高校数学I 二次不等式—グラフの上下と端点の扱いから解の範囲を表す｜武蔵野個別指導塾

根の間と外側をグラフの上下で選び、等号を含む端点や重解まで整理する二次不等式。

よくあるのは、定期テストの復習で、二つの根の間をいつも解に選んでしまう場面です。方程式の根を正しく求めても、不等式が求めているのは根そのものとは限りません。グラフが横軸より上にあるのか下にあるのかを読み、その部分に対応する x の範囲を答えます。等号が付くときは横軸との交点も確認します。

問題の形から最初に見ること

二次不等式では、左辺を二次式、右辺を 0 に整理してから符号を調べます。たとえば右辺に数が残るときは、両辺からその数を引きます。等号のある方程式を先に解くのは、符号が変わる可能性のある境界を探すためです。そこで作った方程式の解を、そのまま不等式の答えにしてはいけません。

出方の一つは、因数分解して異なる2個の実数解を求め、根の間または外側を選ぶ型です。もう一つは平方完成や判別式によって、横軸に接する場合や交わらない場合を考える型です。さらに、二次の係数が負の式では放物線の開きが逆になるため、図の上下を丁寧に見直します。

答えは x の範囲で表します。根が分数や根号を含む場合も、指定がなければ正確な形のまま大小を並べます。端点で左辺が 0 になることと、問題が等号を許すことは別の確認です。両方を押さえると、端点を含むかどうかを判断できます。

横軸との位置を符号に結ぶ

二次式を f(x) とおくと、不等式 f(x) > 0 は、グラフ y = f(x) が横軸より上にある x を求めることです。f(x) < 0 なら下、f(x) ≥ 0 なら上と横軸上、f(x) ≤ 0 なら下と横軸上を選びます。横軸上では y が 0 なので、等号があるときに限ってその点の x を含めます。

図1と図2は縦と横の縮尺が異なります。図1のように、下に凸の放物線が横軸と2点で交わる場合、左と右の外側で正、2点の間で負です。図の例は y = (x + 2)(x − 1) です。左側の x = -3 では2つの因数がともに負なので積は正、間の x = 0 では負と正の積で負、右側の x = 2 では両方正です。各区間の代表値を調べると、図の上下と式の符号が対応します。

図1の交点 -2 と 1 では積が 0 です。たとえば正の範囲を厳密な不等号で表すなら x < -2 または x > 1、0 以上なら x ≤ -2 または x ≥ 1 です。外側の2つの範囲は「または」でつなぎます。両方を同時に満たす必要があるという意味ではありません。

上に凸の放物線では、2点で交わるときに正負の位置が逆になります。また、横軸との共有点が1点しかなければ、その点を境に符号が反転するとは限りません。共有点がないときは、0 になる境界がないので、グラフ全体が横軸のどちら側にあるかを調べます。根の個数と開きの両方が必要です。

基本例題：外側を選ぶ不等式

次の不等式を解き、答えを整数の端点を使う x の範囲で表してください。

x² − 3x − 4 > 0

まず左辺を因数分解します。積が -4、和が -3 となる2数は -4 と 1 なので、

x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1)

です。境界を探す方程式は (x − 4)(x + 1) = 0 です。積が 0 になるのは少なくとも一方の因数が 0 のときですから、

x − 4 = 0 または x + 1 = 0

x = 4 または x = -1

となります。小さい方から -1、4 と並べます。二次の係数は正なので、グラフは下に凸です。図2のように、横軸より上にあるのは2つの交点の外側です。

図2を式でも確かめます。x < -1 では x − 4 と x + 1 がともに負なので積は正です。-1 < x < 4 では前者が負、後者が正なので積は負です。x > 4 では両方が正なので積は正です。境界 x = -1、4 では積が 0 となり、0 より大きいという条件には入りません。したがって答えは、

x < -1 または x > 4

です。たとえば x = -2 を元の左辺に戻すと 4 + 6 − 4 = 6 で正です。間の x = 0 では -4 なので条件を満たしません。右側の x = 5 では 25 − 15 − 4 = 6 で正です。代表値の確認は符号の取り違えを発見する助けになりますが、全範囲の説明には各因数の符号を使います。

