高校数学II 垂線の足と対称点—直線への垂直条件と中点条件から座標を求める｜武蔵野個別指導塾

斜めの直線に下ろす垂足を連立式で求め、直線上の点や座標軸に平行な直線も含めて対称点を探ります。

よくあるのは、高2が直線に関して折り返した点を、原点対称の座標で答えるという場面です。符号を両方変える操作は原点を中点にしますが、折り目が原点を通るとは限りません。折り目の上にある中点と、折り目に垂直な線分を同時に調べると、座標の意味がはっきりします。

どんな条件を式にするか

点と直線が与えられ、垂線の足を求める問いでは、足が元の直線上にあることと、点から足へ引いた直線が元の直線に垂直であることを使います。足の座標を先に置く方法と、垂線の方程式を作って交点を求める方法があります。横や縦の直線では、座標を直接そろえると短くなります。

対称点を求める問いでは、垂足が元の点と対称点の中点です。足を求めてから中点の式を使えば、直線が斜めでも同じ手順で進めます。逆に、対称点の条件から中点を直線に乗せ、線分の垂直条件を連立することもできます。

文字を含む問いでは、点が折り目上に来る場合に注意します。そのとき点は移らず、元の点と対称点が一致します。一致した2点を通る直線の傾きは定められないため、傾きの積をそのまま使うことはできません。

垂足と中点の関係

直線 l とその上にない点 P を考えます。P を通り l に垂直な直線と l の交点 H を、P から l に下ろした垂線の足、または垂足と呼びます。P が l 上にあるときも、垂足は P 自身とします。直線に関する P の対称点を Q とすると、図1のように H は線分 PQ の中点で、PQ は l に垂直です。

図1では、同じ長さの PH と HQ が折り目の両側に並びます。逆に、異なる2点 P、Q の中点 H が l 上にあり、PQ が l に垂直なら、l は PQ の垂直二等分線なので Q は P の対称点です。P が l 上なら Q = P と定め、長さ0の線分に傾きを付けません。

計算に便利な形も導きます。l を ax + by + c = 0、P を (p, q) とし、a、b が同時に0ではないとします。l に垂直な方向は (a, b) で表せるので、垂足 H を (p + at, q + bt) と置けます。a = 0 または b = 0 でも、この置き方は使えます。H を l に代入すると、

a(p + at) + b(q + bt) + c = 0
(a² + b²)t = -(ap + bq + c)
t = -(ap + bq + c)/(a² + b²)

分母 a² + b² は正なので割れます。P が l 上なら分子は0で、t = 0、H = P です。対称点 Q は中点の式から (2Hの横座標 − p, 2Hの縦座標 − q) となります。公式を暗記する場合も、分母の条件と、代入して H が直線上にあることを確かめてください。

基本例題：交点から折り返す

点 P(1, 4) から直線 l: x + 2y − 5 = 0 に下ろした垂足 H と、l に関する P の対称点 Q の座標を求めてください。答えは整数または分数の座標で表します。

l を変形すると y = -x/2 + 5/2 で、傾きは -1/2 です。P を通る垂線の傾きは2なので、その方程式は次のとおりです。

y - 4 = 2(x - 1)
y = 2x + 2

l と連立し、横座標を求めます。

x + 2(2x + 2) - 5 = 0
5x - 1 = 0
x = 1/5
y = 2(1/5) + 2
y = 12/5

したがって H(1/5, 12/5) です。Q を (u, v) と置くと、H が PQ の中点なので、

(1 + u)/2 = 1/5
u = -3/5
(4 + v)/2 = 12/5
v = 4/5

答えは H(1/5, 12/5)、Q(-3/5, 4/5) です。図2のように、H は l 上で P と Q の間にあります。

検算では H の座標を元の直線に戻すと 1/5 + 24/5 − 5 = 0 です。PH の座標の差は (-4/5, -8/5) で、l の傾き -1/2 に垂直な傾き2を持ちます。Q と P の中点も H ですから、直線上の中点と垂直の両条件を満たします。

