中学受験の算数 割合の3用法—もとにする量を決めて三つの求め方を使う｜武蔵野個別指導塾

本の冊数を線分に表し、もとにする量を選んで、求めたい量に合う割り算やかけ算へつなげます。

よくあるのは、小5のお子さまが、読んだ本の冊数と本棚の本の冊数を見て、どちらをどちらで割ればよいか迷う場面です。数が2つ並ぶと、すぐに大きい数を小さい数で割りたくなるかもしれません。しかし、割合を求めるときの割る順序は、数の大きさではなく、何をもとに比べるかで決まります。まず「何を1と見るか」を言葉で押さえてから、式を作りましょう。

問題文のどこを見るか

割合の問題では、同じ関係から3種類の問いが作られます。1つ目は、もとにする量と比べる量がわかり、割合を求める問いです。2つ目は、もとにする量と割合がわかり、比べる量を求める問いです。3つ目は、比べる量と割合がわかり、もとにする量を求める問いです。3つをまとめて割合の3用法（ようほう）と呼びます。

たとえば、箱に入ったカードのうち何枚かを使う場面なら、箱の中に最初にあった枚数をもとに見ることができます。「使った枚数は最初の枚数の何倍ですか」と聞かれれば割合です。「最初の枚数の何倍を使いました。何枚ですか」なら比べる量です。「何枚使ったところ最初の枚数の何倍でした。最初は何枚ですか」ならもとにする量です。

同じ「何枚」という言葉でも、求めるものが最初の枚数なのか、使った枚数なのかで式が変わります。問題を読み終えたら、わかっている数をすぐに計算せず、3つの場所のうち空いている場所を探します。割合は単位のつかない数、冊数などの量には単位がつく数です。この違いも空欄を見つける手がかりになります。

1と見る量を決める

もとにする量は、比べるときの基準（きじゅん）になる量です。比べる量は、その基準に対して大きさを見る量です。割合は、比べる量がもとにする量の何倍にあたるかを表します。比べる量を比較量（ひかくりょう）、もとにする量を基準量（きじゅんりょう）と呼ぶこともあります。

図1のように、もとにする量を1とした線分を描きます。比べる量は同じ左端から描き、その右端に対応する割合を置きます。線分の長さが量に対応するので、もとの半分なら割合は0.5、もとと同じなら1です。もとより大きい量も比べられ、その割合は1より大きくなります。

図1では、もとの量が20個で、比べる量が10個です。10個は20個の半分なので、割合は0.5です。もとの20個を1と見るからこそ、10個を0.5と読めます。逆に10個をもとにして20個を比べれば、割合は2です。どちらも計算としては成り立ちますが、問題が指定した向きに合う答えを選ばなければなりません。

「AはBの何倍」の場合、Bがもとです。Bを1としたときのAの大きさを求めるので、AをBで割ります。「AのうちB」という表現なら、全体のAをもとにして部分のBを見る場合が多くなります。言葉だけで機械的に決めず、何を1にする問いかを場面に戻して確かめます。

3つの関係は次のように書けます。

比べる量 ÷ もとにする量 = 割合

もとにする量 × 割合 = 比べる量

比べる量 ÷ 割合 = もとにする量

どの式も、もとにする量に割合をかけると比べる量になる、という同じ関係から出ています。割り算の式だけを別々に覚えるより、かけ算に戻せるかを確かめると向きを判断しやすくなります。割合が0のときは、比べる量も0になります。この場合、比べる量を0で割ってもとの量を決めることはできません。以下では、割る数になる割合やもとの量は0でない条件を使います。

冊数から割合を求める

【基本例題】本棚には本が全部で48冊あります。そのうち18冊を読みました。読んだ冊数は全部の冊数の何倍ですか。答えは分数で表してください。

図2のように、全部の48冊をもとにし、読んだ18冊を比べます。問いは「全部の冊数の何倍」なので、48冊が1にあたります。線分の左端をそろえると、18冊が48冊のどの部分にあたるかを見られます。

