中学受験の算数 過不足算—配り方を変えた差から人数と総数を求める｜武蔵野個別指導塾

折り紙の余り8枚と不足10枚をつなぐ図で人数を求め、両方余る例では残りの差を使う理由を確かめます。

よくあるのは、小5がカードを配る問題で、余りと不足をどちらも引いてしまう場面です。1人に配る枚数を増やすと、余っていたカードが先になくなり、さらに足りない分が生じます。余りと不足は、同じ場所から同じ向きに測った2つの量ではありません。カードの総数を境にして、必要な枚数がどちら側にあるかを図にすると、足すか引くかを選べます。

配り方を比べる問題の型

過不足算（かふそくざん）は、同じ人数に同じ品物を配るとき、配り方を変えて現れる余りや不足から、人数や品物の総数を求める考え方です。どちらの配り方でも、配る相手と、配る前に用意した品物の数が変わらないことが土台です。1人分の増えた数が全員分ではいくつになるかを考えます。

1つ目は、少ない枚数を配ると余り、多い枚数を配ると不足する型です。用意した総数をまたいで必要な枚数が増えるので、余りと不足を合わせます。2つ目は、どちらの配り方でも余る型です。多く配る方が余りは小さくなりますから、2つの余りの差が、全員に追加した分です。ぴったり配り切る場合は、余りや不足が0の場合として同じ図で考えられます。

問いを読むときは、まず2つの配り方の「1人分」と「余りか不足か」を別々に書きます。人数を求めるのか、品物の総数を求めるのかにも線を引きましょう。人数だけ出して終わると、総数を問う問題には答えたことになりません。逆に総数が出ても、2つ目の配り方を試していなければ、条件の読み違いに気づけないことがあります。

総数を境にして差を見る

過不足（かふそく）とは、決まった数に対する余りと不足のことです。ここでは、手元にある品物の総数を境にします。少なく配るときに必要な数は総数より小さく、その間が余りです。多く配るときに必要な数が総数を超えれば、その超えた間が不足です。

図1のように、余りの区間と不足の区間は総数の左右に並びます。少ない配り方に必要な数から多い配り方に必要な数までの距離は、2つの区間をつないだ長さです。したがって、余りと不足を足します。図は数の関係を示しており、実際に品物を2回配るわけではありません。

この距離を別の見方で表すと、1人に追加する数を全員分集めた数になります。たとえば1人に2個ずつ多く配るなら、1人ごとに2個の追加が必要です。全員分の追加を2個ずつのまとまりに分ければ、まとまりの数が人数です。全員分の追加が何個かを先に求めてから、1人分の追加で割ります。

一方、2つとも余るときは、どちらの必要数も総数より小さい側にあります。少なく配るときの大きい余りから、多く配るときの小さい余りを取り除いた部分が、全員への追加分です。数字に「余り」と書かれているからといっていつも足すわけではありません。総数を境に位置を置いてから、必要数どうしの間を読み取ります。

基本例題：余りから不足へ

問題　同じ人数の子どもに折り紙を配ります。1人に4枚ずつ配ると8枚余り、1人に7枚ずつ配ろうとすると10枚足りません。子どもは何人で、折り紙は全部で何枚ですか。人数と枚数をそれぞれ整数で答えましょう。

図2のように、4枚ずつに必要な数から手元の総数までが8枚、総数から7枚ずつに必要な数までが10枚です。配る人数と折り紙の総数は、2つの配り方で同じです。図の2つの区間をつないで、全員に追加する枚数を求めます。

まず、1人に追加する枚数は次のとおりです。

7 − 4 = 3（枚）

次に、全員に追加する枚数を求めます。余っていた8枚を配り、さらに10枚必要になるので、次の式です。

8 + 10 = 18（枚）

3枚ずつの追加が全部で18枚です。18枚を3枚ずつに分けた数が、子どもの人数です。

18 ÷ 3 = 6（人）

人数が出たら、どちらか一方の配り方に戻して総数を求めます。4枚ずつ6人に配った枚数に、余った8枚を加えます。

4 × 6 = 24（枚）

24 + 8 = 32（枚）

答えは6人、32枚です。もう一方の条件にも戻します。7枚ずつ6人分に必要な数は、7 × 6 = 42（枚）です。手元の32枚との差は42 − 32 = 10（枚）で、問題の不足と一致します。最初の条件も、32 − 4 × 6 = 8（枚）となり、余りが合います。

