高校数学I 二次関数の式の決定—頂点や通る点に合わせて式の形を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

頂点と点、軸と二点、三点の条件から式を選び、係数が0になる場合までたどり、条件から二次関数を決めます。

定期テストの復習でよくあるのは、どの条件でも y = ax² + bx + c に代入し、文字を含む式を増やしてしまう場面です。一般形も使えますが、頂点や軸が与えられているなら、その情報を先に式に入れると未知数を減らせます。条件を読み、式を選び、求めた式を条件に戻す順番を練習しましょう。

何が与えられたら、何を置くか

出方の1つは、頂点と、頂点以外の通る点から式を求める問題です。頂点の座標を平方の形に入れると、残る未知数は二次の係数です。通る点を代入してその係数を決めます。

2つ目は、軸と2点が与えられる問題です。軸の位置はわかっても頂点の高さはまだわかりません。軸を表す数を平方の形に入れ、残った係数と高さを2点の条件から求めます。2点が軸から同じ距離にある場合は、条件が重複したり、両立しなかったりするので注意します。

3つ目は、異なる3点が与えられる問題です。頂点も軸も指定されていないので、一般形に各点を代入し、3本の連立一次方程式を解く方法が使えます。計算が終わっても、二次の係数が0なら二次関数ではありません。条件が矛盾する場合や、式を一意に決められない場合も含めて考えます。

条件を式に移すための道具

二次関数は y = ax² + bx + c、ただし a は0でない実数です。グラフが点 (p, q) を通るとは、x に p、y に q を代入した等式が成り立つことです。座標を逆に代入しないよう、点の左側が x、右側が y と指で対応させてから書きます。

頂点が (h, k) のとき、式は y = a(x − h)² + k と表せます。この式で x = h とすると平方の部分が0になり、y = k です。軸は x = h ですから、軸だけが与えられた場合も同じ形を使えます。ただし k はまだ未知数であり、勝手に0と決めてはいけません。

図1のように、条件ごとに先にわかる部分を式に入れます。頂点なら h と k、軸なら h が決まり、一般形では a、b、c を点の条件で決めます。いずれも最終的には与えられた点に戻し、さらに a が0でないか調べます。

図1の一般形は三点以外に使っても正しい形です。形の選択は正誤の違いではなく、条件を使う順序の工夫です。例えば頂点の横座標が負なら、x − h の符号も含めて括弧を作ります。

基本例題：頂点から残りの係数を決める

頂点が (2, -3) で、点 (4, 5) を通る二次関数を求めなさい。答えは y = ax² + bx + c の形に整理し、係数は整数または正確な分数で表しなさい。

頂点の横座標が2、縦座標が-3なので、まず次のように置きます。

y = a(x − 2)² − 3

図2のように、頂点の情報は括弧の中と最後の項に反映されています。残る a は、通る点 (4, 5) を使って求めます。x = 4、y = 5 を代入し、平方、加減、除算の順に進めます。

5 = a(4 − 2)² − 3

5 = 4a − 3

8 = 4a

a = 2

4で割れるのは4が0でないからです。a = 2 も0ではないので、二次関数の条件を満たします。求めた係数を戻すと、まず y = 2(x − 2)² − 3 です。

図2の式を指定の形にするため、括弧を展開します。

(x − 2)² = x² − 4x + 4

y = 2(x² − 4x + 4) − 3

y = 2x² − 8x + 8 − 3

y = 2x² − 8x + 5

これが答えです。展開後の式に x = 4 を代入すると 2 × 16 − 8 × 4 + 5 = 5 です。また平方の形で x = 2 のとき y = -3 で、平方の部分は0です。したがって、点と頂点の両方が元の条件に戻りました。代入に使わなかった条件も含めて検算すると、展開の途中で符号を間違えた場合も見つけやすくなります。

軸と2点：条件が重なる境目

軸が x = 1 で、2点 (0, 4)、(3, 10) を通る二次関数を求めなさい。答えは平方の形 y = a(x − h)² + k とし、係数は整数または正確な分数で表しなさい。

