共通テスト数学の数列の和が一項ずれる—足す範囲と項数を別々に書く｜武蔵野個別指導塾

途中の番号から始まる有限和を、両端と項数の対応から読み直し、1項のずれをほどく部分和の点検です。

途中の項から足すとき、最後の番号をそのまま項数にしてはいけません。最初と最後の項を含むなら、項数は「最後の番号 − 最初の番号 + 1」です。まず番号を小さく並べ、両端に印を付けて数えると、式の意味を確かめられます。

よくあるのは高2の冬、途中から足した和なのに最終番号を項数へ代入した夜という場面です。公式の形は覚えていても、公式の中の数が何を数えているかを置き去りにすると、最後の計算まで進んでから答えがずれます。お子さまの答案を見るときも、計算結果だけでなく、どの項を足したつもりなのかを一緒にたどると、修正する場所が見えてきます。

番号と個数は何が違うのか

たとえば、項の番号が1から順に付いた数列で、第3項から第7項までを足すとします。足す項の番号は3、4、5、6、7です。最後の番号は7ですが、実際に並んでいる項は5個です。7を項数として使うと、第1項から第7項までの7個を数えたことになり、足す範囲と個数が対応しません。

図1のように、番号の列では始まりより前の項も存在します。しかし、存在することと今回の和に含めることは別です。第1項と第2項は列の一部でも、今回の和の対象ではありません。番号は列の中の位置を表し、項数は選んだ範囲に何個の項があるかを表します。

図1では3から7までを囲み、囲みの外に1と2を置いています。最後に見えた7という数字をそのまま個数にすると、外側の2項も数えたことになります。計算が正しくても、入れる数の意味が違えば、求める和にはなりません。

今度は7 − 3で4とした場合を考えます。3から4、4から5、5から6、6から7へ進む回数は4回です。それは番号の間の区切りの数であり、並んだ項の数ではありません。最初の3を1個として数え始めるので、4回進んだ先まで含めると5個になります。差を取った後に1を足す理由は、最初の項を数に入れるためです。

番号を目盛りとして眺めると、区間の長さと目盛りの個数を取り違えやすくなります。端にある項も足すのかを言葉で確かめてから数えます。たとえば「第3項より後」と書かれた場合は、第3項そのものを含みません。「第3項から」とは範囲が変わります。式に入る前に、指定された表現を最初の実際の番号に直してください。

答案のどこでずれたかを探す

答えが合わないときは、まず書かれた和の範囲と、公式へ代入した項数を別々に見ます。和の範囲が第3項から第7項までと正しく書かれていても、項数として7を使えば、途中で数える対象が変わっています。一方、項数は5と書けているのに足す最初の項を取り違えた場合は、個数ではなく端の値を戻して点検する必要があります。

答案に最初と最後の番号が書かれていなければ、問題文から拾い直して余白に記します。次に、その両端が含まれるかを丸で示します。最後に、実際の番号を短く並べて数えた個数と、式に入れた数を比べます。どの段階で違いが生じたかがわかれば、後の計算をすべてやり直さずに済む場合もあります。

第1項から始まる和では、最後の番号と項数が一致します。その経験だけで「最後の番号が項数」と覚えると、途中から始まる和に移ったときに同じ操作を続けてしまいます。第1項から第7項までなら7個ですが、第3項からでは前の2個を含まないので5個です。両者を並べると、同じ最後の番号でも、始まりによって項数が変わることが見えます。

この点検で扱うのは、すでに与えられた列のうち、どこからどこまでを足すかです。漸化式を変形する前後で初項の番号を対応させる判断とは区別します。新しい列を作る前の問題として、まず元の項の範囲を確定します。

両端を決めてから和に進む

たとえば第n項が 2n + 1 の数列について、第3項から第7項までの和を求めます。nは正の整数で、指定された両端を含むものとします。ここでは項の値と項の番号を混ぜないため、最初に番号だけを並べます。

