共通テスト数学のグラフを見て差を大きく読む—縦軸の始まりを数値で確かめる｜武蔵野個別指導塾

棒の見かけの高さが2倍でも数量は2倍とは限りません。縦軸の始点と先端の目盛りを読み、数量の比を計算し直します。

棒の高さが2倍に見えても、数量が2倍とは限りません。縦軸が0から始まっていないとき、見えている棒の長さは数量そのものではなく、軸の始点からの差を表すからです。まず目盛りから各値を読み、差や比はその値で計算します。

よくあるのは、高2の夏、棒の高さが倍だから数量も倍と答えた演習の場面です。図の上では確かに片方がもう片方の2倍ほど長く見えます。それでも、答えを書く前に縦軸の下端を見なければ、比べているものが数量なのか、途中から表示した長さなのか決まりません。

どこから測った高さなのか

たとえば、架空の工作記録として、青い箱に入れた部品が12個、赤い箱に入れた部品が14個だったとします。2つの箱を横に並べ、数量を縦軸に取った棒グラフを考えます。これは項目ごとの数量を表す棒グラフです。区間ごとの度数を連続して示すヒストグラムとは、横軸に置くものが違います。

0から始まる軸では、12個の棒と14個の棒の長さは12対14です。単位の取り方が同じなら、棒の長さの比も数量の比と一致します。一方、10から始まる軸で10より上だけを描くと、見えている長さはそれぞれ2と4に対応します。4は2の2倍ですが、14は12の2倍ではありません。数量の比は14対12、つまり7対6です。

図1のように、同じ12個と14個でも、縦軸の始点によって見える長さの比は変わります。右側の図で横線より下を描いていないことは、箱に入った部品が減ったことを意味しません。表示する範囲が変わっただけです。

目盛りが省かれている図を見て、長い棒が短い棒の何倍かを測っても、元の数量の比は決まりません。始点と目盛りの間隔がわかって初めて、棒の先端が表す値を読めます。軸の途中から描いた図では、下端に0があると勝手に補わないようにします。

差についても、見た目の印象と数値を分けます。両方の値は2個違います。縦軸の単位あたりの長さが同じなら、先端の高さの差はどちらの図でも2個分です。ただし、縦軸の縮尺まで変えれば紙の上の差の長さも変わります。図を見比べるときは、始点だけでなく目盛りの間隔にも目を向けます。

答案のどの行で入れ替わったか

自分の答案に「長さが2倍なので数量も2倍」と書いていたら、間違いは掛け算をした行ではなく、その前の読み取りにあります。棒の先端の値を記録せず、表示された部分の長さを数量そのものとして使っています。先端に対応する目盛りを2つとも書き出すと、どの値を使うべきか見えるようになります。

たとえば、図の左の棒の先端が12、右が14と読めていたのに「14は12の2倍」としたなら、軸の問題とは別に比の計算を見直します。反対に、先端を2と4と読んでいたなら、10という始点を読み落としています。誤答の数字がどの段階から現れたかをたどると、修正する場所を選べます。

図の上端だけを見て「右が大きい」と判断することと、「右が何倍か」を答えることも別です。同じ軸上で上端が高い棒は、値が大きいと読めます。しかし、その見える長さの比は、軸の始点が0でない限り、数量の比と一般には一致しません。大小が正しくても、倍率まで正しいとは言えないのです。

元の表が付いている場合は、グラフの先端と表の値を照合します。値が一致しなければ、単位や項目の対応を確認します。表がない場合は、棒の先端と目盛りの位置を丁寧に照らし、細かい値が目盛りから特定できないなら、読める範囲を超えて断定しません。画像が不鮮明なときも、見えない数字を推測して比に使うのではなく、元の資料を確かめます。

軸に切れ目がある場合も、線の長さだけで比べない点は同じです。切れ目より上の表示がどの値から始まるかを見ます。切れ目の形だけで省略された量を決めることはできないので、書かれた目盛りを根拠にします。図が一部切れて始点を確かめられないなら、結論を保留して全体を見直します。

