高校数学I 二次関数のグラフ—頂点と開き方から平行移動した放物線を描く｜武蔵野個別指導塾

横移動の符号を頂点への代入で点検し、対称移動と区間に応じた値域まで読み解く放物線。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が平行移動の横方向の符号を逆に読むという場面です。括弧の中に x + 2 とあるので右に 2 と考えると、頂点を反対側に置いてしまいます。括弧の中が 0 になる x を探せば、移動先を式から確かめられます。頂点だけでなく、軸、開き方、定義域の端まで順に見ていきましょう。

式と図を行き来する問題

出方の一つは、標準形の式から軸と頂点を読み、放物線を描く問題です。係数の符号で上に開くか下に開くかを決め、頂点から左右に同じ距離の点を取ります。頂点の位置が合っていても、開く向きが逆なら別のグラフです。

次に、元のグラフを平行移動した式や、座標軸に関して対称移動した式を求める問題があります。点がどちらへ動くかを先に考え、式に戻して点が乗るかを調べます。横方向では、移動量をそのまま x に足すとは限りません。

さらに、x の取り得る範囲が指定され、対応する y の範囲を求める問題があります。頂点が指定された範囲内にあるかによって、端の値と頂点の値のどれを比較するかが変わります。グラフ全体を思い浮かべた後、指定区間に当たる部分を残すと判断しやすくなります。

頂点を基準に形と位置を読む

二次関数 y = a(x − p)² + q は、a が 0 でないとき、頂点が (p, q)、軸が x = p の放物線です。軸は頂点を通る縦の直線で、軸から左右に同じ距離の 2 点では、括弧の値が反対符号でも二乗は等しくなります。そのため、対応する y の値も等しくなります。

図1のように、頂点を原点から右に p、上に q だけ移した位置として考えます。p や q が負なら、それぞれ左や下への移動です。例えば括弧が x + 2 なら x − (-2) と読み、頂点の x 座標は -2 です。実際に x = -2 を入れると括弧は 0 になります。

係数 a が正なら放物線は上に開き、頂点が最も低い点です。a が負なら下に開き、頂点が最も高い点です。また、同じ横の距離における頂点からの高さの差は a と距離の二乗の積です。係数の絶対値が大きいほど、頂点から同じ距離での高さの差は大きくなります。

基準となる y = ax² のグラフを右に p、上に q だけ平行移動すると y = a(x − p)² + q です。右へ動いた点の新しい x 座標から p を引けば、元の x 座標に戻るからです。移動前に (t, at²) だった点は、移動後に (t + p, at² + q) となり、新しい式にも乗ります。p が負でもこの対応は成り立ちます。

対称移動では、x 軸に関する対称移動は各点の y 座標の符号を反転し、y 軸に関する対称移動は各点の x 座標の符号を反転します。式で書けば、元の関数を y = f(x) として、それぞれ y = -f(x)、y = f(-x) です。平行移動と対称移動を続ける場合は、指示された順番に行います。

基本例題：移動した線を描く

問題：y = x² のグラフを左に 2、上に 1 だけ平行移動します。移動後の式、軸、頂点を求め、グラフを描いてください。座標と式の係数は整数で表します。

まず、左に 2 は右に -2 という移動です。上に 1 は q = 1 ですから、p = -2、q = 1 を標準形に入れます。

移動後の式は y = (x − (-2))² + 1 です。

括弧を整理すると y = (x + 2)² + 1 です。

括弧が 0 になるのは x + 2 = 0、つまり x = -2 のときです。このとき y = 0² + 1 = 1 なので、頂点は (-2, 1)、軸は x = -2 です。二乗の係数は正なので上に開きます。

図2のように頂点を打ち、その両側に点を取ります。x = -3 では y = (-3 + 2)² + 1 = 2、x = -1 では y = (-1 + 2)² + 1 = 2 です。どちらも軸から横に 1 離れているので、高さが一致します。さらに x = -4 と x = 0 では、いずれも y = 5 です。これらの点を通り、軸に関して左右対称な滑らかな曲線を描きます。

移動の条件へ戻しても確認できます。元の頂点 (0, 0) は左に 2、上に 1 動いて (-2, 1) です。元の点 (1, 1) は (-1, 2) に移り、式に x = -1 を入れた値とも一致します。頂点の符号を記憶だけで決めるより、この 2 点の移動をたどると図と式の食い違いを見つけやすくなります。