標準例題：中点から対称点を決める

点 A(5, 1) の直線 m: 2x − y + 1 = 0 に関する対称点 B と垂足 H を、整数または分数の座標で求めてください。

m の係数 2 と -1 は同時に0ではありません。まず H を (5 + 2t, 1 − t) と置き、m に代入します。

2(5 + 2t) - (1 - t) + 1 = 0
10 + 4t - 1 + t + 1 = 0
5t + 10 = 0
t = -2

よって H(1, 3) です。B を (u, v) として中点の式を使います。

(5 + u)/2 = 1
u = -3
(1 + v)/2 = 3
v = 5

答えは B(-3, 5)、H(1, 3) です。H を m に戻すと 2 − 3 + 1 = 0 です。A から B への差は (-8, 4) で、m の傾き2に対し AB の傾きは -1/2 です。さらに中点が (1, 3) なので、図形の条件に戻しても一致します。

この方法は垂線の傾きを逆数に直さずに済みます。一方、垂直方向の係数を取り違えると、直線上の交点が出ても垂足とは限りません。代入の確認と垂直の確認を別々に行います。

発展例題：点が折り目に乗るとき

実数 s に対し、点 C(s, 2s − 1) の直線 n: x + y − 2 = 0 に関する対称点 D と垂足 K を、s を用いた座標で求めてください。また C と D が一致する s を求めます。

n の係数はともに1です。K を (s + t, 2s − 1 + t) と置き、n に代入します。

(s + t) + (2s - 1 + t) - 2 = 0
3s + 2t - 3 = 0
t = (3 - 3s)/2

これを戻すと、

Kの横座標 = s + (3 - 3s)/2 = (3 - s)/2
Kの縦座標 = 2s - 1 + (3 - 3s)/2 = (s + 1)/2

D を (u, v) とすれば、K は CD の中点です。

u = 2・(3 - s)/2 - s = 3 - 2s
v = 2・(s + 1)/2 - (2s - 1) = 2 - s

したがって K((3 − s)/2, (s + 1)/2)、D(3 − 2s, 2 − s) です。一致する条件は s = 3 − 2s から s = 1 です。この値で縦座標も 2s − 1 = 2 − s = 1 となります。

元の条件に戻すと、任意の s で K の座標の和は2です。また C から D への横と縦の差はともに 3 − 3s で、0でなければ傾き1となり、n の傾き -1 に垂直です。s = 1 では C = D = K = (1, 1) で、この点は n 上にあります。一致する場合に傾きを計算しようとすると0で割るため、別に扱いました。

原点対称と混同した答えを直す

点 P(1, 4) を直線 x + 2y − 5 = 0 に関して移すとき、座標の符号を変えて Q′(-1, -4) とする誤答を考えます。図3のように、この操作で中点になるのは原点 O です。

O は直線に代入すると -5 となり、折り目上にありません。したがって Q′ は要求された対称点ではありません。元の点と候補の中点が折り目上にあるかを調べれば、この誤りを見つけられます。ただし中点が直線上にあるだけでは足りません。線分が直線に垂直かも別に点検します。

修正すると、基本例題の垂足は H(1/5, 12/5) で、これを中点にして Q(-3/5, 4/5) を得ます。原点が折り目上にあっても、原点対称と直線対称が常に一致するわけではありません。中点の位置と垂直の両方が必要です。

練習問題

いずれも座標は整数または分数で表してください。直線はそれぞれ座標平面上の直線です。

1. 点 A(3, 5) から直線 y = 1 への垂足 H と、直線に関する対称点 B を求めてください。
2. 点 C(-2, 3) から直線 x = 4 への垂足 K と、直線に関する対称点 D を求めてください。
3. 点 E(2, 3) の直線 x + y − 1 = 0 に関する対称点 F と垂足 L を求めてください。
4. 点 G(4, 2) の直線 3x + 4y − 5 = 0 に関する対称点 J と垂足 M を求めてください。
5. 実数 a に対し、点 N(a, 2) の直線 2x − y + 2 = 0 に関する対称点 R と垂足 T を a で表し、N = R となる a を求めてください。

