなく、まず道のりと時間です。

途中で休んだ時間も含めた平均を問われた場合は、休んだ時間を全体の時間に入れます。一方、動いている間だけの平均を問われた場合は、問題の指定に従って動いた時間を合わせます。どちらの時間を使うかで答えが変わるため、言葉を読み落とさないようにします。

誤りをほどいて直す

時速3 kmで20分進むとき、3 × 20 = 60として60 kmと答えたとします。図3のように、式の20は20分ですが、時速にそのままかけると20時間分として扱われます。数字をかけられることと、単位が合うことは別です。

原因は、1時間あたりと1分あたりの違いを確認せずに計算したことです。時速3 kmを分速に直せば、3000 ÷ 60 = 50より分速50 mです。20分間では50 × 20 = 1000 m、つまり1 kmです。50 × 60 = 3000 mで元の時速に戻ることも確かめられます。

別の誤りとして、時間を求める式で速さを道のりで割ることがあります。たとえば分速50 mで1000 m進むなら、1000 mの中に1分分の50 mが何個あるかを考えます。1000 ÷ 50 = 20分です。50 ÷ 1000では、進むのに何分かを数えられません。

答えが出た後には、求めた時間に速さをかけて道のりに戻します。元の条件に戻らなければ、途中の換算、割る数と割られる数、答えの単位を順に調べましょう。計算を最初からやり直す前に、どこで意味が変わったかを探すと直しやすくなります。

途中式が合っているのに答えが合わない場合は、最後に求められた単位を見直します。mで計算してkmで答える問題なら、1000 mが1 kmであることを使います。道のりの数値が小さくなる向きに直すので、1000で割ります。逆にkmからmに直すときは、1000をかけます。

平均では、往復の道のりを片道のままにする誤りもあります。時間だけ往復分を足し、道のりは片道分のまま割ってしまうと、同じ範囲を比べていません。道のりと時間をそれぞれ行きと帰りに分け、どちらも同じ全体を表しているかを確かめます。

自分で確かめる問題

それぞれ速さは一定とします。答えの形と単位を確認してから解きましょう。

1. 分速70 mで18分間歩きます。道のりを整数でmを単位として求めましょう。
2. 840 mの道を14分で進みます。速さを整数で分速何mか求めましょう。
3. 3.6 kmの道を時速4.8 kmで進みます。かかる時間を整数で何分か求めましょう。
4. 片道9 kmの道を、行きは時速3 km、帰りは時速6 kmで休まず往復します。往復全体の平均の速さを整数で時速何kmか求めましょう。

答えと考え方

1の答え：1260 m。1分に70 m進むので、18分間は70 mが18個分です。

70 × 18 = 1260 m

確かめは1260 ÷ 18 = 70です。1分あたり70 mに戻り、元の速さと一致します。時間が分で速さが分速なので、そのままかけられます。

2の答え：分速60 m。840 mを14分に等しく分けて、1分あたりを求めます。

840 ÷ 14 = 60 m

確かめは60 × 14 = 840です。14分で元の道のりを進むので、分速60 mと確かめられます。道のりを時間で割る順番にも注意します。

3の答え：45分。時速4.8 kmを分速に直します。4.8 kmは4800 mなので、

4800 ÷ 60 = 80 m

です。3.6 kmは3600 mですから、1分あたり80 mで進む時間は、

3600 ÷ 80 = 45分

です。確かめは80 × 45 = 3600 mで、問題の3.6 kmに戻ります。道のりのkmをmに直し忘れると、分速のmとそろいません。

4の答え：時速4 km。行きと帰りの時間をそれぞれ求めます。

9 ÷ 3 = 3時間

9 ÷ 6 = 1.5時間

全体の道のりは9 + 9 = 18 km、時間は3 + 1.5 = 4.5時間です。したがって18 ÷ 4.5 = 4より、平均は時速4 kmです。4 × 4.5 = 18で全体に戻り、3 × 3 = 9、6 × 1.5 = 9で各区間の条件も満たします。

行きと帰りの速さを足して2で割ると4.5ですが、行きの方が長い時間を使っています。全体の平均はそれぞれの速さの真ん中とは限りません。道のりの合計と時間の合計を作ってから割る手順を使います。

覚えておくこと

道のりは速さ × 時間、速さは道のり ÷ 時間、時間は道のり ÷ 速さです。 時速なら時間、分速なら分を使い、長さの単位もそろえます。 平均の速さは全体の道のり ÷ 全体の時間で求めます。 答えを元の条件に戻し、単位と大きさを確かめます。

計算前の見通しも確かめに役立ちます。1時間に進む道のりがわかっていて、進んだ時間が1時間より短ければ、その道のりより短くなるはずです。見通しと合わない答えが出たら、時間の換算と単位をもう一度読みます。

横で見守る方へ

お子さまが式に迷ったときは、先に公式を告げず、図のどこが1分分か、どこが全体かを指して説明してもらってください。図は読めても式が逆になる場合は「全体の中に1分分が何個あるかな」と一手だけ促します。時速と分のままかけた場合は、1時間が何分かを一緒に確かめ、1分あたりへ直すところまで見守ります。

正しい数値が出ても、単位を言葉にして確認する習慣が次の問題につながります。往復では行きと帰りの時間を別々に書いてから、全体の道のりを全体の時間で割ります。1あたりと全体を行き来できれば、速さの関係は自分の言葉で説明できます。