見かけの違いを言葉にする

軸の下端を10にした図を見たとき、「右の棒は左の棒より高い」と言うだけなら、棒の先端が14と12であることと一致します。しかし「右は左の2倍」という文には、何を測った比なのかが含まれています。棒の下端から上端までの表示部分なら2倍、元の数量なら7/6倍です。単に「2倍」と書くだけでは、読んだ人がどちらの意味か判断できません。

図を説明する言葉を自分で補ってみましょう。「10から上に表示された部分の長さは2倍」と書けば、見た目についての説明になります。「部品の個数は7/6倍」と書けば、元の数量についての説明です。どちらも同じ図に対応しますが、根拠にした数は違います。問題が数量を尋ねているとき、表示部分の説明だけでは答えになりません。

「差が2個」という事実も「右が2倍」という主張とは別です。差は2つの値を引いて得られ、倍率は一方を基準にして割って得られます。2個多いということだけでは、基準の値がわからない限り倍率は決まりません。たとえば同じ2個差でも、基準が小さい場合と大きい場合では、元の数量に対する差の割合が変わります。

さらに、棒の横幅が違う図では、棒の面積が与える印象にも注意が必要です。値を読む場所として指定されているのが先端なら、幅の違いを数量の倍率として使いません。図を描いた意図を推測する前に、どの軸が何を表し、目盛りがどこを指しているかを確かめることが先です。

図を描き直して判断を確かめる

同じデータを0からの軸に描き直すと、12と14の棒は似た長さになります。10からの軸に戻すと、表示部分は2と4で、右が左の2倍の長さになります。この描き直しは、どちらの図が絶対に正しいかを決めるためではありません。同じ値から異なる見え方が生まれることを確認するための操作です。

描き直すときは、最初に2つの値を表に書き、軸の始点と目盛りの間隔を決めます。各棒の上端が表の値に合っているかを確認した後で、見える長さを比較します。先端を動かして見た目を合わせようとすると、データそのものを変えてしまいます。先端の値を固定し、表示範囲だけを変えることが条件です。

自分の答えを点検する際には、元の図に戻って、どこまでが表示された範囲かを指で追います。下端の10から左の先端12までは2、右の先端14までは4です。そこから数量へ戻るには、それぞれの先端の値を使います。途中で使った2や4を消さずに残し、その横に「表示部分」と書くと、次に同じ間違いをしたときも理由を探せます。

問題文が図の印象について尋ねるときには、値の比だけでなく、見える長さについても答える必要があります。反対に、実際の数量について尋ねるときには、印象だけを根拠にしないことが必要です。問いの語に下線を引き、図から得た値と答える対象を結びつければ、同じ図を異なる目的で読む練習になります。

数値へ戻す4段階

ここでは先ほどの箱の数量を使い、10から始まる図を読み直します。図2のように、見える長さを測ってすぐ比べるのではなく、まず軸と先端を対応させます。

1. 縦軸の下端にある数を探します。この例では10です。下端から上に伸びた分だけが表示されているため、下端が0でないことを最初に紙に書きます。
2. 目盛りの間隔を確認します。等しい間隔に等しい数の増加が対応しているかを見て、それぞれの先端を読みます。先端は12と14です。単位も「個」と添えます。
3. 問いが求めるものを分けます。「何個多いか」は14から12を引くので2個です。「何倍か」は14を12で割るので7/6倍です。比較の向きが逆なら12を14で割り、6/7倍になります。
4. 答えを図と照合します。右の値は左より少し大きいので、7/6倍は大小関係と矛盾しません。見える長さの4対2を使った2倍とは異なるため、2つの比が何を表すかを答案の横に書き分けます。

この手順では、10を先端の値にもう一度足しません。目盛りから直接12と14を読んだ時点で、始点からの分は含まれているからです。もし図に先端の値が書かれておらず、始点10からの増加分が2と4だと別の情報からわかったなら、10にそれぞれを足して12と14を得ます。直接読んだ値と増加分を混ぜると、始点を二重に数えてしまいます。

