中学受験の算数 比の計算—同じ倍率で比をそろえて全体を分ける｜武蔵野個別指導塾

小数や分数の比を同じ倍率で整数に直し、比の合計から全体を分ける手順を確かめます。

よくあるのは、小6が2つの量を表す比を簡単にしようとして、両方の数に同じ数を足す場面です。たとえば2と3にそれぞれ1を足すと3と4になりますが、もとの関係は保たれません。比は数の差を表す記号ではなく、一方がもう一方の何倍にあたるかを表します。2つの数をどう変えればその関係が残るのか、絵と計算を行き来しながら考えます。

比を使う問題の形

まず、2つの数の比を小さい整数の組に直す問題があります。12:18なら両方を6で割ると2:3です。どちらか一方だけを割ると、比べる関係が変わってしまいます。小数や分数が入る場合も、両方を同じ倍率で整数にしてから簡単にします。

次に、全体の量と分ける比から、それぞれの量を求める問題があります。比の数を足した合計を、同じ大きさの小分けの数と見ます。全体をその数で割り、1つ分を求めてから、それぞれの小分けの数をかけます。この分け方を比例配分（ひれいはいぶん）といいます。

もう1つは、一方の量がわかっていて、もう一方を求める問題です。このときは全体を比の合計で割ることはできません。与えられた量が比のどちらにあたるかを見て、その項（こう）に対応する小分けの数で割ります。全体が与えられたのか、一方が与えられたのかが最初の分かれ目です。

同じ倍率で関係を保つ

比の2つの数を、それぞれ比の項といいます。4:6では左の項が4、右の項が6です。左と右の順は、文章に書かれた量の順に対応させます。赤い紙と青い紙の枚数の比が4:6なら、赤が4に、青が6にあたります。6:4と書き換えると、対応する色も入れ替わります。

図1のように、2:3は同じ長さの部分を左に2つ、右に3つ並べた関係です。それぞれを2倍した4:6でも、左と右の長さの関係は変わりません。どちらも右は左の1.5倍です。実際の量が2個と3個に決まるのではなく、同じ関係を持つ組を表しています。

図1では小さな区切りを同じ長さにしています。4:6の両方を2で割れば2:3に戻ります。比の両項に同じ0でない数をかけたり、同じ0でない数で割ったりすると、比は変わりません。0で割ることはできないため、割る数に0は使いません。

たとえば0.6:0.9は、両方を10倍して6:9にし、両方を3で割って2:3にします。小数点の位置を動かす操作も、それぞれに同じ10をかけるという意味です。0.6だけを10倍して6:0.9にすると、片方だけが伸びるので、元の比ではありません。

分数でも同じです。1/2:3/4は、両方に4をかけると2:3になります。4を選んだのは、2と4の両方の分母に対応し、両項を整数にできるからです。先に両方に8をかけても4:6となり、さらに2で割れば2:3です。整数にする倍率は1通りに決まるわけではありません。

比を簡単にする途中で割り切れなくなったときは、片方を丸めず、両項を同じ整数で割り切れるか調べ直します。どちらにも2や3が使えるかを順番に調べ、共通して割れる数がなくなれば、整数の比はそれ以上簡単になりません。小数と分数が混じるときも、どちらかを同じ形に直してから同じ倍率を選べます。

基本例題：全体を比で分ける

折り紙を合計70枚用意し、赤い組と青い組に2:5の比で分けます。それぞれ何枚になりますか。答えは整数で求めます。

図2のように、赤を同じ大きさの2つ分、青を同じ大きさの5つ分として並べます。70枚は赤と青を合わせた数なので、7つ分にあたります。図の1つ分に何枚入るかを先に出します。

