中学受験の算数 百分率と歩合—百分率と歩合を小数に直して増減を読む｜武蔵野個別指導塾

3割と3%を帯で比べ、増加分と増えた後の全体を区別しながら、続く増減の基準を読み取ります。

よくあるのは、小5のお子さまが「3割」を小数に直すとき、3を100で割って0.03と書く場面です。3割は10等分したうちの3つ分なので、正しくは0.3です。100等分の3つ分である3%とは、同じ3がついていても大きさが違います。表記を見たら、まず全体を何等分したものかを考えましょう。

問題文から増減を読む

百分率や歩合（ぶあい）の問題では、同じ割合を別の言葉で表したり、もとの量から増えた量や減った後の量を求めたりします。数を式に入れる前に、何をもとにするか、何を求めるかを短く書き出すと、計算の向きが見えます。

出方の1つは、百分率と歩合を相互に直す型です。たとえば、何%が何割何分にあたるかを考えます。2つ目は、もとの量と増減の割合から、増えた後や減った後の量を出す型です。増えた分だけを答えるのか、増えた後の全体を答えるのかで最後の式が変わります。

3つ目は、変化が続く型です。先に増え、次に減るとき、後の割合は変化後の量をもとにする場合があります。割合の数字だけを足したり引いたりせず、各段階の基準を言葉で確かめます。「最初の量をもとに」と書かれていれば、2回目も最初の量を基準にします。どちらの場合も、問題文が示す基準を優先します。

100等分と10等分をつなぐ

百分率（ひゃくぶんりつ）は、もとにする量を100等分したときの割合です。1%は100分の1で、小数では0.01です。歩合は、割（わり）、分（ぶ）、厘（りん）を使う表し方です。1割は10分の1で0.1、1分は100分の1で0.01、1厘は1000分の1で0.001です。歩合の「分」は時間の単位ではありません。

図1のように、同じ全体を10等分して3つ分を取ると3割です。100等分なら30個分なので30%、小数では0.3です。100等分の3個分を示す3%は0.03で、3割の10分の1です。同じ3でも、後ろの単位で大きさが決まります。

図1の上の帯は3割、下の帯は3%を示しています。どちらも帯全体がもとの量です。長さを比べれば、0.3と0.03の小数点の位置を見失いにくくなります。3割を3%にしてしまったら、もとの量の10分の3と100分の3を指で示し、どちらが3割に合うかを確かめます。

1割は10%ですから、4割2分は40%と2%を合わせて42%、小数では0.42です。さらに3厘を加えた4割2分3厘は0.4と0.02と0.003を合わせた0.423、百分率では42.3%です。位をそろえて足すと、厘を分と取り違えずにすみます。逆に、56%なら50%と6%に分け、5割6分と読めます。

増減を扱うときは、もとの量を1、つまり100%と見ます。2割増なら、もとの100%に20%を足した120%、小数では1.2です。2割減なら、100%から20%を引いた80%、小数では0.8です。増えた分だけを求めるときの0.2と、増えた後の全体を求めるときの1.2を区別します。

歩合を小数から読み直す練習も役立ちます。たとえば0.237は、0.2と0.03と0.007に分けられます。それぞれ2割、3分、7厘ですから、合わせて2割3分7厘です。百分率に直すと23.7%です。途中の位に何もなければ、その位を飛ばして読みます。0.205なら2割と5厘で、5分ではありません。

割合が100%を超えることもあります。もとの量に4割を加えた全体は140%、つまり1.4倍です。割合が1より大きいから間違いとは限らず、何と何を比べた割合かを見ます。反対に4割減った後は60%、0.6倍です。増減の分を表す0.4と、変化後の全体を表す数を混ぜないように、式の横に「増加分」や「残り」と書くと確かめやすくなります。