描画では、頂点と軸を先に記入してから点を追加します。座標軸との交点を先に決めようとして計算が止まった場合でも、頂点と対称な点があれば形は描けます。元の放物線と同じ係数なので、移動で開き方は変わりません。

区間を切り取って値域を考える

問題：関数 y = -(x − 1)² + 4 について、定義域が -1 ≦ x ≦ 3 のときの値域を求めてください。境界を含め、不等号と整数で答えます。また、定義域を 2 ≦ x ≦ 4 に変えたときの値域も同じ形で求めてください。

頂点は (1, 4)、軸は x = 1 で、下に開く放物線です。最初の区間では -1 ≦ 1 ≦ 3 なので頂点を含みます。二乗は 0 以上ですから、-(x − 1)² + 4 ≦ 4 であり、x = 1 で 4 を取ります。

両端を代入すると、x = -1 では y = -(-2)² + 4 = 0、x = 3 では y = -(2)² + 4 = 0 です。この区間では軸からの距離は 0 以上 2 以下なので、(x − 1)² は 0 以上 4 以下です。したがって値域は 0 ≦ y ≦ 4 です。端点と頂点は定義域に含まれるため、どちらの等号も付きます。

次の区間では頂点の x 座標 1 は含まれません。2 ≦ x ≦ 4 より 1 ≦ x − 1 ≦ 3 です。いずれも正なので 1 ≦ (x − 1)² ≦ 9、符号を反転して 4 を足すと -5 ≦ y ≦ 3 となります。x = 2 で y = 3、x = 4 で y = -5 です。頂点の値 4 はグラフ全体の最高点ですが、この区間では取れません。

分かれ目は頂点が定義域に入るかどうかです。頂点が端点と一致する場合は、その端点の値が頂点の値でもあります。区間の端を含むかも別に読み、等号をつけるかを決めます。端と頂点の位置を図に記し、求めた値が元の区間のどの x で実現するかまで戻って確かめましょう。

符号の取り違えを修正する

誤答の例として、y = (x + 2)² + 1 の頂点を (2, 1) とします。括弧の + 2 をそのまま横の移動量と考えたことが原因です。x = 2 を代入すると y = 4² + 1 = 17 となり、答えの点 (2, 1) は元の曲線上にありません。

図3のように、まず x + 2 = 0 を解きます。x = -2 を代入すれば y = 1 なので、正しい頂点は (-2, 1) です。右か左か迷ったら「移動後の点から元に戻すには何を足すか」と考える方法もあります。左に 2 動いた点の横座標に 2 を足せば元の座標です。

もう一つの誤りは、定義域の外にある頂点を値域の端に採用することです。先ほどの 2 ≦ x ≦ 4 では x = 1 が許されないため、y = 4 は答えに入りません。図の頂点に印をつけるだけでなく、使える曲線の部分を端点から端点までなぞり、その範囲で一番高い点と低い点を読みます。

対称移動でも同様に、式の一部分だけを反転するとずれます。x 軸に関する移動なら y の値全体を反転するため、y = (x + 2)² + 1 は y = -((x + 2)² + 1) = -(x + 2)² − 1 です。頂点 (-2, 1) が (-2, -1) に移ることを使えば、定数項の符号の落とし間違いを調べられます。

対称移動と平行移動を続ける場合は、途中の式を一度書きます。例えば y = (x − 1)² + 2 をまず x 軸について対称にすると y = -(x − 1)² − 2 です。さらに上に 3 動かすと y = -(x − 1)² + 1 になります。元の頂点 (1, 2) は対称移動で (1, -2)、次の移動で (1, 1) です。式から読める頂点も (1, 1) なので、操作の順序と結果が対応しています。

反対に、先に上に 3 動かしてから x 軸について対称にすると、頂点は (1, 5) を経て (1, -5) となります。最初の結果と一致しないため、移動をまとめて暗算するときも順序を省略しないことが必要です。どちらの場合も各操作で元の点がどこへ移ったかを追えば、式の符号を確認できます。

定義域の問題で両端の値が等しいときも、そこで計算を終えてはいけません。軸をまたぐ区間では、途中にある頂点が両端と異なる値を取ることがあります。一方、端が軸の同じ側にあるときは、軸に近い端と遠い端を比べます。横の距離の大小を二乗の大小へ移し、係数が負なら大小の向きが反転するところまで書くと、図が小さくても判断できます。

