数学の応用問題はいつ手を出すか—基本問題が解ける目印と戻る場所｜武蔵野個別指導塾

章末の応用問題で手が止まったら、例題を閉じて解けるかを目印に10分で戻り先を決めます。図に書く・求める物を決める・式にする順で動かします。

応用問題に手を出す合図は、教科書の例題を閉じて解けること、問題に出てくる用語を自分の言葉で説明できること、同じ形の問題を1つ自分で作れることの3つがそろったときです。どれか1つが欠けているなら、応用問題を開くのはもう少し後になります。開いた応用問題で10分考えて手が動かなければ、解き方を思い出そうとするのはやめて、問題の1行目に出てくる用語から例題を探します。戻るのは、その用語が出てくる例題1問で足ります。

よくあるのは、中学2年の生徒が章末の応用問題を開いて、教科書の例題との違いがわからないまま10分たってしまう場面です。問題文の漢字も数も読めているのに、どこから手を付けるかが決まらない。ノートの上には問題文を写した行だけが残り、式が1行も出てこないまま時計を見る。答え合わせで解説を読むと、例題と同じことを聞いていたのだと気づく。この行き止まりは、応用問題が苦手だから起きるのではなく、例題と応用問題の間に何があるかを決めていないために起きます。

なぜそうなるのか

応用問題は、例題で覚えた部品を組み合わせて作られています。一次関数の例題なら、変化の割合を出す、式に代入する、xとyの関係を式にするという部品です。章末の文章題は、その部品を問題文の中から選んで並べ替える作業になります。部品が手元に残っていないまま応用問題を開くと、問題文を読みながら解き方を探すことになり、同じ行を何度も読み返す時間が増えます。

例題と章末のいちばん大きな違いは、求める物が書かれているかどうかです。例題は「yを求めなさい」「xの値を求めなさい」と最後に書かれています。章末や入試の小問は状況だけが書かれていて、何を求めるかは自分で決めます。ここを飛ばして式を立てようとすると、文字が2つ出てきたところで手が止まります。止まった場所は計算ではなく、問題の入口です。

「基本は解ける」の確かめ方がずれていると、応用に進む時期を間違えます。例題を開いたまま解けるのは、解法の行を見ながら動かしているだけのことがあります。解答を閉じて白い紙に書いたときに、部品が自分のものになったかどうかがわかります。開いたままの正解は、応用問題に進んでよい目印にはなりません。

解法を思い出そうとする時間が長いほど、問題文から目が離れます。思い出そうとしている間、目はノートの余白や天井に向き、問題文に書かれている数や条件が視界から抜けていきます。10分のうち半分を思い出すことに使うと、読めていた問題文も読めなくなります。だから応用問題では、思い出す時間を決めて、動かなければ戻る場所へ移ります。

図1のように、例題を閉じて解けるか、用語を説明できるか、同じ形を作れるかの3つを目印にすると、応用問題を開く時期が決まります。

明日からの手順

1. 例題を閉じて3つの目印を確かめる

教科書の例題を1問選び、解答のページを閉じて白い紙に解きます。たとえば、水槽に最初に3L入っていて、毎分2Lずつ水を入れるとき、x分後の水の量をyLとする例題を考えます。閉じて y=3+2x と書ければ、1つ目の目印は通っています。書けなければ、章の最初まで戻るのではなく、その例題の1問前の類題に戻ります。戻る範囲を小さくするのがここの要点です。

解いたあとは、答えの数だけでなく、式の作り方を見直します。y=2x+3 と y=3+2x は同じ意味ですが、どちらを先に書いたかを説明できるかどうかで、部品の持ちら方が変わります。説明できないときは、例題の式の1行上に戻って、何をx、何をyと決めたかを読み直します。

2. 用語を1文で説明する

例題に出てきた用語を、教科書を閉じて1文で説明します。変化の割合なら、xが1増えたときにyがどれだけ増えるかだ、という形で言えれば2つ目の目印です。用語の説明が教科書の文の丸暗記になっているときは、例題の数値を当てはめて言い直します。言えなければ、その用語の説明が載っているページに戻ります。ここで戻るのは用語の1ページだけで、章全体ではありません。

説明は声に出さなくても、ノートの端に1行書けば足ります。書いた1文が主語と述語に分かれていれば、用語は使える形で残っています。名詞だけを並べた説明は、応用問題の途中で使えません。

