中学受験の算数 和差算—線分の端をそろえて合計と差から数を出す｜武蔵野個別指導塾

46枚のしおりの合計から差の8枚を除く線分図で、同じ長さ2つ分を見つけ、和と差を検算します。

よくあるのは、小4のお子さまが2本の線分を別々の位置から描き、右端の間をそのまま差として読む場面です。線の長さはそれぞれの量を表していますが、始まりの位置がずれていると、右端の間には始まりのずれも含まれます。2本の左端をそろえると、重なっている部分と、長い方がはみ出した部分を分けて見られます。合計と差がわかっているとき、そのはみ出しを使って2つの量を求めるのが和差算（わさざん）です。

どんな条件から2つの量を探すか

和差算では、2つを合わせた量と、どちらか一方がもう一方よりどれだけ多いかに注目します。たとえば2人の持つカードの合計と枚数の差が示され、それぞれの枚数を求める問題です。合計だけなら分け方はいくつもありますが、差も決まれば、条件に合う組をしぼれます。

もう1つの型は、最初の合計と差をそのまま書いていない問題です。2つの箱にある品物を合わせた数が示され、片方に品物を加えた後に同じ数になったと書かれることがあります。この場合、加えた数は加える前の差です。いつの数を求めるのかを確かめてから、合計と差を取り出します。

また、移動した後の数が示される場合は、移動前後を区別する必要があります。一方から他方へ移すと、片方が減り、もう片方が同じ数だけ増えます。移した数をそのまま差として使うのではなく、どの時点の差かを考えます。合計は移動の前後で変わらないことも手がかりです。

左端をそろえて差を見つける

2つを合わせた数を和（わ）、大きい数から小さい数を引いた数を差（さ）といいます。線分図（せんぶんず）は、量を線の長さで表した図です。同じ単位の量なら、同じ長さを同じ量として描きます。図1のように左端をそろえると、上の線のうち下の線と同じ長さの部分と、右に残る差が見えます。

図1の長い線と短い線を合わせると和です。長い線から右にはみ出した差を取り除けば、短い線と同じ長さが2本残ります。したがって、和から差を引いた残りを2で割れば小さい数です。その数に差を足せば大きい数も求まります。

反対に、短い線に差を足して長い線と同じ長さにしても考えられます。和に差を足すと大きい数が2つ分になり、それを2で割ると大きい数です。どちらの方法でも、加えたり取り除いたりした差が、どの線のどの部分に当たるのかを確かめてください。

図の左端をそろえるのは、2つの量が同じ場所にあるという意味ではありません。2つの長さを比べるための描き方です。左端がずれていると、右端の間は長さの差になりません。線の上には何を表すか、差の部分には何個、何枚と単位を添えると、絵と条件を行き来しやすくなります。

答えを出した後は、足して和に戻ることと、引いて差に戻ることを両方確かめます。片方だけ合っていても、もう片方の条件に合うとは限りません。たとえば合計が同じ2つの組でも、分け方によって差は変わります。2つの条件をそれぞれ検算するのには、この理由があります。

基本例題：しおりの枚数

問題。あおいさんとみどりさんは、しおりを合わせて46枚持っています。あおいさんの方がみどりさんより8枚多いです。それぞれ何枚持っていますか。答えは整数で求めてください。

図2のように、みどりさんの枚数と同じ長さをあおいさんの線の左側に取り、残りを8枚とします。2本の線の全体が46枚です。差の8枚を取り除くと、みどりさんと同じ枚数が2つ分になります。

まず、46枚から差の8枚を引きます。

46 − 8 = 38（枚）

この38枚は、みどりさんの枚数2つ分です。2で等しく分けます。

38 ÷ 2 = 19（枚）

みどりさんは19枚です。あおいさんはそれより8枚多いので、次のように求めます。

19 + 8 = 27（枚）

あおいさんは27枚、みどりさんは19枚です。元の条件へ戻して、合計と差を順に調べます。

27 + 19 = 46（枚）

27 − 19 = 8（枚）

合計も差も問題に合っています。大きい方から求めるなら、46 + 8 = 54（枚）として大きい方2つ分を作り、54 ÷ 2 = 27（枚）としても同じです。ここで足した8枚は、実際にしおりを増やしたという意味ではなく、同じ長さを2本作るための考え方です。