比を計算するときには分母も大切です。「右は左の何倍か」であれば左の12が基準です。「左は右の何倍か」なら右の14が基準です。同じ2本から異なる答えが出ますが、問いの向きが違うので矛盾ではありません。差は向きを変えると符号が変わり、倍率は逆数になることを意識します。

縦軸が0から始まる場合も、単位と目盛りの間隔を読む作業は省けません。0からの棒であっても、片方の先端を別の目盛りに対応させれば答えはずれます。目盛りが等間隔でない特殊な表示なら、物差しで測った長さをそのまま数量に置き換えることもできません。図の軸が示す規則を先に確かめる習慣が必要です。

棒が同じ長さに見えない別の図

たとえば、架空の図書整理で、棚Aに18冊、棚Bに21冊あるとします。縦軸を15から始めて等間隔に描けば、見える棒の長さは3冊分と6冊分です。図3のように、表示部分は2倍でも、冊数の比は21対18、すなわち7対6です。図を切り取る位置は、棚の冊数を変えません。

ここで棚Aの値が軸の始点と同じ15冊なら、その棒の表示部分は長さ0になります。それでも冊数が0冊という意味ではありません。棒の見える部分が0のときは、表示部分どうしの倍率を割り算で求めることもできません。数量の比を問われたら、先端の値に戻り、基準とする数量が0でないか確かめます。

また、縦軸の始点より小さい値を持つ項目があれば、示した範囲内にその先端がありません。見えていない棒を0と判断せず、図が扱っている範囲を確認します。数値の比を求めるための値が図に示されていないときには、図だけから正確な倍率を出せません。表示された範囲と元の値が持つ範囲は、別々に考えます。

確かめの問題

たとえば、架空の栽培記録で、鉢Pと鉢Qの高さを棒グラフにしました。縦軸は20 cmから始まり、Pの先端は24 cm、Qの先端は28 cmです。目盛りは等間隔です。Qの表示部分はPの表示部分の何倍ですか。また、Qの高さはPの高さの何倍ですか。

解答は、表示部分が2倍、高さは7/6倍です。表示部分はそれぞれ20 cmからの4 cm分と8 cm分なので、8を4で割ります。元の高さは28を24で割るので、同じ計算にはなりません。「高さも2倍」とした場合は、縦軸の20を先端から引いた結果を元の高さと取り違えていないか、4段階の2に戻って確認します。逆に高さを6/7倍とした場合は、問いがQをPと比べていることを確かめ、分母に置いた値を直します。

表示部分が2倍と求められたこと自体は誤りではありません。何の2倍を問われたかを区別できているかが判断の分かれ目です。単位を書いてから割ると、長さどうしを比べているかも確認しやすくなります。

読み方に迷ったときの持ち物

教科書の棒グラフと目盛りの説明を開き、軸の始点、目盛りの値、棒の先端を自分の図に書き入れてみます。質問するときは、図だけでなく「表示部分は4対2、元の数量は14対12」と書いた途中の紙も見せると、どの比を使って迷ったのか伝わります。目盛りが読めない場合は、元の図の全体と、どこが判別できないかを持って尋ねます。

保護者がお子さまと答案を見る場合も、正解の数字だけで終えず、先端の読みと比較の向きに印を付けてみてください。問いが差を求めるのか倍率を求めるのかを一緒に確認すると、引き算と割り算を選ぶ理由を話せます。

個別指導では、元の図、読み取った2つの値、割り算の式を並べて確かめます。たとえ答えが合っていても、偶然表示部分の比を使ったのであれば、始点を変えた図でも同じ考え方が通るか試します。数字がずれた場合は、軸の読み取りと計算のどちらでずれたかを区別します。

棒の見える長さは、縦軸の始点からの長さです。数量の差や比は先端の値へ戻して求めます。起点を変えても数量は変わらず、見かけの倍率だけが変わることがあります。