中学受験の算数 植木算—端を数える条件に合わせて本数と間隔を求める｜武蔵野個別指導塾

直線の端と輪を図で比べ、間の数から本数や間隔を求める手順で植木算を読み解きます。

よくあるのは、小4のお子さまが輪に並ぶ木の問題でも、間の数に1を足す場面です。直線の両端に木を置く図を覚えていると、その式をどの場面にも使いたくなります。しかし、輪には始まりと終わりの端がありません。最後の木から最初の木へ戻る間を数えると、本数と間の数の関係が見えてきます。

植木算（うえきざん）では、木に限らず、印やいすなどを等しい間隔（かんかく）で並べたときの数を考えます。まず場所を小さな点で表し、点と点の間を線でつないでみましょう。計算を始める前に、どこからどこまでが1つの間なのかを確かめることが出発点です。

どんな問いに分かれるか

1つ目は、直線の両端（りょうはし）に印を置く問いです。全体の長さと1つ分の間隔から間の数を出し、その間の両側にある印の数を求めます。両端に印があると、印は間より1つ多くなります。反対に本数から長さを求めるときは、先に間の数を出してから間隔をかけます。

2つ目は、直線の片端（かたはし）に置き、もう片端には置かない問いです。端に置くかどうかで本数が変わります。道の長さに印のある位置とない位置を描いて、それぞれの間に対応する印を数えます。両端とも置かない場合は、両端に置く場合から端の2つを取り除いて考えられます。

3つ目は、輪に沿って等間隔に置く問いです。輪を1周すると出発点に戻るので、最後にも1つの間があります。印を1つ出発点に選んで進むと、間を1つ進むごとに次の印があり、最後の間の先は出発点です。出発点を新しい印としてもう一度数えないことがポイントです。

問いによって求めるものも違います。本数を聞かれたのか、隣（となり）どうしの間隔を聞かれたのかを先に囲みましょう。長さ、本数、間の数を区別して書くと、計算の途中で単位が混ざりにくくなります。

点と間を対応させる

図1のように、直線の両端に点を置くと、3つの間の両側に4つの点があります。左端の点から出発して間を進むと、1つ進むたびに新しい点に着きます。出発点が最初に1つあるので、点の数は間の数より1多くなります。

輪では、図1の下段のように4つの点の間が4つあります。点から次の点までを順番にたどり、最後に出発点へ戻る線も数えます。両端がある直線と違い、点を重ねて数える場所はありません。輪を途中で切って直線に描き直す場合は、切り口の両端がもとの同じ点だと印をつけておきます。

直線の片端に点を置き、反対の端に置かない場合はどうでしょう。点がない端から見れば、各間の先に点が1つずつ対応します。したがって点の数と間の数は等しくなります。両端に置かない場合は、両端に置く図から端の点2つを除くため、点の数は間の数より1少なくなります。

ただし、これらの関係は、数えている区間を決めてから使います。途中で道が曲がっていても端を持つ1本の道なら直線と同じ数え方です。一方、閉じた道なら輪として数えます。形の見た目より、端があるか、1周して元に戻るかが分かれ目です。

長さを使うときは、1つの間隔がどれも等しいという条件も必要です。全体の長さを間隔で割ると間の数が出ますが、間隔がばらばらなら同じ割り算は使えません。求めた間の数に間隔をかけ、全体の長さへ戻せるかを確かめます。

両端に立てる旗の本数

【例題】長さ48 mのまっすぐな道の両端を含めて、6 mおきに旗を立てます。旗は何本必要ですか。整数で答えましょう。

図2のように、道の左端から右端までを6 mずつ区切ります。左端と右端のどちらにも旗を立てる条件です。まず旗の本数ではなく、道がいくつの間に分かれるかを求めます。

48 ÷ 6 = 8

8は旗の本数ではなく、6 mの間の数です。図では左端の旗から8つの間を進むたびに、次の旗に着きます。出発点の旗も1本あるため、次のようにします。

8 + 1 = 9

答えは9本です。間を8つ描いたとき、両端を含む旗を1本ずつ数えても9本になります。最後の旗を数え落としていないか、左端から順に確認できます。

答えをもとの条件に戻してみましょう。9本の旗の間は、両端を含むので1少ない8つです。8 × 6 = 48 mとなり、道の長さと一致します。旗を8本と答えると間は7つしかなく、7 × 6 = 42 mです。右端まで6 m足りないため、条件を満たしません。