ここで18枚を7枚で割ってはいけません。7枚は多い方の1人分の全部であり、18枚に対応するのは1人あたり増やした3枚です。割る数と割られる数が、同じ「追加分」のまとまりを表しているか確かめます。6人という答えが整数になっても、式の対応が違えば正しいとは限りません。

一歩進める：両方とも余るとき

問題　同じ人数にしおりを配ります。1人に3枚ずつ配ると17枚余り、1人に5枚ずつ配ると7枚余ります。人数と、しおりの総数を整数で答えましょう。

多い方でも7枚余っているので、必要な枚数はどちらも手元の総数より少なくなります。最初に余る17枚から、配り方を変えた後にも残る7枚を引けば、全員に追加して配った分が取り出せます。ここで17枚と7枚を足すと、最後まで残る7枚まで追加した数に含めてしまいます。

1人あたりの追加は、5 − 3 = 2（枚）です。全員分の追加は、17 − 7 = 10（枚）です。したがって人数は、10 ÷ 2 = 5（人）となります。少ない方で配った枚数は3 × 5 = 15（枚）なので、総数は15 + 17 = 32（枚）です。

答えは5人、32枚です。多い方でも、5 × 5 = 25（枚）を配ると32 − 25 = 7（枚）余ります。少ない方では32 − 3 × 5 = 17（枚）です。両方の余りが元の条件と一致しました。

分かれ目は、2つの必要数の間に総数があるかどうかです。余りと不足なら総数をまたぐため、両側の長さを足します。両方余るなら、残った小さい余りを大きい余りから引きます。式を覚えていて迷った場合は、総数を1か所に置き、必要数がその左右のどこにあるかを考え直しましょう。

間違えた式を図で直す

基本例題で、余り8枚と不足10枚を引き、10 − 8 = 2（枚）とする誤答を考えます。その後、1人あたりの追加3枚で割ろうとしても、2 ÷ 3 は整数になりません。人数が整数にならないことは見直すきっかけですが、整数になる別の数字であっても、引き算が正しいとは限りません。

原因は、8枚と10枚を同じ側の余りとして見てしまうことです。図3のように、8枚は総数に届くまでの部分、10枚は総数を超えた部分です。2つの必要数の間は、その両方を通ります。

修正すると、全員分の追加は8 + 10 = 18（枚）です。さらに18 ÷ 3 = 6（人）と進めます。式の前に「何から何までの差か」を声に出すと、足す区間と引く区間を取り違えにくくなります。求めた人数を使って総数を出し、2つの条件に戻すところまでが1組の解き方です。

もう1つの誤りは、人数6人を出した後で4 × 6 = 24枚を総数としてしまうことです。24枚は配った分で、8枚は手元に残っています。配った分と残った分を合わせて32枚とします。反対に、不足する方から総数を出す場合は、必要な42枚から足りない10枚を引きます。どちらから出しても同じ総数になるかが、読み取りの点検になります。

図を描く順番

線分図を描くときは、まず左端をそろえ、同じ始点から2通りの必要数を右へ伸ばします。必要数そのものはまだわからなくても、どちらが多いかは1人分を比べれば決まります。4枚ずつより7枚ずつの方が多いので、7枚ずつの端を右に置きます。その間に折り紙の総数の位置を入れれば、左側の余りと右側の不足を区別できます。

図の端に単位も書くと、どの量を比べているか見失いにくくなります。人数を表す線と枚数を表す線を同じ長さで比べることはできません。この問題では線の長さは枚数を表し、人数は追加の3枚を何組集めるかで求めます。図をきれいに描くことよりも、何と何の差を示す線かを説明できることが大事です。

もし条件を読み違えて、4枚ずつの方が10枚不足すると図に置いたら、7枚ずつではさらに多く必要です。余りが生じる位置にはなりません。配る数を増やすと残りは減るという向きも、図の点検に使えます。計算を始める前の短い確認で、式を途中から作り直す手間を減らせます。