軸から y = a(x − 1)² + k と置きます。頂点の高さ k は不明なので、2点から a と k の連立方程式を作ります。

4 = a(0 − 1)² + k = a + k

10 = a(3 − 1)² + k = 4a + k

下の等式から上の等式を引くと 6 = 3a、よって a = 2 です。これを 4 = a + k に戻すと k = 2 となります。答えは y = 2(x − 1)² + 2 です。a は0ではありません。

確かめると、x = 0 では y = 2 + 2 = 4、x = 3 では y = 2 × 4 + 2 = 10 です。平方の中が0になるのは x = 1 なので、軸も元の条件どおりです。2点の横座標は軸からそれぞれ1と2だけ離れており、平方した値が異なるため、2式の差から a を決められました。

一方、軸からの距離が等しい2点では、平方した値が等しくなります。縦座標も等しければ実質的に同じ条件なので、残りの係数を一意には決められません。縦座標が異なれば、対称な位置で値が異なることになり、条件を満たす式はありません。さらに距離が異なっても、計算の結果 a = 0 なら得られるのは定数の式で、二次関数は存在しません。差を取った後は、割る数が0でないことと、求めた a が0でないことを別々に調べます。

三点から求めるときの整理

一般形に3点を入れたとき、各条件は a、b、c についての一次方程式になります。例えば横座標が0の点があれば、その点の縦座標がすぐ c になります。0がない場合も、2つの式の差を取れば c が消えます。残った2式から a、b を求め、最初の式に戻して c を決めます。

差を取る順序を変えると、左右両方の符号が変わります。式の右辺だけを引き算するのではなく、左辺どうしと右辺どうしを対応させて引きます。途中の式が分数になっても、近似せず分数のまま進めれば、最後に元の点への代入を正確に確かめられます。

3点の横座標がすべて異なるとき、一般形の係数は連立方程式から一組に定まります。ただし、その組の a が0なら二次関数は存在しません。同じ横座標を持つ点が含まれるときは事情が変わります。同じ x に異なる y を指定すれば関数の条件に矛盾し、同じ点を重ねた条件なら情報が増えません。点の個数を数える前に、座標が異なるかを確認します。

例えば同じ点が繰り返され、残る条件が不足しているときは、係数が複数通りに決まる場合があります。その場合、1つの式が条件を満たすことを示すだけでは一意には決まらない理由として不十分です。異なる2つの式がどちらも条件を満たすと示すか、係数に自由に選べる部分が残ることを説明します。反対に、互いに矛盾する条件があれば、いくら計算を続けても条件を満たす式は作れません。

平方の形から一般形へ直す場合には、求める形の指定を最後まで見ます。平方の形は頂点や軸を確認しやすく、一般形は各項の係数を読みやすい形です。どちらで計算を始めても、問題に指定された形に直した後で、点の代入をもう一度行います。変形前だけを確認して終えると、展開の誤りが答えに残ることがあります。

誤答を条件へ戻して直す

先ほどの基本例題で、頂点 (2, -3) から y = a(x + 2)² − 3 と置く誤りを考えます。括弧内に頂点の横座標をそのまま足したことが原因です。この形では平方の部分が0になるのは x = -2 なので、頂点の横座標は2ではなく-2です。

図3のように、括弧を0にする x の値を見れば、計算を進める前に向きを直せます。正しくは x − 2 = 0 となる y = a(x − 2)² − 3 です。縦座標の-3は括弧の外にそのまま置きます。

図3の確認は、頂点の横座標が負のときにも使えます。例えば横座標が -3 なら x − (-3)、つまり x + 3 です。符号を丸暗記する前に、指定の横座標を入れて括弧が0になるか調べます。

もう1つの誤りは、点の座標を代入する際に x と y を逆にすることです。(4, 5) なら x = 4、y = 5 と書き出し、5 = a(4 − 2)² − 3 とします。誤った代入から求めた係数でも途中の方程式は解けてしまうため、最後に元の点を代入して確かめることが必要です。