求めたいのは割合です。比べる量をもとにする量で割ります。

18 ÷ 48 = 18/48

分子と分母をどちらも6で割って、次のように直します。

18/48 = 3/8

答えは3/8倍です。途中の18/48は、48冊をもとと見て18冊分を取ることを表しています。3/8に直しても同じ大きさです。読んだ冊数は全部より少ないので、割合が1より小さいことも場面と合っています。

かけ算に戻して確かめます。全部の48冊の3/8を計算すると、

48 ÷ 8 = 6

6 × 3 = 18

となり、読んだ18冊に戻ります。先に48を8で割るのは、48冊を8等分した1つ分を求めるためです。その3つ分が18冊です。逆に48 ÷ 18とすると8/3となり、読んだ冊数をもとにして全部を比べた数になります。求められた向きとは違います。

答えを書く前に「何冊を1とした何倍か」を声に出してみましょう。割る式の右側に置いた48が、言葉で確かめたもとの冊数と一致すれば、向きも確認できます。分数に単位の「冊」は付けません。冊どうしの大きさを比べた倍率だからです。

見つからない量で式が分かれる

【例題】ある花だんに植えた苗の数は、別の花だんに植えた苗の数の0.6倍で、18本です。別の花だんには苗を何本植えましたか。答えは整数で表してください。

ここでは「別の花だんに植えた苗の数」を1とします。その0.6倍が18本なので、18本は比べる量です。もとの本数がわからないため、18に0.6をかけるのではなく、次の関係からもとを戻します。

もとの本数 × 0.6 = 18本

18 ÷ 0.6 = 30

答えは30本です。0.6倍して18本になる数を探すので、18を0.6で割ります。小数の割り算は、割られる数と割る数を両方10倍して、180 ÷ 6 = 30と考えられます。確かめると30 × 0.6 = 18で、条件に戻ります。18本はもとの0.6倍ですから、もとの本数30本より少ないことも合っています。

もし問題が「別の花だんに30本あり、その0.6倍を植えました。何本ですか」なら、今度の空欄は比べる量です。30 × 0.6 = 18と計算します。0.6が同じでも、30本がわかっているか、18本がわかっているかで使う操作が逆になります。文章を読んだ後に、もと・比べる量・割合の3つを小さな表に書き、空欄の位置を見てください。

割合が1より大きい場合にも同じ関係が使えます。たとえば、もとの量の1.5倍は、もとの量より大きくなります。反対に、比べる量と1.5倍がわかってもとを求めるときは、その大きい量を1.5で割ります。「割れば小さくなる」「かければ大きくなる」と決めて式を作るのではなく、かけ算の関係に数を戻して確かめることが必要です。

割る順序を取り違えたら

たとえば、もとが24個、比べる量が6個で、比べる量はもとの何倍かを求めるとします。24 ÷ 6 = 4として4倍と答える誤りがあります。大きい数を先に置いたため、6個を1と見て24個を比べてしまったのが原因です。

図3のように、24個を1とした線分の上に6個を重ねると、比べる量はもとの4等分の1つ分です。問いに合う式は6 ÷ 24 = 1/4です。24 × 1/4 = 6となり、もとの条件に戻るので、1/4倍と直せます。

もう1つの誤りは、比べる量と割合からもとを出す場面で、無条件にかけ算をすることです。比べる量が12個でもとの0.4倍なら、12 × 0.4 = 4.8としてしまうことがあります。4.8をもととすると、その0.4倍は1.92個で、12個に戻りません。12 ÷ 0.4 = 30個とすれば、30 × 0.4 = 12となります。答えが出た後のかけ算は、操作の向きを見直すために役立ちます。

また、割合を求めるときに、割る数と割られる数の単位が違うまま計算する間違いにも注意します。同じ種類の量を比べるなら、先に単位をそろえてから式にします。計算結果だけでなく、何を1としたかと、元の条件に戻るかを両方見てください。