答えが条件に合わないとき

割り算の結果が整数でない場合、人数や箱の数としては使えません。まず1人分の差を計算したか、余りと不足の位置に合わせて全体の差を求めたかを見直します。問題文に書かれた数を書き写し間違えていないかも調べます。今回の問題は整数になるように作られていますが、現実の品物を扱う場面では、条件の組み合わせ自体が成り立たないこともあります。

整数になった場合にも、片方の条件だけで満足しないようにします。たとえば、少ない方の配り方から総数を出した後、多い方の必要数を計算し、その総数との差が示された不足になるかを確かめます。余る問題なら、引いた後に残る数が指定どおりかを調べます。余りと不足の向きまで一致すれば、計算だけでなく問題の読み方も点検できます。

自分で試す4問

それぞれ、配る相手と用意した品物の数は2通りで同じです。人数と総数を整数で答え、最後に両方の条件に戻してみましょう。

1. 鉛筆を1人に2本ずつ配ると6本余り、5本ずつ配ろうとすると18本不足します。人数と鉛筆の総数を求めましょう。
2. シールを1人に3枚ずつ配ると19枚余り、6枚ずつ配ると4枚余ります。人数とシールの総数を求めましょう。
3. ビー玉を1人に4個ずつ配るとちょうどなくなり、7個ずつ配ろうとすると21個不足します。人数とビー玉の総数を求めましょう。
4. 小箱に同じ数ずつ木の実を入れます。1箱に5個ずつ入れると9個余り、8個ずつ入れようとすると15個不足します。箱の数と木の実の総数を求めましょう。箱はどちらの入れ方でも同じ数を使います。

答えと考え方

1. 1人の追加は5 − 2 = 3（本）、全員の追加は6 + 18 = 24（本）です。人数は24 ÷ 3 = 8（人）、総数は2 × 8 + 6 = 22（本）です。22 − 2 × 8 = 6、5 × 8 − 22 = 18となり、余りと不足がそれぞれ合います。

2. 1人の追加は6 − 3 = 3（枚）です。両方余るので、全員の追加は19 − 4 = 15（枚）です。人数は15 ÷ 3 = 5（人）、総数は3 × 5 + 19 = 34（枚）です。34 − 3 × 5 = 19、34 − 6 × 5 = 4となり、どちらの余りも合います。

3. ぴったりのときの余りを0個として見ます。1人の追加は7 − 4 = 3（個）、全員の追加は0 + 21 = 21（個）です。人数は21 ÷ 3 = 7（人）、総数は4 × 7 = 28（個）です。4 × 7 = 28でちょうどなくなり、7 × 7 − 28 = 21で不足も合います。

4. 1箱の追加は8 − 5 = 3（個）、全箱の追加は9 + 15 = 24（個）です。箱の数は24 ÷ 3 = 8（箱）、総数は5 × 8 + 9 = 49（個）です。49 − 5 × 8 = 9、8 × 8 − 49 = 15となり、どちらの条件にも戻せます。人に配る場合と同じく、1箱分の追加と全箱分の追加を対応させます。

覚えておくこと

余りと不足は総数をはさんで足します。 両方余るときは、大きい余りから小さい余りを引きます。 全体の追加を1人分の追加で割り、人数を求めます。 総数を出したら、両方の配り方に戻して確かめます。

家で隣に座る方へ

お子さまが式をすぐ書けないときは、答えを先に教える前に、総数の位置と2つの必要数を紙に置いてもらってください。「余りはどこからどこまで」と尋ねると、数字を読めていても区間を取り違えているのか、1人分と全員分を混ぜているのかが見えます。図のどこまで自分で説明できたかを聞き、その次に必要な一手だけを促します。

たとえば両方余る問題で足し算を書いたなら、最後にも余る分を指さし、「この分は追加して配ったかな」と尋ねます。そこで手が止まれば、実際に紙片を並べ、余りのうち移動する分と残る分を分けてもよいでしょう。正しい答えにたどり着いた後も、元の2条件に戻すことを本人に任せます。配り方を変える前と後を一つの総数でつなげば、過不足算の式には意味が生まれます。