高校数学I 正弦定理—辺と向かい合う角を対応させて外接円まで求める｜武蔵野個別指導塾

辺と角の対応、外接円の半径、同じ正弦を持つ2つの角の採否を例題でたどる正弦定理。

定期テストの復習でよくあるのは、高校生が角の正弦の値から鋭角を求め、同じ値を持つ鈍角の候補を落とす場面です。式の計算が合っていても、三角形として成立する角を調べ終えたとは限りません。辺とその向かいの角を組にし、候補を出してから残りの角を調べる順序を身につけましょう。

問題に現れる3つの形

1つ目は、1組の辺と向かいの角、別の角から、別の辺を求める形です。対応する辺と角が1組わかっていれば、残る辺を比の式につなげられます。図に辺の文字を書き込み、求める辺の向かいの角がどれかを確認します。

2つ目は、辺と向かいの角から外接円の半径を求める形です。正弦定理の共通の値は半径ではなく直径に等しいので、最後に2で割る必要があります。単位が付く問題では、直径を求めた行と半径の答えを別に書くと取り違えを防げます。

3つ目は、2辺とその一方の向かいの角から、もう一方の辺に向かい合う角を求める形です。正弦の値から角を復元する際、鋭角と鈍角の両方が候補になり得ます。ただし、どちらも必ず採用するのではありません。与えられた角との和が180度未満かを調べ、残りの角が正になるものを選びます。

向かい合う組と直径

三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かい側の辺の長さをそれぞれa、b、cとします。つまりaはBC、bはCA、cはABの長さです。小文字のaは頂点Aから出る辺ではなく、頂点Aに接しない辺を表します。外接円とは、三角形の3つの頂点を通る円で、その半径をRとします。

図1のように、辺と角を向かい合わせにして組を作ります。角と同じ文字の辺を見つける作業が、式を立てる前の確認です。

正弦定理は次の式です。

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

三角形の各角は0度より大きく180度より小さいため、各角の正弦は正です。したがって、ここで正弦を分母に置けます。辺の長さを角の正弦で割った値が共通で、その共通の値が外接円の直径です。たとえばaとAの組がわかるとき、2R = a / sin Aとして半径が決まります。

この式の形を覚える際は、aとsin A、bとsin Bが縦に並ぶことを確かめます。a / sin Bのように異なる文字を組み合わせると、向かい合う対応が崩れます。辺の記号が書かれていない問題でも、頂点を確認してから自分で対応を書き足せます。

角から正弦を求めるときと、正弦から角を求めるときには違いがあります。角が決まればその正弦の値は決まりますが、0度より大きく180度より小さい範囲では、30度と150度のように和が180度になる2つの角の正弦が等しくなることがあります。90度は自分自身が補角なので、同じ角を2回数えません。

基本例題：別の辺と円の半径

三角形ABCで、角A = 30度、角B = 45度、辺BC = 4 cmです。辺CAの長さと外接円の半径を、根号を含む正確な値で求めてください。

図2のように、BCは角Aの向かい、CAは角Bの向かいです。まず残る角は180 − 30 − 45 = 105度で正なので、与えられた角の組は三角形として成立します。

a = 4、求める辺をbとすると、正弦定理から

4 / sin 30度 = b / sin 45度

です。sin 30度 = 1/2、sin 45度 = √2/2を代入すると、

4 / (1/2) = b / (√2/2)

8 = b / (√2/2)

b = 8 × √2/2 = 4√2

となります。よってCA = 4√2 cmです。両辺にsin 45度を掛けるところで、分母の値を逆にして割ってしまわないようにします。

同じ共通の値から、2R = 4 / (1/2) = 8です。したがってR = 4 cmです。8 cmは直径、4 cmが求める半径です。求めた辺を比に戻すと、4√2 / (√2/2) = 8となり、与えられた辺から得た比と一致します。また直径8 cmの円で、30度に対応する辺は8 × 1/2 = 4 cmなので、元のBCにも戻ります。