式の最初に46 ÷ 2をすると、2人が同じ枚数を持つ場合の23枚が出ます。この問題では8枚の差があるので、そのままでは条件に合いません。差を先に取り除き、残りが何人分に当たるかを言葉で確かめてから割ります。

少し難しい例題：移す前と後

問題。赤い箱と青い箱に、ビー玉が合わせて64個入っています。赤い箱から青い箱へ6個移すと、2つの箱の個数が同じになりました。移す前にそれぞれ何個入っていましたか。答えは整数で求めてください。

移す前は赤い箱の方が多いと考えられます。6個を移すと赤は6個減り、青は6個増えるからです。同じ数になった後から逆にたどると、赤には6個を戻し、青からは6個を取り除きます。そのため移す前の差は、6個と6個を合わせた12個です。

6 + 6 = 12（個）

ビー玉を箱の間で移すだけなので、2箱の合計は64個のままです。移す前の青い箱を短い線として、合計から差を引きます。

64 − 12 = 52（個）

52 ÷ 2 = 26（個）

青い箱には移す前に26個あります。赤い箱にはそれより12個多く入っています。

26 + 12 = 38（個）

答えは赤い箱38個、青い箱26個です。移す前の合計と差を確かめると、38 + 26 = 64、38 − 26 = 12です。さらに移した後は、38 − 6 = 32、26 + 6 = 32となり、両方が同じ32個になります。

分かれ目は、6個を空の箱から付け足すのか、もう一方の箱から移すのかです。少ない方に外から6個を加えて同じになったなら、元の差は6個です。一方からもう一方へ6個移す今回の条件では、差が両側から6個ずつ縮むため、元の差は12個です。問題の動きを矢印で書き、どちらが増減するかを言ってから計算します。

同じ問題は、移した後の合計が64個で同じ数になったことからも解けます。64 ÷ 2 = 32（個）で移した後の各箱がわかり、赤に6個を戻して38個、青から6個を引いて26個です。2通りの見方が一致するかも確かめられます。

誤った答えを図に戻す

基本例題で、46 ÷ 2 = 23として、2人とも23枚と答える誤りを考えます。23 + 23 = 46なので合計は合いますが、23 − 23 = 0で、8枚の差に合いません。図3のように同じ長さの線を2本描くと、右側には差の部分がありません。

原因は、合計を等分する前に差の部分を扱っていないことです。修正するときは図3の下段のように差の8枚を長い線の右に置き、合計46枚のうち残りが同じ長さ2つ分だと読み直します。46 − 8 = 38、38 ÷ 2 = 19、19 + 8 = 27です。2つの答えを両方の条件へ戻すと、修正できたかを確かめられます。

別の誤りとして、46 + 8 = 54の後、54を小さい方2つ分と読む場合があります。差を加えたのは短い方を長い方にそろえる操作なので、54は大きい方2つ分です。式だけを見て判断せず、どちらの線に差を足したのかを指でたどると直せます。54 ÷ 2 = 27が大きい方で、そこから8を引けば小さい方は19です。

また、左端のずれた線で右端の間を8枚と書いても、その区間は実際の差を表しません。2本を同じ始点から描き直し、短い線の右端から長い線の右端までを差として示します。線分図はきれいな長さを測るためではなく、同じ部分と違う部分を見分けるためのものです。

条件がそろわないときの見直し

和から差を引いた残りが2で割り切れないときは、問題が求める答えの形を見ます。たとえば個数を整数で求める条件なのに、和が20個で差が5個なら、20 − 5 = 15個が同じ個数2つ分になります。15個を整数2つに等しく分けることはできないので、そのままでは条件に合う個数の組はありません。端数を勝手に丸めず、和と差を正しく写したか、差の時点を正しく読んだかを先に確認します。