等号付きの x² − 3x − 4 ≥ 0 に変わった場合は、同じ外側に加え、値が 0 になる -1 と 4 も含めます。答えは x ≤ -1 または x ≥ 4 です。不等号が変わっても根は同じですが、要求される符号と端点の扱いは問題ごとに読み直します。

交点が1個、またはないとき

次の2つをそれぞれ解き、答えを実数全体、解なし、または整数の端点を使う範囲で表してください。

1. -x² + 4x − 4 ≥ 0

2. x² − 2x + 3 > 0

3. は負の符号を外に出して平方の形にします。

-x² + 4x − 4 = -(x² − 4x + 4) = -(x − 2)²

どの実数 x に対しても (x − 2)² ≥ 0 ですから、符号を反転した左辺は 0 以下です。0 以上となるには 0 と等しくなるしかありません。(x − 2)² = 0 より x = 2 です。元の式でも -4 + 8 − 4 = 0 となるので等号を満たします。答えは x = 2 です。

同じ式で > 0 を要求されたら解はありません。逆に ≤ 0 なら、平方に負を付けた値は常に 0 以下なので実数全体です。< 0 なら 0 になる x = 2 を除き、x < 2 または x > 2 です。重解では左右の符号が同じことに注意します。

2. は平方完成すると、

x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2

です。平方は 0 以上なので左辺は少なくとも 2 です。したがって任意の実数 x で 0 より大きく、答えは実数全体です。頂点に当たる x = 1 でも元の式は 1 − 2 + 3 = 2 であり、0 にはなりません。式が常に正であることは代表値1個ではなく、平方が負にならない性質から判断しています。

この式について < 0 や ≤ 0 を求められたら解なしです。= 0 となる点もないため、等号を付けても新たに加わる値はありません。負の二次係数の式で同様に考える場合は、平方完成後の全体の符号まで確かめます。実数解がないという情報だけで、常に正か常に負かは決まりません。

誤答を図と言葉で直す

たとえば基本例題に対し、根が -1 と 4 だから答えは -1 < x < 4 とする誤答を考えます。根を見つけた後、求める符号を見ずに間を選んだことが原因です。x = 0 を代入すると左辺は -4 となり、正という条件に合いません。

図3のように、間は横軸より下です。正の値を取る外側を選び直すと、x < -1 または x > 4 になります。図3では境界を白丸で表し、0 を含まないことを示しています。白丸か黒丸かを先に決めるのでなく、まず元の不等号を見て端点の値が許されるかを考えます。

もう一つの失敗は、負の式に -1 を掛けても不等号をそのままにすることです。たとえば -x² + 4x − 4 ≥ 0 の両辺に -1 を掛けると、(x − 2)² ≤ 0 です。不等号の向きが逆になるので、平方が 0 の x = 2 を得ます。向きを変えずに平方が 0 以上とすると実数全体になり、元の式に x = 0 を入れたとき -4 ≥ 0 が成り立たないことで誤りを見つけられます。

グラフが描けないときの符号表

図を正確に描くことに時間がかかる場合は、根を小さい順に並べ、区間ごとに因数の符号を調べます。たとえば (x + 5)(x − 2) では、境界は -5 と 2 です。x < -5 では両方の因数が負、-5 < x < 2 では前者が正で後者が負、x > 2 では両方が正です。積は順に正、負、正となります。境界では積が 0 ですから、不等号に合わせて各境界を入れるか決めます。

係数が負の場合も、積全体に付いた負の符号を最後に反映させれば同じ方法が使えます。たとえば -(x + 5)(x − 2) の符号は、同じ3区間で負、正、負です。因数の一方だけの符号を反転させ、さらに全体にも負を付けると二重に反転してしまいます。どこに負号があるかを式の形で確認しましょう。

因数分解が難しいときは、方程式の解を求めてから開きと交点の個数を調べます。たとえば x² − 2 > 0 では境界が -√2 と √2 です。下に凸で外側が正なので、答えは x < -√2 または x > √2 です。根号を小数に直す必要はありません。境界では元の式が 0、間の 0 では -2、左右の代表値 -2 と 2 ではともに 2 となります。正確な根と各区間の符号を対応させることができます。