割合を直すだけの問題では、計算後に逆向きにも読んでみましょう。たとえば0.35を35%に直したら、35を100で割って0.35へ戻ります。位がずれていれば、行きと帰りで同じ数になりません。文章題では、さらに求めた量をもとの量で割り、条件の割合に戻るかを見ることができます。

基本例題：増えた後の冊数

ある棚には本が240冊ありました。本がその冊数の3割増えました。増えた本は何冊で、増えた後は何冊ですか。どちらも整数で答えましょう。

図2のように、240冊をもとの100%として帯に置き、右に増えた30%分をつなぎます。増えた分と、増えた後の全体は、帯の異なる部分です。もとの量が240冊なので、増加分を出す式には240と0.3を使います。

図2の増えた部分は、もとの240冊の3割です。まず3割を小数に直します。

3割 = 0.3

次に、240冊の0.3倍を求めます。

240 × 0.3 = 72（冊）

増えた本は72冊です。問題は増えた後の冊数も聞いていますから、72冊をもとの240冊に足します。

240 + 72 = 312（冊）

答えは、増えた本が72冊、増えた後が312冊です。72冊だけを書いて終えると、後半の問いに答えていません。増えた後を一度に求めるなら、100%と30%を合わせた130%、すなわち1.3倍を使います。

240 × 1.3 = 312（冊）

こちらでも312冊になりました。確かめると、312冊からもとの240冊を引いた72冊が増加分です。72 ÷ 240 = 0.3なので、増加分は確かに3割です。答えが整数になっていることと、単位が冊であることも確認します。

式を書く前に「増えた分」と「増えた後」の2つに丸をつけると、どちらを求めたか追いやすくなります。増えた後はもとの240冊より多くなるはずです。もし答えが240冊より少なければ、増加分を引いていないか、計算の順を見直しましょう。

続けて変わるときの基準

花だんで育てた苗が最初に200本ありました。1回目に、その時点の本数の2割にあたる苗を加えました。2回目に、加えた後の本数の25%にあたる苗を別の場所へ移しました。残った苗は何本ですか。整数で答えましょう。

1回目は200本をもとにします。2割は0.2なので、加える本数は次のとおりです。

200 × 0.2 = 40（本）

加えた後は、200 + 40 = 240（本）です。ここが分かれ目です。2回目の25%は最初の200本ではなく、加えた後の240本にかかります。25%を小数の0.25に直し、移す本数を求めます。

240 × 0.25 = 60（本）

残った本数は、240 − 60 = 180（本）です。答えは180本です。別の計算では、1回目の後は最初の1.2倍、2回目に残るのはその75%、つまり0.75倍です。

200 × 1.2 = 240（本）

240 × 0.75 = 180（本）

検算では、最初の200本に40本を加え、60本を移すと180本になります。40 ÷ 200 = 0.2、60 ÷ 240 = 0.25なので、それぞれの割合も条件に戻ります。

もし2回目を最初の200本の25%として計算すると、移す本数を50本としてしまいます。その場合は基準が違うため、問題の条件には合いません。反対に、問題文が「最初の本数の25%を移す」と指定していれば50本を移します。どちらの文かで式を選ぶことが大切です。

2割増と25%減を数字だけで比べて「5%減」とする方法も使えません。増えた分は200本の20%ですが、減った分は240本の25%だからです。ここでは結果が最初より20本少なく、その20本は最初の200本の10%にあたります。変化の割合を比べる際には、基準が同じかどうかを先に確かめます。

誤りを図に戻して直す

3割を0.03と読んで基本例題を解くと、240 × 0.03 = 7.2としてしまいます。これは240冊の3%であり、3割の増加分ではありません。原因は、割と%のそれぞれの分け方を同じにしたことです。さらに、本の冊数が整数でない結果も、条件に合うか見直す手がかりになります。

図3のように、3割は全体の10分の3、3%は100分の3です。全体を100等分して考え直すと、3割は30個分にあたります。したがって3割 = 30% = 0.3と直し、240 × 0.3 = 72冊を得ます。

