共通テスト数学の平均を平均してよいか—人数の違う二つの集団を合わせる計算｜武蔵野個別指導塾

人数の異なる2集団の平均を合わせるには、各平均を人数倍して総量に戻し、合計を全人数で割る順序を使います。

人数の違う2集団の平均から全体の平均を求めるときは、それぞれの平均を人数倍して総量に戻し、合計を全人数で割ります。2つの平均を足して2で割る方法は、2集団の人数が等しい場合には使えますが、人数が異なる場合には一般に使えません。平均の値だけでなく、その値を支える人数を一緒に扱うことが出発点です。

よくあるのは高1の冬、人数の違う二クラスの平均を足して2で割った夜という場面です。式は短く、割り算も終わっているので、どこに戻ればよいか迷います。まず答えの数字を消すのではなく、2で割った理由を声に出してみます。2つの平均があることと、2集団の人数が等しいことは別の条件です。

2つの平均を同じ重さに置くと何が抜けるか

たとえば、読書会のA組は4人で1人あたり平均6冊、B組は2人で1人あたり平均3冊の本を読んだとします。これらの数は説明用に作ったものです。A組の合計は4人分の6冊で24冊、B組は2人分の3冊で6冊です。合わせると6人で30冊なので、全体の1人あたりの平均は5冊です。ここでの冊数は各人が読んだ冊数の合計として数え、同じ本を複数人が読んだ場合もそれぞれの読書冊数に含めます。

一方、6と3を足して2で割ると4.5冊です。この計算は、6冊と3冊に同じ重さを与えています。しかし実際には6冊という平均は4人分、3冊という平均は2人分を代表しています。人数の多いA組の平均が、全体の平均をより強く引き寄せる理由はここにあります。各人の冊数の内訳がわからなくても、平均と人数があれば各組の合計は復元できます。

図1のように、平均を2個の値として並べるだけでは、背後にある人数の差が隠れます。誤りは足し算そのものではなく、各平均を同じ人数分として扱うことです。平均は集団を代表する数ですが、それ自体が集団の合計ではありません。

たとえばA組の全員が6冊、B組の全員が3冊なら、6、6、6、6、3、3を合計して6で割ることになります。これはもとの平均と人数に合う一つの内訳です。実際の内訳が違っても、各組の合計が変わらなければ全体の平均は変わりません。したがって、個人の値を勝手に確定する必要はなく、平均と人数から合計へ戻すだけで足ります。

答案のどの行で人数を落としたか

答案に「6 + 3 = 9、9 ÷ 2 = 4.5」とあれば、計算をやり直す前に、割る数の2が何を数えているかを確かめます。それは集団の数です。問いが尋ねるのは全員をまとめた1人あたりの冊数なので、最後に割る対象は集団の数ではなく人数の合計です。さらに、割られる数も2つの平均の和ではなく、全員の冊数の合計にする必要があります。

途中式に「4 × 6 + 2 × 3」まであれば、人数を反映する入り口はできています。次に確認するのは、得られた30が冊数の合計であることと、6が人数の合計であることです。もし30を2で割っていれば、最後の割る数に戻ります。逆に6で割っていても、分子が6 + 3のままなら、合計を作る段階に戻ります。間違いの位置を分けると、全部を消して最初から書き直さずに済みます。

集団ごとの平均を求める問題と、すでに与えられた平均を使って集団を合わせる問題も区別します。前者では個人の値の合計を人数で割ります。後者では、平均から合計へ戻す掛け算を先に行い、最後に全人数で割ります。ここでの判断は、散らばりの大きさを求めることではありません。人数を重みとして、2つの代表値を一つに統合する判断です。

平均の大小だけを見て答えを決めるのも危険です。今回の全体平均は3冊と6冊の間にあり、人数の多い組の6冊に近い5冊です。この位置関係は答えの点検には役立ちますが、それだけでは正確な値は決まりません。人数の比が変われば、同じ2つの平均でも全体の平均は変わるからです。