端点を含まない範囲が与えられたときは、端に近づく値と実際に取る値を区別します。例えば y = x² で 0 < x < 2 なら、0 と 4 自体は取らず、値域は 0 < y < 4 です。端の等号を機械的に写すのでなく、その高さが別の許された x で実現しないかも考えます。軸をまたぐときには、片方の端を含まなくても対称な点で同じ高さを取る場合があるからです。

自分で描いて確かめる問題

次の 4 問は、座標と係数を整数または正確な分数で表してください。値域は等号を含めて不等号で答え、グラフには軸と頂点を記入します。

1. y = 2x² を右に 3、下に 2 だけ平行移動した式と頂点を求め、グラフを描いてください。
2. y = (x − 4)² − 3 を y 軸に関して対称移動した式、軸、頂点を求めてください。
3. y = (1/2)(x + 1)² − 2 の定義域が -3 ≦ x ≦ 2 のとき、値域を求めてください。
4. y = -(x − 2)² + 3 の定義域が -1 ≦ x ≦ 0 のとき、値域を求めてください。

問題の答えと道筋

1. 右に 3、下に 2 なので y = 2(x − 3)² − 2、頂点は (3, -2)、軸は x = 3 です。係数が正なので上に開きます。元の頂点 (0, 0) を指定どおり動かすと (3, -2) です。元の点 (1, 2) も (4, 0) に移り、新しい式に x = 4 を入れると 2(4 − 3)² − 2 = 0 となります。軸から左に 1 離れた (2, 0) も通るので、左右の形を合わせて描けます。

2. 元の式の x を -x に置き換えます。y = (-x − 4)² − 3 = (x + 4)² − 3 です。軸は x = -4、頂点は (-4, -3) です。元の頂点 (4, -3) の x 座標だけが反転しており、移動条件と一致します。例えば元の (5, -2) は (-5, -2) に移り、新しい式に -5 を代入しても y = 1 − 3 = -2 です。

3. 頂点は (-1, -2) で、-3 ≦ -1 ≦ 2 より区間に含まれます。上に開くため、最小値は -2 です。左端では y = (1/2)(-2)² − 2 = 0、右端では y = (1/2)・3² − 2 = 5/2 です。区間で軸から最も遠いのは右端なので、最大値は 5/2 です。よって -2 ≦ y ≦ 5/2 です。最小値は x = -1、最大値は x = 2 で実際に取られ、どちらも指定範囲に入ります。

4. 軸 x = 2 は区間の右側にあります。-1 ≦ x ≦ 0 から -3 ≦ x − 2 ≦ -2、よって 4 ≦ (x − 2)² ≦ 9 です。符号を反転し 3 を足すと -6 ≦ y ≦ -1 です。x = -1 で y = -9 + 3 = -6、x = 0 で y = -4 + 3 = -1 となり、両端の値が元の条件で実現します。頂点の高さ 3 は、この区間の値域に入りません。

グラフを描き終えたら、選んだ点の座標を式に戻します。たとえば左右の点の高さが一致しなければ、軸からの距離か二乗の計算を見直します。値域の答えでも、等号を付けた値について、対応する x が指定区間に入るか調べます。逆に等号を付けない値は、その高さを実現する別の点が範囲にないことまで確かめます。点の代入は図の配置を点検する手がかりであり、区間全体の値の範囲は距離と二乗の関係から判断します。

手元に残す要点

• 標準形では括弧が 0 になる x が軸、定数 q が頂点の高さです。
• 係数の符号で開く向きを決め、左右の対応点で形を描きます。
• 対称移動は各点の座標の符号を変えて確かめます。
• 値域では頂点と端の位置を調べ、実際に取れる値を答えます。

説明が止まる場所を見つける

頂点を尋ねたときに括弧内の符号をそのまま答えるなら、まず括弧を 0 にする値を代入してもらいます。式を見て点を置く操作と、点から式に代入する操作を往復すると、符号の意味を確認できます。開き方で迷う場合は、頂点の左右で同じ距離の点を計算し、高さが頂点より上か下かを比べます。

値域で止まる場合は、定義域の両端と軸を数直線に並べてもらいます。個別指導で確かめる際には、頂点を含む区間と含まない区間について、どの x でその値を取るかを言葉にしてもらうと、図の読み違いと計算の誤りを区別できます。移動先の点を元の条件へ戻す習慣が、放物線の式と図をつなぎます。