2 + 5 = 7

比の項を足すと、全体は7つ分です。ここで2 + 5は枚数ではありません。同じ大きさに分けたときの個数です。

70 ÷ 7 = 10

1つ分は10枚です。70を2や5で割ると、赤か青の部分を全体と取り違えます。

10 × 2 = 20

赤い組は20枚です。1つ分の10枚を2つ集めました。

10 × 5 = 50

青い組は50枚です。1つ分の10枚を5つ集めました。答えは赤20枚、青50枚です。

元の条件に戻して確かめます。20 + 50 = 70で合計が合います。また、20:50の両方を10で割ると2:5です。合計だけが70になっても、比が違えば条件を満たしません。逆に、比が2:5でも合計が70でなければ、この問題の答えにはなりません。両方を確認します。

もし赤の20枚だけが与えられ、比が2:5だとしたら、20枚は2つ分です。20 ÷ 2で1つ分を出し、それを5倍して青を求めます。20を7で割らない理由は、20が全体ではないからです。図に「全体」や「赤」と書き入れてから割る数を選ぶと、取り違えを見つけやすくなります。

分数の比を直してから配る

長さが合計66 cmのひもを、2本の長さの比が1/2:3/4になるように切ります。短い方と長い方の長さをそれぞれ整数のcmで求めます。

1/2と3/4の分母は2と4です。両方に4をかけると、次のように整数の比になります。

1/2 × 4 = 2

3/4 × 4 = 3

したがって、短い方と長い方の比は2:3です。左と右を同じ4倍にしたので、長さの関係は変わりません。ここで66 cmまで4倍にする必要はありません。4倍したのは比を表す数であり、実際のひもの長さではないからです。

2 + 3 = 5 として66を5で割ると、1つ分は整数のcmになりません。これでは問題の「整数のcm」という条件に合わないため、この条件のままでは答えはありません。実際には66 ÷ 5 = 13.2で、長さは26.4 cmと39.6 cmです。合計と比は合いますが、整数という指定には合いません。

そこで条件を、合計60 cmとした場合も考えます。この場合は60 ÷ 5 = 12で、1つ分は12 cmです。短い方は12 × 2 = 24 cm、長い方は12 × 3 = 36 cmになります。24 + 36 = 60、24:36 = 2:3です。分数の比を直した後、全体が整数の小分けにできるかを見ることが分かれ目です。指定と合わないとき、勝手に丸めたり、条件を変えた答えを元の問題の答えにしたりしません。

比を整数に直す倍率を選ぶときは、両方の分母を同時に整数にできる数を探します。たとえば分母が3と5なら、両方に15をかけられます。かける前に一方の分母だけを見て3を選ぶと、もう一方が整数にならない場合があります。その場合も比が壊れたわけではありません。同じ倍率を両項に使っていれば、さらに両項に同じ数をかけて続けられます。

配分した結果が整数でなくても、問題が小数や分数の長さを許すなら答えにできます。一方、人数や個数を整数で答える条件では、小数を切り捨てて合計を合わせても、比の条件まで合うとは限りません。全体の小分けの数で割り切れるかを先に調べると、整数の答えがあるか判断できます。割り切れない場合は、計算の失敗と決めつけず、問題の条件そのものを読み直します。

比は順番にも注意します。ひもの長い方と短い方を聞かれたのに、短い方から順に数だけ書くと、正しい数を出していても答えの対応が逆になります。式の横に「短」「長」と書き、それぞれを2つ分、3つ分と対応させておきます。最後にそれぞれを合わせて全体に戻し、短い方を長い方で比べた順も確認します。

足し算で比を変えたら

2:3の両方に1を足して3:4にする誤答を考えます。左右に同じ数を足しているので公平に見えますが、図3のように、2つ分と3つ分のそれぞれに1つ分を加えると、右が左の何倍かは変わります。2:3では右は左の3/2倍です。3:4では右は左の4/3倍です。

原因は、差が同じことと、倍率が同じことを混同した点にあります。どちらの組も右は左より1大きいのですが、それだけでは比は決まりません。修正するときは両方に2をかけ、2:3を4:6にします。4:6は両方を2で割ると元の2:3に戻るので、同じ比です。