合計へ戻す順序を紙に残す

まず各組の人数、平均、単位を横に並べます。A組は4人、平均6冊、B組は2人、平均3冊です。平均がどちらも「1人あたりの冊数」なので、人数を掛けると各組の冊数の合計になります。単位を言葉で追うと、1人あたりの冊数に人数を掛けて冊数になる、と確かめられます。

次に、A組は4 × 6 = 24冊、B組は2 × 3 = 6冊と書きます。図2のように、各組で先に掛けてから合計すれば、人数の差を計算へ残せます。平均同士を先に足すと、どちらが何人を代表していたかを後から復元できません。

3段目で冊数を合わせます。24 + 6 = 30冊です。人数も別に合わせて4 + 2 = 6人とします。分子と分母を同じ範囲の集団にそろえることが大事です。たとえば分子に両組の冊数を入れたのに、分母をA組の4人のままにすると、全体の1人あたりとは呼べません。

最後に30 ÷ 6 = 5冊とします。答えには「1人あたり」を添え、30冊という総量と5冊という平均を区別します。小数や分数が現れた場合も、求められた条件に合わせて表し、計算の途中で勝手に丸めないようにします。平均は整数でなくてもよく、個人が実際にその冊数を読んだことまで意味しません。

別の書き方として、各組の平均に全人数に占める割合を掛ける方法もあります。A組は6人中4人、B組は6人中2人なので、6 × 4/6 + 3 × 2/6 = 5です。これは別の規則を覚えるというより、合計を人数で割る式を2つに分けたものです。割合の分母がどちらも全人数になっているかを見れば、重みの対応を確かめられます。

数値を入れる前に、言葉で「A組の人数 × A組の平均 + B組の人数 × B組の平均」を作り、それを「A組の人数 + B組の人数」で割る、と書いてもよいでしょう。人数と平均を交差させると別の量になってしまうので、同じ組の2つを線で結んでから掛けます。合計を求める段階と人数で割る段階を分けると、対応のずれが見えます。

重みを変えると答えはどこへ動くか

もとの読書会を使い、平均を変えずに人数だけを考えます。A組とB組の平均がそれぞれ6冊と3冊で、2組の人数が同じなら、全体の平均はちょうど中間の4.5冊です。A組の人数がB組より多くなると、6冊を代表値とする人の割合が増え、全体の平均は6冊の側へ動きます。逆にB組の人数が多ければ、3冊の側へ動きます。平均の位置は、どちらの組の人数が多いかを見落としていないか確かめる手掛かりです。

ただし「人数が多い側に近い」だけを答えにしてはいけません。近さは人数の比で変わり、たとえば2倍と3倍では全体の平均も異なります。正確な値が必要なら、必ず各組の総量を求めるか、全人数に対する割合を用いて計算します。比だけがわかる場合は、同じ倍率で人数を増やしても平均は変わらないので、その比に沿った人数を置いて計算できます。実際の人数がその置き方と同じだったと決めつける必要はありません。

2つの平均の範囲から外れた答えが出たときは、人数と平均を対応させて掛けたか、全人数で割ったかを見直します。正の人数を持つ2組では、全体の平均は2組の平均の間にあります。平均が等しければその値と一致します。これは位置を調べる点検であり、範囲内にある答えが必ず正しいという意味ではありません。最初の誤答4.5冊も3冊と6冊の間にありますが、人数を反映していないため正答ではありません。

与えられた数の意味を取り違えない

平均と合計が同じ行に載っているときは、どの数が1人あたりなのかを先に記します。合計にもう一度人数を掛ければ、実際より多く数えることになります。逆に平均をそのまま足せば、各組が代表する人数を落とします。問題文に「合計」とあればその値を使い、「平均」とあれば対応する人数を掛ける、という分岐を紙に残します。

平均が端数に丸められた値として与えられる場合は、人数を掛けた値も正確な総量とは限りません。厳密な全体平均を問うには、丸める前の値や合計が必要かもしれません。問題が平均を正確な値として与えているのか、概数として与えているのかを読み分けます。架空の練習例では、示した平均を正確な値として扱っています。