この問題で48 ÷ 6の答えに1を足す理由は、公式を先に選んだからではありません。左端の旗を出発点として数え、その後に8つの間を進んで8本の旗に着くからです。出発点と到着点をそれぞれ数えるという意味を、図の上で説明できるようにしておきましょう。

途中から輪に変わるときの分かれ目

【例題】1周72 mの丸い道に、8 mおきに同じ種類の灯りを置きます。さらに、長さ40 mのまっすぐな通路には、道に接する端には灯りを置かず、反対の端には灯りを置き、8 mおきに並べます。道と通路の灯りは別の場所にあります。灯りは合わせて何個ですか。整数で答えましょう。

先に丸い道を考えます。1周を8 mずつ区切ると、間の数は次のようになります。

72 ÷ 8 = 9

輪では最後の間が出発点につながります。間1つにつき灯り1個を対応させられるので、丸い道の灯りは9個です。9個から始めて隣へ8 mずつ進めば、9つ目の間を進んだところで出発点に戻ります。戻った場所を10個目として数えません。

次に通路を考えます。両端の条件を混ぜないように、通路を別に描きます。通路の間の数は次のとおりです。

40 ÷ 8 = 5

接する端には灯りがなく、反対の端には灯りがあります。灯りのない端から8 m進むたびに灯りが1個あるので、通路の灯りは5個です。2つの場所の灯りを合わせます。

9 + 5 = 14

答えは14個です。丸い道では9 × 8 = 72 m、通路では5 × 8 = 40 mに戻ります。通路の片端には置かないことも図で確かめます。場所が別なので、同じ灯りを重ねて数えることはありません。

もし通路の両端にも灯りを置く条件なら、通路の5つの間に対して灯りは6個になります。このように、長さと間隔が同じでも、端の置き方が変わると個数は変わります。輪と通路をひとまとめにして先に1を足すのではなく、それぞれの端の条件を決めてから合計します。

間違えた答えを図に戻す

図3のように、輪に4個の印がある場合を考えます。印と印の間を3つまで数えて、出発点へ戻る最後の間を見落とすと、間は3つと思ってしまいます。そのうえで「両端にあるから4個」と説明すると、たまたま個数は合っていても、輪の関係はつかめていません。

原因は、輪を直線のように見て、終点に端があると思い込むことです。図3の色を変えた最後の間は、4個目の印から最初の印へ続いています。そこも隣どうしの間なので、3つに1つを加え、間は4つです。印は4個のままです。

別の誤りとして、輪の間が4つだと正しく数えたあと、直線の両端の式を使って4 + 1 = 5個とすることがあります。出発点に戻った瞬間を新しい印と見なしてしまうのが原因です。修正するときは、1つの印から次の印へ、4つの間を指でたどります。最後に戻る印が最初に数えたものと同じだと確認すれば、印は4個です。

直線では逆の間違いにも注意します。両端に旗を立てるのに、全体の長さを間隔で割った数をそのまま旗の本数とすると、出発点を数え落とします。端に印を描いてから間を1つずつ進み、出発点を含めた点の数を数え直しましょう。

また、割り算が割り切れなかったとき、答えを勝手に切り上げたり切り捨てたりしてはいけません。たとえば両端を含む長さ17 mの道に6 mおきに置くと、6 mの間を2つ作っても5 m残ります。両端を含めて全ての間を6 mにする条件とは合いません。間隔や端の条件をもう一度読み、問題の条件がそろっているかを確かめます。

長さや間隔が書かれていない場合も同じです。端に置くことだけでは本数は決まりません。図にわかっている数を記し、何が不足しているかを言葉にします。計算結果を急ぐより、条件から一意に決まるかを調べることが大切です。