1. 足す番号を書くと、3、4、5、6、7です。最初は3、最後は7です。
2. 項数は 7 − 3 + 1 = 5 です。実際に並べても5個あるので一致します。
3. 最初の値は 2 × 3 + 1 = 7、最後の値は 2 × 7 + 1 = 15 です。
4. 値は7、9、11、13、15と並びます。等差数列の和は、最初と最後の値の和に項数を掛けて2で割るので、(7 + 15) × 5 ÷ 2 = 55 です。

図2のように、番号から項数を決め、次に両端の値を求めます。7という番号と7という値がたまたま同じでも、役割は別です。前者は何番目かを示し、後者はその項の大きさを示します。数が一致したことを理由に、番号を値として扱ってはいけません。

図2の5は項数、7と15は足す範囲の両端の値です。和の式にそれぞれを入れた後、実際に 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 55 と足して照合できます。直接足せる小さな例で確認しておくと、後で項数が多い問題に進んでも、何を数えているかを見失いにくくなります。

別の見方として、最初からの和を使う方法もあります。第1項から第7項までの和から、第1項から第2項までの和を引けば、第3項から第7項までが残ります。第3項を引いてしまうと、求める範囲の最初まで消えてしまいます。引く範囲の最後は、残したい最初の番号の1つ前です。

この例で第1項から第7項までは3、5、7、9、11、13、15の和で63です。第1項から第2項までは3 + 5 = 8なので、63 − 8 = 55となります。直接並べて足した結果と一致します。差を取る方法では、二つの和に共通して含まれる項を消すことを確認してください。

公式を書き始める前に「最初の番号、最後の番号、項数」の3つを小さく記すのも有効です。その後に「最初の値、最後の値」を記します。番号の欄と値の欄を分けるだけで、代入した数を後から追いやすくなります。値を間違えた場合は一般項へ、個数を間違えた場合は番号の列へ戻るというように、修正する場所も分かれます。

端を含まないときと、自分で試す問題

「第4項より後、第8項より前」のように両端を含まない指定なら、実際に足す番号は5、6、7です。4と8をそのまま両端として公式へ入れるのではなく、含まれる最初と最後を決め直します。項数は 7 − 5 + 1 = 3 です。図3のように、指定の言葉と、実際に足す番号の間に一段階を置きます。

図3では4と8を範囲の外に置き、5から7までを選んでいます。片方だけを含む指定なら、含まない側だけを隣の番号へ直します。最初と最後が同じ番号になったときは1項です。番号の差は0ですが、その項自体を数えるため、0 + 1で1になります。

また、含まれる項がない指定に出会ったら、無理に両端の式へ数字を入れず、実際に並べられる番号があるかを先に確認します。項数の式は、足す最初と最後の番号が定まっていて、最初が最後以下である範囲に使うものです。範囲が空である場合は、問題の和の定義を確認して扱います。

次の自作問題を、上の例を見ずに解いてみましょう。第n項が 3n − 2 の数列で、第2項から第5項までの和を求めてください。両端は含みます。最初と最後の番号、項数、両端の値をそれぞれ書いてから計算します。

解答は34です。番号は2、3、4、5なので4項あります。値は4、7、10、13で、直接足して34です。等差数列の和でも (4 + 13) × 4 ÷ 2 = 34 となります。5を項数にした場合は番号の列に戻り、3項とした場合は最初の2を数えたかを確かめてください。項数が合っていて答えが違う場合は、一般項に2と5を代入した箇所を見直します。

数が大きい場合も、意味を残す

番号が大きく、全部を書き並ぶのが難しいときも、数え方の根拠は同じです。最初の番号をひとまず1番目として、最後まで何回進むかを考えます。最後の番号から最初の番号を引けば進んだ回数が出て、そこに出発点の1項を加えると個数になります。番号の差だけで答えを出してしまったときには、端を両方含むことを図や小さな列で確認してください。