練習：与えられた形から選ぶ

次の問題はすべて、答えの係数を整数または正確な分数で表してください。存在しない場合や一意に決まらない場合は、その理由も書いてください。

1. 頂点が (-1, 2) で、点 (1, -6) を通る二次関数を、平方の形で求めなさい。
2. 軸が x = -1 で、2点 (0, 3)、(1, 9) を通る二次関数を、平方の形で求めなさい。
3. 3点 (0, 1)、(1, 4)、(2, 11) を通る二次関数を、一般形で求めなさい。
4. 軸が x = 2 で、2点 (1, 3)、(3, 5) を通る二次関数があるか調べなさい。
5. 3点 (0, 2)、(1, 5)、(2, 8) を通る二次関数があるか調べなさい。

練習の答えと確かめ

1. 頂点から y = a(x + 1)² + 2 と置きます。(1, -6) を代入すると -6 = 4a + 2、-8 = 4a、a = -2 です。答えは y = -2(x + 1)² + 2 です。x = 1 で y = -8 + 2 = -6、x = -1 で平方部分が0となり y = 2 なので、点と頂点の条件に戻ります。a は0ではありません。

2. 軸から y = a(x + 1)² + k と置きます。2点を代入して 3 = a + k、9 = 4a + k です。差を取ると 6 = 3a なので a = 2、続いて k = 1 です。答えは y = 2(x + 1)² + 1 です。x = 0 で3、x = 1 で9となり、括弧が0になる x = -1 が軸です。係数2は0ではありません。

3. y = ax² + bx + c と置き、3点を順に代入します。1 = c、4 = a + b + c、11 = 4a + 2b + c です。c = 1 を後の2式に入れると a + b = 3、4a + 2b = 10 です。前者を2倍して後者から引くと 2a = 4、a = 2、b = 1 です。答えは y = 2x² + x + 1 です。x = 0、1、2 のとき、それぞれ y = 1、4、11 に戻り、a も0ではありません。

4. 軸から y = a(x − 2)² + k と置くと、2点から 3 = a + k、5 = a + k となります。同じ数が3と5の両方に等しくなることはないので、条件を満たす二次関数はありません。2点は軸からの距離が共に1ですが、縦座標が異なることも矛盾を示します。

5. y = ax² + bx + c と置くと、c = 2、a + b + c = 5、4a + 2b + c = 8 です。したがって a + b = 3、4a + 2b = 6 となり、差を取ると 2a = 0、a = 0 です。残る b は3で、得られる y = 3x + 2 は x = 0、1、2 でそれぞれ2、5、8を返します。しかし二次の係数が0なので、求める二次関数はありません。条件を満たす式が得られても、その種類まで確かめます。

練習4と5では、条件を満たす二次関数がない理由が異なります。4は左右の点を代入した時点で矛盾し、どの係数を選んでも等式が両立しません。5は3点を通る一般形が求まりますが、二次の係数が0になるため、求める種類の関数ではありません。

この違いを答案に残すには、途中の連立方程式と、そこで起きた矛盾または a = 0 を書きます。「求まらない」とだけ書くと、条件が不足して複数の式がある場合との区別が伝わりません。軸から等距離の2点が同じ高さで与えられた場合には、条件が重なることも別に調べます。

同じ点の繰り返しは、新しい位置を通るという情報を追加しません。条件の数と、独立に使える情報の数を区別してから計算に入ります。

手元に残す要点

頂点があれば平方の形に横座標と縦座標を入れます。
軸だけなら頂点の高さは未知数として残します。
三点なら一般形への代入から連立方程式を作れます。
条件の重複や矛盾と、二次の係数が0の場合を確認します。
最後に式を元の点と頂点または軸へ戻します。

どこで止まったかを見つける

式を立てる前に止まる場合は、与えられた情報が頂点の座標なのか、軸の方程式なのか、通る点なのかを分けて読みます。平方の括弧を作れない場合は、指定の横座標で括弧が0になるか口に出して確かめます。連立方程式の途中で止まる場合は、どの式を引けばどの文字が消えるかを先に示します。

個別指導で確かめる際も、答えの式だけでなく、元の条件のうち何をどの行に使ったかを説明してみます。条件を戻したとき値が合わなければ、代入の対応、符号、展開を順にたどります。条件と式を往復する習慣が、二次関数の決定を支えます。