不等号の向きを判断するとき、式全体に負の数を掛けたか、それとも左辺だけを因数分解したかを区別します。式変形で左辺を同じ値の別の形に書き直すだけなら、不等号の向きは変わりません。両辺を負の数で割る操作をしたときには向きを逆にします。途中の等式と不等式を行ごとに書き分けると、どこで向きを変えたか追いやすくなります。

連立不等式では、それぞれを解いた後に共通部分を取ります。数直線を上下2段に分け、上段に二次不等式、下段にもう一方の条件を描くと、重なりと端点が見えます。片方の条件に等号があっても、もう片方がその値を除外すれば共通部分には入りません。逆に、片方の範囲の途中にある値が、他方の等号付きの端点なら、その値は共通部分に含まれます。

重なりが1点もない場合は解なしです。境界が同じ位置に見える場合も、両方がその点を含むかを別々に確認します。たとえば一方が x ≤ 1、他方が x ≥ 1 なら共通部分は x = 1 です。一方が x < 1 に変わると共通部分はありません。数直線上で線が接するように見えても、白丸の点は選べないことが理由です。

自分で解く4問

各問とも x は実数です。答えは実数全体、解なし、または正確な整数・分数・根号を用いた x の範囲で表してください。小数への丸めは不要です。

1. x² + x − 6 ≤ 0 を解いてください。
2. -2x² + 8x − 8 < 0 を解いてください。
3. x² + 4x + 7 ≤ 0 を解いてください。
4. 2x² − 5x − 3 > 0 と x + 2 ≥ 0 を同時に満たす範囲を求めてください。

解答と確かめ

1. x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) です。境界は -3 と 2 で、下に凸のグラフはその間で負です。等号を含むため答えは -3 ≤ x ≤ 2 です。端の -3 と 2 では元の左辺はともに 0、間の 0 では -6、外の -4 と 3 ではそれぞれ 6 です。端と各区間の符号が条件に合います。

2. -2x² + 8x − 8 = -2(x − 2)² です。平方が正なら左辺は負で、平方が 0 の x = 2 では左辺も 0 です。よって x < 2 または x > 2 です。元の式に 1 と 3 を入れるとどちらも -2、2 を入れると 0 です。厳密に負を求めるので 2 は除きます。

3. x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3 です。この値は任意の実数 x で 3 以上なので、0 以下となる値はありません。答えは解なしです。最小となる x = -2 を元の式に戻しても 4 − 8 + 7 = 3 です。等号付きでも、横軸との接点がなければ追加する端点はありません。

4. 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3) です。境界は x = -1/2 と x = 3 です。二次の係数が正なので、最初の条件の解は x < -1/2 または x > 3 です。一方、x + 2 ≥ 0 の解は x ≥ -2 です。両方を満たす部分は、

-2 ≤ x < -1/2 または x > 3

となります。-2 では元の二次式が 15、一次式が 0 なので両方の条件を満たします。-1/2 と 3 では二次式が 0 なので除きます。区間の代表として -3、-1、0、4 を元の2条件に戻すと、順に一次条件を満たさない、両方満たす、二次条件を満たさない、両方満たす、となります。2つの解の範囲の共通部分を取ることが連立の要点です。

手元に残す要点

• 右辺を 0 にして、境界と放物線の開きを調べます。
• 正は横軸より上、負は下から読みます。
• 0 を含む不等号なら、横軸上の点も答えに入れます。
• 重解や交点なしでは、符号が変わると決めつけません。

答えが止まった場所を見分ける

根までは出せるのに範囲を書けないときは、求めるのが正か負かを不等号に書き添え、各区間の代表値を元の式へ入れてみます。図と代入の結果が一致しなければ、開きの向きか式の符号を点検します。端点だけが違うときは、その値を代入した結果 0 が問題の条件に含まれるかを言葉にします。

個別指導で確かめるなら、解答の正誤だけでなく「なぜこの区間を選んだか」「なぜ端点を含めたか」を本人の式と図で説明できるかを見ます。重解では両側の符号、交点がない場合は頂点側の値を確認すると、どこで判断が途切れたかを絞れます。根は境界を示し、不等号は選ぶ範囲を決めます。