3. 同じ形の問題を1つ作る

例題の数値を変えて、自分で1問作ります。水槽の例なら、最初の量を5L、毎分の量を3Lに変えて、x分後の水の量を聞く問題を作ります。作った問題の答えまで自分で出せれば3つ目の目印です。作れないときは、例題のどの数が条件で、どの数が答えなのかを分けられていません。その場合は例題に戻って、数に線を引きながら読み直します。

作った問題は、翌日に解き直します。前の日に作った問題を閉じて解けると、部品が定着しているかがわかります。解けなければ、また例題に戻ります。作る、閉じる、解くの3つを1組にして、1つの単元で1回行えば足ります。

4. 例題から章末へ順に進む

進む順番は、例題、類題、章末、入試の小問です。例題が閉じて解けて、用語を説明できて、同じ形を作れたら、類題に進みます。類題が解けたら章末、章末の中でも最後の1問を解いてから入試の小問に移ります。この順番を飛ばして章末から始めると、止まったときに戻る場所がわかりません。

類題では、例題とどこが違うかだけをノートの端に書きます。数が変わったのか、聞かれ方が変わったのか、図が付いたのか。違いを1行で書けると、章末で同じ違いを探せるようになります。章末に入る前に、類題の違いのメモを見返すと、問題文の読み方が変わります。

5. 応用問題では3つの動きだけを書く

応用問題を開いたら、最初の10分で次の3つをノートに書きます。1つ目は図や表に書くことです。問題文に出てきた数と、その数の関係を、線や表にして紙の上に置きます。2つ目は求める物を決めることです。何をxとおくか、何を聞かれているかを1行で書きます。3つ目はわかっていることを式にすることです。図や表に書いた関係を、文字と数で書き直します。

連立方程式の文章題で試します。パン1個80円とジュース1本120円を合わせて10個買い、代金が920円だったとき、それぞれ何個買ったかを聞かれているとします。1つ目の動きでは、パンの数を横、ジュースの数を縦にした表を書きます。2つ目では、求める物がパンの数とジュースの数だと決めます。3つ目では、パンの数をa個、ジュースの数をb個として、a+b=10 と 80a+120b=920 の2本を書きます。ここまで書ければ、あとは計算です。a=7、b=3 になります。

この3つの動きは、答えを出すための作業ではなく、止まった場所を見つけるための作業です。図が書けているのに式が出ないなら、式の作り方に戻ります。図が書けないなら、問題文の読み方に戻ります。どこで止まったかによって、戻る場所が変わります。

6. 10分で戻る場所を決める

応用問題を開いて10分考えて、手が動かなければ、問題の1行目に出てくる用語を丸で囲みます。その用語を教科書の索引か目次で探し、載っている単元の例題を開きます。戻るのは、その1問だけです。章の最初からやり直すのではなく、止まった問題に関係する例題1問に絞ります。

戻った例題は、閉じて解き直します。解ければ、元の応用問題に戻って、3つの動きの続きから書きます。解けなければ、例題の1問前の類題に戻ります。この戻り方を2回まで繰り返しても動かないときは、その日はその問題を閉じて、別の日に例題からやり直します。1問に時間をかけ続けるより、戻る場所を記録して次に回す方が、次の問題で同じ場所に戻れます。

図2のように、進む順番と3つの動きを1枚に並べておくと、どの段で止まったかがノートを見ただけでわかります。

学年と場面で変わるところ

中学1年では、応用問題の入口は文字式と1次方程式です。文章の中の数をxとおけるかという1点で止まることが多くなります。目印は、例題を閉じて式を作れるか、用語を説明できるか、同じ形を作れるかの3つですが、中1では同じ形を作るのが難しければ、数だけを変えた問題を写して作る形でも構いません。戻る場所は、文字式の数量を文字で表す例題です。

中学2年では、1次関数、連立方程式、図形の証明が重なります。応用問題で止まる型は、求める物が決まらないまま式を立てようとする型と、図を描かずに条件を頭の中だけで重ねる型です。戻る場所は、単元の例題1問と、その1問前の類題です。定期テストの前でも、章末を全部やろうとせず、まず例題と類題を閉じて解きます。

中学3年では、二次方程式、相似、三平方の定理のように、使う部品の数が増えます。応用問題を開く前に、章の用語を3つ選んで説明する時間を作ると、どの部品が足りないかが見えます。戻る場所は、単元名と例題の番号をノートの端に書いておきます。入試の小問は、章末が解けてから、1問だけ試します。