図2の辺の長さの見た目だけで等しいかどうかを判断する必要はありません。式では角AとBC、角BとCAという位置の関係を優先します。未知の辺に向かい合う角と、既知の組だけを取り出すと、必要な計算が見えます。

候補が分かれる例題

三角形ABCで、角A = 30度、辺BC = 4 cm、辺CA = 4√2 cmです。角Bと角Cの組を、度を単位とする正確な値で、成立するものを求めてください。

正弦定理に、a = 4、b = 4√2を入れます。

4 / sin 30度 = 4√2 / sin B

8 = 4√2 / sin B

sin B = 4√2 / 8 = √2/2

角Bは三角形の内角なので、0度 < B < 180度です。この範囲でsin B = √2/2を満たす候補は45度と135度です。45度の場合、角C = 180 − 30 − 45 = 105度です。135度の場合は角C = 180 − 30 − 135 = 15度です。どちらも残りの角が正なので、答えは(B, C) = (45度, 105度)、(135度, 15度)の2組です。

2つの候補は、与えられた辺に戻しても条件を満たします。共通の直径は4 / sin 30度 = 8 cmです。どちらのBでもsin B = √2/2なので、CA = 8 × √2/2 = 4√2 cmとなります。角Aの向かいの辺も8 × 1/2 = 4 cmです。角の和と辺の両方を確認することで、式の解を元の三角形の条件に戻せます。

候補の扱いは、求めた正弦の値と残りの角で決まります。正弦が1より大きければ内角にそのような値はなく、三角形は成立しません。正弦が1なら角の候補は90度の1つです。0より大きく1より小さいときは鋭角と鈍角の候補を挙げ、それぞれ与えられた角との和を調べます。和が180度なら残りの角は0度となり、一直線上に並ぶため三角形ではありません。和が180度を超える場合も採用できません。

たとえば既知の角が60度で、別の角の候補が60度と120度なら、前者の残りは60度です。後者は和が180度なので除きます。逆に、正弦の式が作れたとしても、答えの候補を検査する前に個数を決めることはできません。辺が正の長さであることと、角の和が180度になることを最後まで使います。

誤答を図で直す

先ほどの条件で「sin B = √2/2だからB = 45度のみ」とする答案を考えます。式の値は正しくても、0度から180度の範囲で135度も同じ正弦を持つことを見落としています。図3のように、45度と135度を並べてから、各候補に対する角Cを計算します。

原因は、正弦の値を角へ戻す操作を、値を出す操作と同じように一方向だと考えることです。修正するときは、まず角の範囲を問題の図形から決めます。次に補角も候補に挙げ、既知の角と足して180度未満かを確かめます。この例ではどちらも残るので、答えを2組書きます。

別の間違いとして、共通の値8を外接円の半径とする答案があります。正弦定理の右辺にあるのは2Rですから、8 = 2RからR = 4と直します。途中に「直径」の一語を添えると、最後の割り算の意味が明確になります。

候補を2つ書くこと自体も目的ではありません。たとえば候補の一方が既知の角と合わせて180度以上なら、その候補は三角形の条件に戻した段階で消えます。間違いを直す際には、最初に式の対応、次に角の候補、最後に残りの角という順に点検します。

式を選ぶ前の点検

与えられた値が複数あるときは、まず辺と向かいの角がそろっている組に印を付けます。その組が共通の値を決め、別の組の未知数へつながります。角だけが3つ与えられていても、三角形の形は決まりますが、大きさを自由に変えられるため、辺の長さや円の半径を数値で決めることはできません。長さを求めるには、少なくとも長さに関する条件が必要です。

一方、正弦定理で未知の角の正弦を得た場合は、その値をそのまま角の答えにしません。値が1を超えないかを調べ、該当する角を挙げ、他の角との和を調べます。値が正でも、残りの角が正でなければ図形は成立しません。計算の途中と図形の条件を分けて書くと、候補を除く理由が読み取れる答案になります。