問いを言い換えて点検する

式を作る前に、問題文を短い文に言い換える練習もできます。「もとの量を1とすると、比べる量は何にあたるか」と言えるなら、割合を求める問いです。「もとの量の何倍が何個か」と言えるなら、比べる量を求めます。「何個の何倍がこの量か」と言えるなら、もとの量が空欄です。言い換えた文と、問題に書かれた数の位置が合っているかを見てください。

図を描くときは、線分の長さを実際の量に合わせます。半分を表す線がもとの線より長いと、数と言葉の関係が図から読めません。目盛りを細かく描けないときも、左端をそろえ、もとより大きいか小さいかが伝わるようにします。図は答えを飾るためではなく、式の向きが問題の条件と合うかを調べる道具です。

自分で確かめる4問

まず4問を続けて解き、式の横に「もと」「比べる量」「割合」を書き分けましょう。答えはその後にまとめています。

1. 色紙が全部で35枚あります。そのうち21枚を使いました。使った枚数は全部の枚数の何倍ですか。答えは分数で表してください。
2. 水そうには水が40 L入っています。この量の0.7倍の水を別の容器に入れます。別の容器に入れる水は何Lですか。答えは整数で表してください。
3. 赤いリボンの長さは、青いリボンの長さの0.8倍で、32 cmです。青いリボンは何cmですか。答えは整数で表してください。
4. ある袋に入ったビー玉は16個です。別の袋にはその1.5倍のビー玉が入っています。別の袋には何個ありますか。答えは整数で表してください。

答えと考え方

1. 答えは3/5倍です。全部の35枚がもと、使った21枚が比べる量なので、21 ÷ 35 = 21/35 = 3/5です。35 ÷ 5 × 3 = 21となり、使った枚数に戻ります。使った枚数は全体より少なく、3/5も1より小さいため、向きが合っています。

2. 答えは28 Lです。40 Lがもとで、別の容器の量が比べる量です。40 × 0.7 = 28とします。28 ÷ 40 = 0.7となり、もとの水の0.7倍です。0.7倍は1倍より小さいので、40 Lより少ない量になることも確かめられます。

3. 答えは40 cmです。青いリボンがもと、赤いリボンが比べる量です。もとの0.8倍が32 cmなので、32 ÷ 0.8 = 40とします。40 × 0.8 = 32で赤いリボンの長さに戻ります。赤をもとにして青を比べる問いではないので、32をもとに置かないようにします。

4. 答えは24個です。16個がもと、もう一方の袋の個数が比べる量です。16 × 1.5 = 24と計算します。24 ÷ 16 = 1.5なので、条件の1.5倍に合います。1倍をこえる割合なので、答えが16個より多いことも自然です。

間違えた問題は、正しい式を写して終わらせず、問題文に戻ってもとの量に印を付けてみます。もとの量がわかっているかどうかを調べ、わかっていれば割合をかける場面か、比べる量を割って割合を求める場面かを分けます。もとが空欄なら、比べる量を割合で割る関係に戻します。最後に答えをかけ算の関係へ入れて、問題の数が再現できるかを見ましょう。

覚えておきたいこと

もとにする量を1と決め、比べる量と割合を対応させます。 割合は比べる量 ÷ もとにする量です。 比べる量はもとにする量 × 割合、もとは比べる量 ÷ 割合です。 答えをもとの関係に戻し、単位と大小も確かめます。

保護者の方へ

お子さまが式を選べないときは、答えを先に示す前に、線分のどちらが1にあたるかを聞いてみてください。そこを説明できたら、次は問題文の数を線分のどこに置くかを尋ねます。もとと比べる量を言い換えられるかを見ると、計算の手順と文章の読み取りのどちらで止まっているかを見分けやすくなります。

割る順序を逆にした場合は、結果が1より大きいか小さいかを、元の量の大小と一緒に見直します。もとを求める問題なら、求めた数に割合をかける一手を促します。最初から公式を並べるより、お子さまが自分の図に数を戻し、どの関係が合わなかったかを言えるところまで待つと、次の問題でも判断の手がかりが残ります。割合の向きは、1と見る量から決まります。