答えが決まる条件を点検する

問題を解く前に、長さの単位がそろっているかも見ます。道の長さが m、間隔が cm で書かれているときは、同じ単位に直してから割ります。異なる単位の数字をそのまま割った結果は、間の数を表しません。計算した数が何を表すか、式の横に「間」や「本」と添えておくと、最後に答える単位も選びやすくなります。

本数から間隔を求める場合は、長さをいきなり本数で割らず、まず配置から間の数を数えます。両端に置いた直線なら本数より1少ない数、輪なら本数と同じ数です。たとえば両端を含む4本なら3つの間ですが、輪の4本なら4つの間です。同じ4本でも割る数が変わる理由を、点と線で説明できます。

条件に合わない数が出た場合は、途中の単位の直し方、端を含むかどうか、割る数を順に調べます。読み落としがなければ、与えられた条件のままで並べられるかを考えます。答えが出ないことを誤答として隠さず、残った長さを示すと、どの条件と合わないか伝えられます。

自分で試す4問

どの問題も、まず点と間を描いてから式を考えてください。長さは道に沿って測り、隣どうしの間は等しいものとします。

1. 長さ63 mのまっすぐな花だんの両端を含め、7 mおきに札を立てます。札は何枚ですか。整数で答えましょう。
2. 長さ60 mのまっすぐな廊下の片端にだけ印をつけ、そこから反対の端には印をつけずに、5 mおきに印をつけます。印は何個ですか。整数で答えましょう。
3. 1周84 mの池のまわりに、同じ間隔で12個の石を置きます。隣どうしの石の間隔は何 mですか。整数で答えましょう。
4. 長さ54 mのまっすぐな道に、片方の端から6 m、12 m、18 mというように6 mおきに目印を置き、反対の端の6 m手前で終えます。両端には置きません。目印は何個ですか。整数で答えましょう。

答えと考え方

1. 答えは10枚です。63 ÷ 7 = 9で、間は9つあります。両端に札を立てるので、9 + 1 = 10枚です。10枚なら間は9つで、9 × 7 = 63 mとなり、もとの長さに戻ります。

2. 答えは12個です。60 ÷ 5 = 12で、間は12です。印のない端から見れば、間を1つ進むたびに印に着くので、印も12個です。印のある端を出発すると、11個の印を通ってから最後に印のない端へ着きます。12 × 5 = 60 mで、端の条件にも合います。

3. 答えは7 mです。輪では12個の石に対して間も12あります。84 ÷ 12 = 7 mです。12 × 7 = 84 mとなり、1周の長さに戻ります。最後の石から最初の石までの間を忘れずに数えます。

4. 答えは8個です。54 ÷ 6 = 9で、道は9つの間に分かれます。両端にも置くなら10個ですが、端の2個を取り除くので、10 − 2 = 8個です。端を空けた図では、左端から1つ目の間の先に最初の目印があり、8個目の先にもう1つ間を経て右端があります。9 × 6 = 54 mです。

答えを出した後は、問題文に戻って端の条件を指で追ってみましょう。式が合っていても、両端のうち片方を置き忘れていれば、元の条件には戻りません。輪なら最後の間も含めて1周できることを確かめます。

覚えておきたいこと

• 直線の両端に置くと、点は間より1多くなります。
• 直線の片端に置くと、点と間は同じ数です。
• 輪では最後に戻る間も数え、点と間を同じ数にします。
• 等間隔か、端に置くかを先に確かめ、答えを長さに戻します。

お子さまと図を囲んで

お子さまが式を覚えていても、どの点が出発点で、どこが最後の間かを説明できなければ、場面が変わると迷うことがあります。答えをすぐ直す前に、描いた図を指して「ここから次の点まではどの間かな」と聞いてみてください。数えられたところまでを認め、残る1つの間を自分で探す時間を取ります。

両端の条件が読み取れないときは、問題文の「含める」「置かない」という言葉と図の端を結ぶ一手を促します。輪で迷ったときは、出発点に印をつけ、そこに戻るまで間を順にたどります。図に示した点と間が、答えの理由になります。