数える対象がそろっているかも同じように大切です。ある組の平均が参加者1人あたり、別の組の平均が世帯あたりなら、人数を掛けて同じ種類の合計を作ることはできません。対象をそろえるための情報が足りなければ、計算を進めず不足を明示します。単位が同じに見えても、何を1単位として割った平均かまで確認すると、分母のずれに気づけます。

同じ人数ならどうなるか、違う数ではどうか

たとえば2つの作業班がそれぞれ3人で、1人あたりの作業数の平均が2個と8個だったとします。各班の合計は6個と24個、全体では6人で30個です。全体の平均は5個で、2と8の単純平均にも一致します。図3のように人数が等しいときは、2つの平均に与える重みも等しくなるためです。

ここで人数が等しいという条件を見ずに「平均はいつも平均してよい」と覚えると、最初の読書会で誤ります。反対に、人数が違うときでも2組の平均が同じなら、単純平均と全体平均は一致します。ただしそれは同じ値をどんな人数で重み付けしても変わらないためで、人数の情報を不要と考える一般的な理由にはなりません。人数が正で、2組の平均が異なれば、単純平均が全体平均と一致するのは人数が等しい場合です。

平均と人数のどちらかが欠けている場合は、勝手な数を補いません。たとえば各組の平均だけが与えられ、人数の比も不明なら、一般には全体平均を一意に決められません。組の人数が0ならその組の平均を通常の方法で定められず、与えられた条件の意味を確認する必要があります。また、2つの組に同じ人が重複して含まれる場合、単純に人数と合計を足すとその人を二度数えるため、重複の扱いを先に確かめます。

確かめの問題

たとえば苗を育てるC班は5人で1人あたり平均4鉢、D班は10人で1人あたり平均7鉢を担当しました。両班の人は重ならず、各人の担当鉢数を合計します。両班を合わせた1人あたりの平均は何鉢ですか。まず各班の合計と全人数を別々に書いてから答えてみてください。

解答は6鉢です。C班は5 × 4 = 20鉢、D班は10 × 7 = 70鉢なので、合計90鉢を15人で割ります。4と7の単純平均5.5鉢になった場合は、人数を掛ける前に平均を足していないか戻ってください。90を2で割った場合は、最後の分母を班の数から全人数へ戻します。6鉢は2つの平均の間にあり、人数の多いD班の7鉢に近いことも点検できます。

教科書と答案を使って尋ねる

教科書のデータの平均を扱う箇所で、合計を個数で割る定義を確認します。そのうえで自分の紙に各組の人数、平均、求めた合計、全人数を書き出します。「平均から合計に戻すとき、どの人数を掛けるのか」「最後の分母が全人数になるのはなぜか」と尋ねれば、計算の位置を具体的に確かめられます。単位が点数や長さの場合も、同じ単位で測った量か、同じ対象を重複して数えていないかを条件と照らします。

お子さまが4.5冊と書いた答案を持っているなら、正しい答えだけを横に写す前に、2で割った行に印を付けます。人数を反映した式に直した後、どの数字が合計でどの数字が平均かを説明できるかを見ます。数を変えた問題でも同じ説明が成り立つかを試すと、式の形だけを覚えた状態と区別できます。

個別指導で見比べる紙

個別指導では、各組の人数と平均を記した問題文、最初の途中式、直した途中式を並べます。数字の対応を線で結び、掛け算で総量を作れたか、最後の割り算に全人数を使えたかを確認します。答えが合った場合も、人数が異なる別の例で説明を再現できるかを見ます。

計算の前に、2つの組が同じ量を同じ単位で数えていることを確認します。途中の合計と最後の平均を別の行に置けば、数字が何を表すかを見失いにくくなります。答えを出した後も、人数の多い組との位置関係を一度見直します。

まとめ

2集団を合わせる平均は、各平均を人数倍して総量に戻し、全人数で割ります。人数が等しい場合の単純平均を、人数が違う場合にそのまま持ち込まないことが判断の境目です。