別の誤りとして、全体を2:3に分けるとき、全体を2で割って左を出すことがあります。2は左の小分けの数であり、全体の小分けの数は5です。左だけの量が与えられた場合と、全体が与えられた場合を図で見分けます。答えを出した後は合計と比の両方に戻すと、割る数の間違いを確かめられます。

練習問題

次の問題は、まず4問を読んでから解き、後の解答で途中を確かめます。比の答えはできるだけ小さい整数の比で表します。

1. 18:30を簡単な整数の比に直してください。
2. 0.8:1.2を簡単な整数の比に直してください。
3. 2/3:5/6を簡単な整数の比に直してください。
4. 合計96個の木の実を、兄と妹に3:5の比で分けます。それぞれの個数を整数で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 18と30はどちらも6で割れます。18 ÷ 6 = 3、30 ÷ 6 = 5なので、答えは3:5です。3と5には1より大きい共通の約数がありません。3と5を両方6倍すると18と30に戻ります。

2. 両項を10倍すると8:12です。さらに両項を4で割り、答えは2:3です。0.8と1.2の片方にだけ10をかけると、元の関係が変わります。2:3を4倍して8:12に戻せることも確認します。

3. 両項に6をかけると、2/3 × 6 = 4、5/6 × 6 = 5です。答えは4:5です。4:5を両方6で割れば2/3:5/6となるため、分数のまま正確に確かめられます。小数の近似（きんじ）値に直す必要はありません。

4. 全体は3 + 5 = 8つ分です。1つ分は96 ÷ 8 = 12個です。兄は12 × 3 = 36個、妹は12 × 5 = 60個です。36 + 60 = 96で合計が合い、36:60の両項を12で割ると3:5です。個数もどちらも整数です。

どの問題でも、計算が途中で止まったら、左右に行った操作を別々に書きます。片方だけに違う数をかけていないかを見るためです。配分では、求めた数の合計と比をそれぞれ確認し、どちらが合わないかで誤りの場所を探します。

練習4で、96を3 + 5ではなく3で割ったとします。32は兄の1つ分ではありません。96は兄の3つ分と妹の5つ分を合わせた量だからです。図を8つの同じ部分に分け、96がどこからどこまでか示すと、割る数を8に直せます。36と60を入れた後も、合計が96であることに加え、36:60が3:5に戻るかを見ます。

練習3で分母の3と6を足して9にする方法も使えません。比の両項を同じ倍率にする操作ではないからです。両項を6倍すれば分母が消え、それぞれ4と5になります。分子だけを同じ数で割ろうとして割り切れなかった場合も、分数を小数で丸める前に、分母を消す倍率を探し直します。

比を使うときは単位にも目を向けます。同じ種類の量でも、一方がcmでもう一方がmなら、そのまま数だけを比べず、同じ単位に直してから比を書きます。配分後の答えには、枚や個、cmなど問題で求めた単位を付けます。数の大小と対応も、最後に図に戻って確かめます。単位がそろっているかを式の前に見ておくと、正しい数を違う意味で使う間違いを防げます。

覚えておくこと

比は両項を同じ0でない数でかけたり割ったりしてそろえます。 全体を分けるときは比の項の合計から1つ分を出します。 答えは元の合計と比の両方に戻して確かめます。 整数などの答えの指定にも合うか確認します。

お子さまが図を説明するとき

お子さまが手を止めたら、すぐに割り算の式を示す前に、図のどこが与えられた量かを指してもらいます。全体を指せるなら、小分けがいくつあるかを聞きます。片方を指しているなら、その部分が比の何にあたるかを一緒に読みます。まず1つ分を出す一手までに絞ると、その後のかけ算を自分で選びやすくなります。

比の数字を足して変えてしまった場合は、元の図と変えた図の左右を見比べます。差が同じでも倍率が変わることを、実際に割って確かめます。答えが条件と合わない場合も、計算のやり直しだけでなく、整数という指定や全体の範囲まで戻って読みます。比は対応する量と同じ倍率を押さえると、分け方まで見通せます。