練習の解答

1

y = 1 は水平なので垂線は x = 3 です。交点は H(3, 1) です。B = (u, v) とすると、

(3 + u)/2 = 3
u = 3
(5 + v)/2 = 1
v = -3

B(3, -3) です。H は y = 1 上にあり、AB は縦の直線上です。中点も H なので、元の条件を満たします。

2

x = 4 は縦の直線なので垂線は y = 3 です。交点は K(4, 3) です。D = (u, v) として、

(-2 + u)/2 = 4
u = 10
(3 + v)/2 = 3
v = 3

D(10, 3) です。K は x = 4 上にあり、CD は水平で、K は CD の中点です。傾きのない直線を傾きの式に押し込まずに済みます。

3

L を (2 + t, 3 + t) と置きます。直線への代入から、

2 + t + 3 + t - 1 = 0
2t + 4 = 0
t = -2

L(0, 1) です。中点の式から、

Fの横座標 = 2・0 - 2 = -2
Fの縦座標 = 2・1 - 3 = -1

F(-2, -1) です。L の座標の和は1で、EF の傾きは1、与えられた直線の傾きは -1 です。中点も L となります。

4

M を (4 + 3t, 2 + 4t) と置きます。直線に代入して、

3(4 + 3t) + 4(2 + 4t) - 5 = 0
15 + 25t = 0
t = -3/5

M(11/5, -2/5) です。J の座標は、

横座標 = 2・(11/5) - 4 = 2/5
縦座標 = 2・(-2/5) - 2 = -14/5

J(2/5, -14/5) です。M を直線に戻すと 33/5 − 8/5 − 5 = 0 です。G から J への差は (-18/5, -24/5) で (3, 4) に平行です。中点も M ですから、垂直と等距離を満たします。

5

T を (a + 2t, 2 − t) と置き、直線に代入します。

2(a + 2t) - (2 - t) + 2 = 0
2a + 5t = 0
t = -2a/5

T(a/5, 2 + 2a/5) です。中点の式から、

Rの横座標 = 2a/5 - a = -3a/5
Rの縦座標 = 4 + 4a/5 - 2 = 2 + 4a/5

R(-3a/5, 2 + 4a/5) です。N = R となるのは a = -3a/5 より a = 0 のときで、このとき縦座標も2で一致します。T を直線に代入すると 2a/5 − (2 + 2a/5) + 2 = 0 です。a が0でなければ NR の差は (-8a/5, 4a/5) で (2, -1) に平行、a = 0 なら N 自身が直線上です。

要点

垂足は元の直線上にあり、元の点と結ぶ方向が直線に垂直です。 対称点は、垂足を2点の中点として求めます。 元の点が直線上なら、垂足も対称点もその点自身です。

途中のどこで迷ったか

「求めた足はどの式を満たしますか」と問い、まず直線への代入を確かめます。次に「元の点と足を結ぶ方向は折り目と垂直ですか」と問い、係数や傾きの対応を見ます。個別指導では、足は合っていても中点の式で2倍を忘れたのか、足を求める段階からずれたのかを答案の行ごとに見分けます。

点が直線上にある値を代入しても式が成立するか、縦や横の直線で0による割り算が現れないかも確認します。折り目上の中点と垂直という2つの条件が、対称点の位置を決めます。

別の確認方法と計算の選択

垂足を求める際には、直線上という条件だけで答えを決められません。直線上には点が無数にあるためです。例えば基本例題の直線では (5, 0) も直線上ですが、P と結ぶ直線の傾きは -1 で、折り目の傾き -1/2 に垂直ではありません。交点が元の式を満たすという検算と、垂線であるという検算は異なる役割を持ちます。

反対に垂直方向だけを使っても、P を通る垂線上には点が無数にあります。直線に代入して位置を決めるまでが垂足の計算です。傾きを使う場合は、横座標の差が0にならないかを先に見ます。直線が縦なら垂線は横、直線が横なら垂線は縦です。どちらの直線も傾きの積を無理に用いる必要はありません。

対称点を求めた後は、元の点と答えの座標を平均して中点を作り直します。その中点が折り目に乗れば折り返しの位置を確認でき、さらに2点を結ぶ方向が垂直なら折り返しの向きも確認できます。元の点が折り目上のときは、移動距離が0であり、方向を考える代わりに点の一致を確かめます。

計算の途中で分数が出ても、近似して丸めずに扱うと、直線への代入で0になるかを正確に確かめられます。符号に迷ったら、図の左右や上下と計算結果を照らし合わせ、最後は式に戻して判定します。