図3では、両方の帯の全体の長さをそろえています。色の部分が3割の方は3%の方の10倍です。数値が同じ3でも、単位を見ずに小数へ変えると、色の部分の大きさが変わってしまいます。

もう1つの誤りは、3割増えた後を求めるのに240 × 0.3の72冊をそのまま答えることです。計算自体は増加分として正しいので、式に「増えた分」と書き添え、求めるものが全体なら240冊を足します。減る問題でも同様に、減った分と残った量のどちらが問われたかを見ます。

計算が途中で合わなくなったら、すぐに全部を消さず、もとの量に印をつけます。次に、割合が増えた分を示すのか、残りを示すのかを書きます。式の意味が言えないところから帯に戻すと、直すべき1行が見つかります。

手を動かして確かめる

次の4問を先に解き、式と単位を書いてから答えを見ましょう。どの量を基準にしたかも、短い言葉で残します。

1. ある集まりの参加者の割合が4割5分です。これを百分率と小数で答えましょう。
2. 公園に木が160本あります。その本数の15%にあたる木を新たに植えました。植えた木と、植えた後の木はそれぞれ何本ですか。整数で答えましょう。
3. 工作に使う紙が300枚あります。その枚数の2割を使いました。残った紙は何枚ですか。整数で答えましょう。
4. 池に魚が400匹います。最初にその匹数の1割にあたる魚を加え、次に加えた後の匹数の5%にあたる魚を別の池へ移しました。残った魚は何匹ですか。整数で答えましょう。

答えと考え方

1. 4割は40%、5分は5%です。40% + 5% = 45%なので、答えは45%、小数では0.45です。0.4 + 0.05 = 0.45としても確かめられます。4割5分を0.405とすると5分を5厘と読んだことになるので、各位の大きさを見直します。

2. もとの160本の15%を求めます。15% = 0.15なので、160 × 0.15 = 24（本）です。植えた後は160 + 24 = 184（本）です。答えは植えた木が24本、植えた後が184本です。24 ÷ 160 = 0.15で、植えた本数が条件の15%に戻ります。184本は160本より多く、増加の向きにも合います。

3. 2割 = 0.2です。使った紙は300 × 0.2 = 60（枚）、残りは300 − 60 = 240（枚）です。答えは240枚です。残りの割合を先に出すと、1 − 0.2 = 0.8ですから、300 × 0.8 = 240（枚）とも求められます。使った60枚と残りの240枚を合わせると300枚になり、60 ÷ 300 = 0.2です。

4. 最初の400匹の1割は400 × 0.1 = 40（匹）です。加えた後は400 + 40 = 440（匹）です。次の5%は440匹をもとにするので、440 × 0.05 = 22（匹）を移します。残りは440 − 22 = 418（匹）です。答えは418匹です。40 ÷ 400 = 0.1、22 ÷ 440 = 0.05で、両方の条件に戻ります。2回目に400匹をもとにすると移す数が20匹になり、指定された基準と合いません。

手元に残す要点

• 1割は0.1、1分は0.01、1厘は0.001です。
• 百分率は100で割ると小数になり、3割は30%で0.3です。
• 増減の分と増減後の全体を区別し、変化ごとに基準を確かめます。

保護者の方へ

お子さまが答えを違えたら、まず「この帯のどこがもとの量で、どこが増えた分かな」と尋ねてみてください。もとの量を指せるのに小数だけが違うなら、10等分と100等分のどちらかを一緒に確かめます。式が合っているのに答えが違うなら、増えた分と増えた後のどちらを問われたかを読み直す一手を促します。

続けて変わる問題では、2回目の割合をかける前に、どの時点の量を使うかを説明してもらいます。途中まで言えたところを起点に、次の基準だけを探せば十分です。割合の表し方と基準を結びつけると、増減の道筋が見えてきます。