外接円を描かなくても2Rを使えますが、半径と直径の区別があいまいなときは、円の中心から円周までをR、中心を通る円周上の2点間を2Rとして描きます。正弦定理の共通の値がどちらに当たるかを式に戻して確認しましょう。

正弦定理を使う前に、与えられた角が内角として取り得る範囲にあるかも確認します。角が0度や180度では辺が一直線上に並び、三角形にはなりません。2つの角が指定されているなら、その和が180度未満であることが必要です。残りの角を引き算で出し、その結果が正であることを一緒に書きましょう。

2辺と一方の向かいの角が与えられた場合、図を1枚だけ描くと、その形に引きずられてもう一方の候補を見落とすことがあります。図は対応を見るために使い、角の個数は式と内角の条件から決めます。鋭角の候補を見つけた後に補角も書き、残りの角をそれぞれ計算すれば、図の描き方に左右されずに判定できます。

正弦が1を超えたら、その値を持つ内角は存在しません。計算を間違えたと決めつける前に、与えられた条件自体が三角形を作らない場合もあると考えます。そのうえで対応と分数の計算を点検し、矛盾が残れば成立しないと結論します。失敗した候補の理由を示すことも、解答の一部です。

自分で解く4問

次の問題では三角形ABCの外接円の半径をR、角A、B、Cの向かいの辺の長さをそれぞれa、b、cとします。長さはcm、角は度を単位とし、根号を含む正確な値で答えてください。角を求める問題は成立する組を求めてください。

1. A = 45度、B = 60度、a = 2√2のとき、bとRを求めてください。
2. A = 120度、a = 3√3のとき、Rを求めてください。
3. A = 60度、a = 3√3、b = 3√3のとき、BとCの組を求めてください。
4. A = 30度、a = 2、b = 5のとき、この条件を満たす三角形が成立するか調べてください。

解答と確認

1. 2R = a / sin A = 2√2 / (√2/2) = 4です。よってR = 2、b = 4 sin 60度 = 2√3です。残りの角は75度で正です。得られた直径4からa = 4 × √2/2 = 2√2となり、与えられた辺に戻ります。b / sin 60度も4です。

2. sin 120度 = sin 60度 = √3/2なので、2R = 3√3 / (√3/2) = 6です。したがってR = 3です。直径6にsin 120度を掛けると3√3となり、元の辺に戻ります。残る2角の和は60度なので、たとえば30度ずつとすれば三角形が成立します。

3. 正弦定理からsin B = b sin A / a = √3/2です。候補はB = 60度、120度です。B = 60度ならC = 60度です。B = 120度ならAとの和が180度でC = 0度となるため除きます。答えは(B, C) = (60度, 60度)です。共通の値は3√3 / (√3/2) = 6で、6 sin 60度 = 3√3となり、aとbの両方に戻ります。

4. 正弦定理を使うとsin B = b sin A / a = 5 × (1/2) / 2 = 5/4です。しかし内角の正弦は1を超えないので、条件を満たす三角形は成立しません。別の確認として、与えられたaとAから直径は2 / (1/2) = 4です。円の弦であるbが直径4より長い5になることもなく、元の辺の条件に戻して矛盾を確認できます。

手元に残す要点

辺と向かい合う角を同じ組にします。 辺をその角の正弦で割った共通の値は外接円の直径です。 正弦から角を求めるときは補角も候補に挙げます。 各候補で残りの角が正か確かめ、答えを元の辺に戻します。

どこで止まったかを見分ける

図を見てaをABに置く場合は、文字の暗記を増やす前に、角Aの向かいにある辺を指でたどります。式は立つのに半径が2倍になる場合は、共通の値を直径と呼んでから半径に直す1行を加えます。角が1つしか出ない場合は、正弦が同じになる補角を図に書き、角の和で採否を判定します。

個別指導で確かめるなら、途中式を写す速さよりも、どの辺と角を組にしたかを本人の言葉で説明できるかに注目します。候補を捨てた理由も残りの角を使って話せれば、別の数値でも判断を移せます。正弦定理の式は、対応と三角形の成立条件までつながって初めて答えを支えます。