また、差が和より大きいときも、2つの数が0以上の個数なら条件を見直します。大きい方の個数は合計を超えられず、差も合計を超えられないからです。数字の意味を線分に戻せば、計算を進める前に矛盾（むじゅん）に気づけます。答えが出ない場面では、問題文を読み返して条件を確かめ、写し間違いがなければ条件に合う組がないと説明します。

練習：条件を線に移す

次の4問は、答えを整数で求めてください。問題を読み終えたら、和と差、または移動前後の関係をメモし、解答を見る前に2つの条件で確かめます。

1. 2つのかごに折り紙が合わせて58枚あります。大きいかごには小さいかごより14枚多く入っています。それぞれ何枚ありますか。
2. 姉と弟が拾ったどんぐりは合わせて72個です。弟が外から10個もらうと姉と同じ個数になります。もらう前にそれぞれ何個拾いましたか。
3. 2つの棚に本が合わせて90冊あります。上の棚から下の棚へ7冊移すと、両方の冊数が同じになります。移す前の各棚の冊数を求めてください。
4. 2人で作った紙の花は合わせて84個です。多く作った人は、少なく作った人より18個多く作りました。それぞれ何個作りましたか。

練習の答えと道筋

1. 合計58枚から差14枚を引くと、少ない方の2つ分です。58 − 14 = 44、44 ÷ 2 = 22、22 + 14 = 36です。大きいかご36枚、小さいかご22枚です。36 + 22 = 58、36 − 22 = 14で条件に戻ります。

2. 弟に外から10個を加えて同じになるので、もらう前の差は10個です。72 − 10 = 62、62 ÷ 2 = 31、31 + 10 = 41です。姉41個、弟31個です。41 + 31 = 72、31 + 10 = 41で確かめます。もらった後の合計は82個になるので、72個のままとしないことにも注意します。

3. 7冊を移すと上は7冊減り、下は7冊増えます。元の差は7 + 7 = 14冊です。90 − 14 = 76、76 ÷ 2 = 38、38 + 14 = 52です。上の棚52冊、下の棚38冊です。52 + 38 = 90、52 − 7 = 45、38 + 7 = 45となり、移動後にそろいます。

4. 84 − 18 = 66、66 ÷ 2 = 33、33 + 18 = 51です。多い人51個、少ない人33個です。51 + 33 = 84、51 − 33 = 18で合計と差を確かめます。最初に84 + 18 = 102として、102 ÷ 2 = 51から始めても求められます。

線分図は数を読み取るための道具です。単位も忘れずに書きます。図だけで決めず、求めた数を文章の条件へ戻して確かめます。

答えが整数にならないときは、まず問題の数字の写し間違い、差を足すか引くか、2つ分として割る位置を調べます。差を示す時点を取り違えると、計算自体が正しくても元の条件に戻りません。出た答えの合計と差が問題の数に合わないときも、式を消す前に線分図のどこを計算したかをたどります。問題によっては整数でない答えもありますが、個数を整数で求めるこの練習では、整数かどうかも点検の手がかりです。

覚えておきたいこと

左端をそろえると、はみ出した部分が差です。 和から差を引けば、小さい数の2つ分です。 和に差を足せば、大きい数の2つ分です。 移す問題では、増える側と減る側の両方を見ます。 答えは和と差、必要なら移動後にも戻して確かめます。

お子さまと確かめるとき

お子さまが式を書けずに止まったら、すぐに計算の形を伝える前に、2本の線のどこまでが同じ量かを聞いてみてください。左端がそろっていなければ、まず始点をそろえる一手を促します。差の位置は示せるのに割り算で迷う場合は、差を取り除いた後に同じ長さが何本残るかを指さしてもらいます。

移動の問題でつまずいたときは、移す前と後の箱を描き、減る箱と増える箱を一緒に確かめます。答えが出たら、合計と差の両方をお子さま自身の言葉で読み直せるかを見ます。線の同じ部分と差を説明できれば、次の問題でも条件を整理する手がかりになります。