文字を使って最初をa、最後をbと表すと、aからbまでの項数は b − a + 1 です。ここでaとbは整数の項番号で、aがb以下の場合を考えています。文字式を覚える前に、aからaまでなら1項、aからa + 1までなら2項となることを確かめます。境界の小さな場合に合わない式は、広い範囲でも使えません。

始まりが1なら b − 1 + 1 = b となり、最後の番号と項数が一致します。これは常に最後の番号を使えるという意味ではなく、最初が1である場合に限って成り立つ一致です。途中から始まるときは、その前にある項の個数を取り除く必要があります。最初がaなら、その前には第1項から第a − 1項までのa − 1項があります。第1項から第b項までのb項からそれらを除くと、b − (a − 1) 項です。

二つの説明は同じ式に到着しますが、見ているものが違います。一方は範囲の内側で進む回数を数え、もう一方は第1項から最後までの中から不要な部分を取り除きます。どちらか一方で迷ったら、もう一方で同じ個数になるか確認できます。ただし引き算で考えるとき、残す最初の項まで引かないように注意が必要です。

答えを出した後の照合

項数が正しくても、等差数列の和を使うには、対象の項が等しい差で並ぶことを確かめます。一般項に番号を代入し、隣り合う値の差が一定か調べると、公式を使う理由が明確になります。等しい差でない数列に、最初と最後の平均をそのまま全項の平均として使うことはできません。項数の点検と、和の求め方の選択は別の判断です。

また、項数の式に入れるのは値ではなく番号です。値が負になったり、途中で0を通ったりしても、番号が連続していれば項数の数え方は変わりません。和が負になるか正になるかは項の値の合計で決まり、項数が負になるわけではありません。最初の値と最後の値が異なる符号のときも、項数と値を別の欄に置くと、符号の計算を独立に確かめられます。

解き直す際は、正解の数字だけを見て終わらず、最初に書いた範囲に戻ります。足し忘れや余分に足した項がないか、最初と最後を指で追い、項数が並べた個数と一致するかを見ます。範囲が正しいのに和が違う場合は、値の代入や四則計算へ進んで調べます。原因を分けることで、次に同じ形の問題を見たときに、どの判断を再現すればよいかがはっきりします。

もう一度別の形で、範囲を残す操作を確かめます。第1項から最後までを足した和から、始まりより前の和を引くと、重複した前半が消えます。この方法でも、引く側の最後がどこかを明記しなければ、必要な項を消してしまいます。両端を書いて直接数える方法と、引き算で範囲を残す方法が一致するかを照合すると、項数に関する誤りを発見しやすくなります。

練習では、解く前に範囲を声に出して読み、解いた後に実際に含めた番号と比べてみてください。途中式が長くなると、最初に拾った条件が見えにくくなります。番号の列を残せば、最後の答えからでも元の指定へ戻れます。

質問するときに持っていくもの

教科書の数列の和を扱う箇所で、公式の項数が、何番目までという番号ではなく、実際に加える項の個数を表すことを確認します。公式に使われる初項も、元の数列の第1項とは限りません。部分和を一つの等差数列として見るなら、今回足す範囲の最初の値を使います。

質問するときは、問題文の範囲、自分が並べた番号、公式に入れた項数を同じ紙に残します。「7を入れました」だけでなく、「第3項から第7項までを7項として計算しました」と伝えると、範囲と個数のどちらを直すかを相談できます。計算が途中で止まった場合も、消さずに最初の判断を示すと戻る場所が見えます。

個別指導では、問題の指定に印を付けた紙と途中式を見比べ、最初に足す番号と最後に足す番号が一致しているかを確かめます。さらに、数えた項数と公式へ入れた数を照合し、ずれた箇所から本人がもう一度説明します。

最後の番号が大きくても、それは選んだ項の個数とは限りません。足す両端を確定し、間の進み方に最初の1項を加えて数えれば、部分和の項数を式につなげられます。