高校数学I 二次関数の最大最小の場合分け—動く軸や区間の境目を図で整理する｜武蔵野個別指導塾

軸や区間が動く放物線で、端点の値が等しくなる境界から整理する二次関数の最大最小の場合分け。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が場合分けの境界で最大値を二通りにしてしまう場面です。境界を挟んだ2つの式が違って見えると、同じ文字の値を入れても違う答えになるように感じるかもしれません。端点のどちらで最大になるかと、そのときの最大値がいくつかは別の話です。境界では2つの端点が同じ最大値を与えることもあります。軸や区間が動くとき、位置関係を先に描いてから値を計算しましょう。

何が動き、どこで答えが切り替わるか

出方の1つは、区間が固定され、二次関数の軸が文字によって動く型です。例えば下に凸の放物線では、軸が区間の左、内側、右のどこにあるかで、最小値を与える位置が変わります。最大値は軸から遠い端点でとりますから、区間の中点を軸が通過するところも境目です。最小値と最大値で境目が同じとは限りません。

もう1つは、放物線を固定し、長さの決まった区間が動く型です。区間の両端を文字で表し、軸がその区間に含まれるか、左右の端のどちらが軸から遠いかを調べます。軸が動く問題と似ていますが、動いているものを取り違えると、端点への代入式まで変わってしまいます。

どちらの型でも、まず定義域が端点を含むかを読みます。ここでは閉区間を扱い、両端を含めます。文字の範囲を重ね合わせたときに抜けがないこと、境界に2つの式があれば同じ値になることを最後に確かめます。二次の係数が文字で変わる問題は扱わず、放物線の開きは固定します。

軸からの距離を位置で読む

下に凸の二次関数 y = (x − p)² + q は、軸 x = p 上で最小値 q をとります。平方は0以上なので、軸から離れるほど値は大きくなります。閉区間内に軸があれば最小は軸、軸が区間外なら軸に近い端点です。最大は軸から遠い端点でとり、両端が等距離なら両端で同じ最大値をとります。

図1のように、区間の左右の端を L、R、軸を p とします。軸が L と R のちょうど中間にあるとき、両端から軸までの距離は等しくなります。中点は (L + R)/2 です。軸が中点より左なら右端が遠く、右なら左端が遠くなります。軸が区間外にあるときにも、この判定は成り立ちます。

図1では左右の距離が等しいため、端点での値も等しくなります。一方、最小値の分かれ目は p = L と p = R です。軸が端点に重なると、頂点と端点は同じ点です。したがって境界では、隣り合う場合の式に同じ文字の値を入れて一致するはずです。

上に凸なら、平方の係数が負なので大小が逆になります。軸に最も近い位置で最大、最も遠い端点で最小です。ただし、値が等しいという位置の条件は変わりません。図を描く際は開きの向きを書き、何を求める問題かを先に囲むと、近い端と遠い端の混同を減らせます。

基本例題：軸が動くとき

関数 y = x² − 2ax + a² + 1 を 0 ≦ x ≦ 4 で考えます。実数 a の値によって、この関数の最大値と最小値、およびそれぞれをとる x を求めてください。答えは a の式で正確に表します。

まず平方完成します。

y = x² - 2ax + a² + 1
  = (x - a)² + 1

下に凸で、軸は x = a、頂点は (a, 1) です。区間は固定され、a が変わると軸が左右に動きます。図2のように、最小値は軸と両端 0、4 の位置関係で分けます。

図2の左端より軸が左にある a < 0 では、区間の中で軸に最も近いのは x = 0 です。代入して最小値は a² + 1 です。0 ≦ a ≦ 4 では軸が区間に含まれるので、x = a で最小値 1 をとります。a > 4 では x = 4 が最も近く、最小値は (4 − a)² + 1 です。a = 0、4 では軸が端点と重なるため、軸を含む真ん中に入れました。

最大値は端点を比較します。x = 0 と x = 4 の値をそれぞれ計算すると、

x = 0 のとき y = a² + 1
x = 4 のとき y = (4 - a)² + 1 = a² - 8a + 17
右端の値 - 左端の値 = 16 - 8a

差が正なら右端、負なら左端が最大です。差が0になるのは a = 2 で、これは端点の中点と軸が重なる条件です。よって a < 2 では x = 4 で最大値 a² − 8a + 17、a > 2 では x = 0 で最大値 a² + 1 です。a = 2 では x = 0 と x = 4 の両方で最大値 5 です。