高校生では、数学Iの2次関数や数学Aの場合の数のように、例題の下に類題が並ぶ構成が増えます。戻る場所を探すときは、例題の番号だけでなく、単元名と見出しも書いておくと、次の日に探し直さずに済みます。範囲が広いテスト前は、章末を全部ではなく、止まった問題の種類ごとに1問ずつ選びます。

ふだんの日は、例題を閉じて解く確認を1問だけ行います。テスト前は、範囲の例題と類題を先に閉じて解き、章末は時間が残ったときに1問だけ開きます。長期休みは、前の学期に止まった問題を1つ選び、その問題の1行目から例題を探し直します。どの場面でも、戻る範囲は1つの例題に絞ります。

よくある失敗と直し方

失敗1　解説を読んで「わかった」で終わる

解説を読むと、答えまでの道筋が整って見えるので、自分も動かせた気になります。しかし解説を閉じた瞬間に、式の1行目が出てこないことがあります。これは理解が足りないのではなく、手を動かす確認をしていないだけです。直し方は、解説を閉じて、同じ問題を白い紙にもう一度書くことです。書けなければ、解説をもう一度読むのではなく、例題に戻ります。解説は答え合わせの道具で、練習の代わりにはなりません。

失敗2　応用の前に基本を全部やり直す

応用問題で止まったときに、章の最初から全部やり直すと、時間が足りずに章末へ戻れません。戻る範囲が広いほど、戻った先で何を探していたかを忘れます。直し方は、止まった問題の1行目に出てくる用語を1つ選び、その用語の例題1問だけを開くことです。全部をやり直すのではなく、止まった場所につながる1問に絞ります。絞った例題が解けたら、元の問題に戻ります。

失敗3　図を描かずに式だけ立てる

文章題の条件を頭の中だけで重ねると、数の関係が見えなくなります。式を立てる前に図や表を書くと、わかっている数と求める数が別の場所に分かれて見えます。直し方は、問題文を読みながら、出てきた数と関係を図や表に写すことです。図が完成してから式を立てます。図に書けない関係があれば、それは問題文の読み方がまだ決まっていない印です。

図3のように、解法を思い出す・図を描かない・例題を開いたまま、という3つの型ごとに戻る先を決めておくと、10分の使い方が変わります。

よくある質問

定期テスト前でも応用問題に手を出してよいですか

テスト前は、範囲の例題と類題を閉じて解けるようにするのが先です。章末と入試の小問は、例題が閉じて解けてから、範囲の最後の1問だけを目安にします。テストの出題は学校ごとに違うので、範囲表と授業中の説明で確かめてください。応用問題を全部やろうとして例題がおろそかになると、取れる問題を落とします。

応用問題が解けるようになるには何を増やせばよいですか

解く問題の数を増やすより、1問を3つの動きで書く回数を増やします。同じ問題を、図で書く日、式で書く日、用語を説明する日と分けて触ると、部品が残りやすくなります。問題集を新しく買うより、今の教科書の例題と類題を閉じて解く回数を増やす方が、戻る場所も見つけやすくなります。

解法を暗記すれば応用問題も解けますか

解法の暗記は、例題の型を覚えるのには役立ちます。ただし応用問題には、どの型を使うかを問題文から選ぶ作業があります。型を覚えたら、その型が使える問題かどうかを、求める物とわかっていることで見分ける練習が要ります。暗記した解法を当てはめる前に、問題文の1行目で使う部品を選ぶ順番を決めておくと、当てはめ違いが減ります。

保護者が手を貸すなら

お子さまが応用問題の前で止まっているとき、解き方を教えるより先に、この問題は何を求める問題かを聞いてみてください。お子さまが答えたら、その言葉は例題のどこに載っていたかを一緒に探します。10分たっても動かないときは、答えを教えるのではなく、教科書の該当ページを開いて渡します。手を動かすのはお子さま、戻る場所を一緒に探すのは家の人、という分担にすると、お子さまは自分で戻る練習を続けられます。

個別指導で確かめること

応用問題が解けないとき、どの例題まで戻れば解けるようになるかを、例題の1問前から順に確かめます。用語の説明と、同じ形の問題を作れるかも、その場で1問ずつ見ます。戻る場所が決まれば、家でも同じ順番で確かめられます。

まとめ

章末の応用問題を開いて10分たったら、まず例題の1行目に戻る。戻る場所を1問に絞ることが、応用問題を自分の手で進める始まりです。