境界を戻して確かめます。a = 0 では x = 0 の値は1で、頂点の値と一致します。a = 4 でも x = 4 の値は1です。a = 2 では元の式に両端を入れると、どちらも5です。最大をとる場所が2か所あっても、最大値は1つです。場合分けの記号を別の側に割り当てても、境界で一致するなら結果は同じです。

この例では最小の境界が 0 と 4、最大の境界が 2 でした。最大と最小を一つの表にまとめる場合は 0、2、4 の順に区切れますが、最初から3つを同じ理由で作ったと考えないようにします。何が切り替わる境界かを書いておけば、式の意味を追えます。

少し難しい例題：区間が動くとき

関数 y = (x − 1)² − 2 を、実数 t に対して t ≦ x ≦ t + 4 で考えます。最大値と最小値、およびそれぞれをとる x を求めてください。答えは t の式で正確に表します。

軸は x = 1 で固定され、区間が動きます。区間の左端が軸に重なるのは t = 1、右端が軸に重なるのは t + 4 = 1、つまり t = -3 です。t < -3 では区間全体が軸の左にあるため、最小は右端 x = t + 4 です。値は (t + 3)² − 2 となります。

-3 ≦ t ≦ 1 では軸が区間に入り、x = 1 で最小値 -2 です。t > 1 では区間が軸の右にあるため、左端 x = t で最小値 (t − 1)² − 2 となります。両境界で端点と軸が重なり、隣の式も -2 になります。

最大を調べるには両端を代入します。左端では (t − 1)² − 2、右端では (t + 3)² − 2 です。右端の値から左端の値を引くと、

(t + 3)² - (t - 1)² = 8t + 8

この差は t = -1 で0です。したがって t < -1 では左端 x = t で最大値 (t − 1)² − 2、t > -1 では右端 x = t + 4 で最大値 (t + 3)² − 2 です。t = -1 では端点 -1 と 3 のどちらでも最大値 2 です。区間の中点 t + 2 が軸 1 と重なる条件からも、同じ境界が出ます。

元の条件へ戻すと、t = -3 で区間は -3 ≦ x ≦ 1、t = 1 で 1 ≦ x ≦ 5 です。いずれも軸が端にあり、最小値は -2 です。t = -1 では -1 ≦ x ≦ 3 となり、両端は軸からともに2離れます。元の関数に代入した値も2で一致します。区間が動く例では、境界の文字を区間そのものへ戻す確認が、端点の取り違えを見つける助けになります。

境界で2つの答えを書いたとき

基本例題で「a = 2 のとき、x = 0 なら最大値は a² + 1、x = 4 なら最大値は a² − 8a + 17 なので最大値は2つある」と考える誤答を見ます。原因は、文字を境界の値に固定する前の式を、そのまま異なる数として扱うことです。実際には両方へ a = 2 を入れると 5 です。

図3のように、軸が端点の中点にあれば2つの点は左右対称です。修正すると「最大値は5、それをとる x は0と4」です。値と位置を別々に書けば、場所が2つあることを落とさずに済みます。

別の失敗は、境界をどちらの範囲にも入れずに a < 2 と a > 2 のみを書くことです。a = 2 が抜けるため、図3の同値を独立した場合として加えます。逆に a ≦ 2 と a ≧ 2 の両方に入れる書き方なら、2つの値の式が境界で一致することを確認し、x が両端にあることも明記します。重複した範囲で異なる値を答えていれば計算か条件のどこかに誤りがあります。

最小値の境界も同様です。軸が端点に重なった瞬間を、頂点と端点の別々の場所として数えません。軸が区間に入るかを判定するときは不等号に等号を含め、端点が含まれるという問題の条件に戻ります。平方完成の符号が逆だと、軸の位置そのものが変わるので、展開して元の式に戻す点検も有効です。

表にするときの確認順序

場合分けを表にまとめるときは、まず文字の取りうる範囲を左から右へ並べます。例えば基本例題なら、最小値の境界は 0 と 4、最大値の境界は 2 です。これらを順に並べた後、各区間で最小を与える点と最大を与える点を別の行に書きます。境界そのものも端点か軸かを確認し、隣り合う式へ代入します。式が異なって見えても、境界で一致する場合があります。

中点の判定を忘れたときは、端点の値を引き算すれば同じ結論に戻れます。どちらからどちらを引いたかを記録し、差が正なら引かれる前の値が大きいと読みます。差が0なら値は等しく、端点が異なれば両方が答えの位置になります。差の符号だけを見て最大と最小を逆に書く失敗もあるので、最後に元の値の大小へ言い直します。

区間の長さが正であることも位置を読む前に確かめます。ここで使った動く区間は右端から左端を引くと常に正で、左右が入れ替わりません。もし問題の条件が違えば、まず定義域が空にならないかを調べ、その条件の下で端点と軸を比較します。定義域がない場合に端点の値を最大値として書くことはできません。

練習：位置と値を分けて書く

次の3問は、最大値と最小値をとる x も答えてください。文字は実数で、値は文字の式または整数として正確に表します。どの区間も両端を含みます。

1. y = (x − b)² を -2 ≦ x ≦ 2 で考えます。b によって最大値と最小値を求めてください。
2. y = -(x − 2)² + 3 を s ≦ x ≦ s + 2 で考えます。s によって最大値と最小値を求めてください。
3. y = (x + 1)² + 2 を c ≦ x ≦ c + 6 で考えます。c によって最大値と最小値を求めてください。

解答と確かめ

1. 軸は x = b です。b < -2 なら最小は x = -2 で (b + 2)²、-2 ≦ b ≦ 2 なら x = b で 0、b > 2 なら x = 2 で (b − 2)² です。両端の中点は0なので、b < 0 なら最大は x = 2 で (2 − b)²、b > 0 なら x = -2 で (b + 2)² です。b = 0 なら両端で最大値4です。b = -2、2 では端点が軸に重なり、元の平方の値は0です。b = 0 では元の式は y = x² となり、両端で4、軸で0です。

2. 上に凸で軸は x = 2 です。s < 0 なら区間が軸の左にあり、最大は右端 x = s + 2 で 3 − s² です。0 ≦ s ≦ 2 なら x = 2 で最大値3、s > 2 なら左端 x = s で最大値 3 − (s − 2)² です。最小は軸から遠い端点でとります。区間の中点 s + 1 が2となるのは s = 1 なので、s < 1 では左端 x = s で最小値 3 − (s − 2)²、s > 1 では右端 x = s + 2 で最小値 3 − s² です。s = 1 では x = 1、3 の両方で最小値2です。s = 0、2 の区間に軸を戻すとそれぞれ右端、左端と重なり、値は3です。s = 1 の両端を元の式に入れるとともに2です。

3. 軸は x = -1 です。右端が軸に重なるのは c = -7、左端が重なるのは c = -1 です。c < -7 では右端 x = c + 6 で最小値 (c + 7)² + 2、-7 ≦ c ≦ -1 では x = -1 で最小値2、c > -1 では左端 x = c で最小値 (c + 1)² + 2 です。中点 c + 3 が軸に重なるのは c = -4 です。c < -4 では左端 x = c で最大値 (c + 1)² + 2、c > -4 では右端 x = c + 6 で最大値 (c + 7)² + 2、c = -4 では x = -4、2 で最大値11です。c = -7 と -1 をそれぞれ区間に戻すと軸は端にあり、元の式で2です。c = -4 の区間の両端は軸から3離れ、代入すると両方11です。

手元に残す要点

• 軸と両端の位置で、軸に最も近い点を選びます。
• 軸と区間の中点を比べ、最も遠い端点を選びます。
• 開きの向きで、近い点と遠い点の最大・最小を読み替えます。
• 境界では元の区間と式に戻し、値とそれをとる位置を確かめます。

どの行で止まるかを見つける

自分で解き直すとき、まず文字を1つ決めて区間と軸を数直線に描き、そのあと文字を動かして境界を探します。図は位置関係を見つける道具です。一般の文字についての結論は、端点の値の差や距離の大小で確かめます。数値を何個か試して同じ結果が出ても、それだけでは残りの範囲の証明にはなりません。

個別指導で確かめるなら、軸が端点に重なる式と、中点に重なる式を生徒自身が説明できるかを見ると、止まった場所を特定しやすくなります。式は立てられるのに境界を抜かす場合は、境界の文字を元の定義域に戻して点を指します。値は合うのに x を1つ落とす場合は、両端をそれぞれ代入します。境界の同値を確かめる一手が、場合分けの答えをつなぎます。