高校数学I 三角比の拡張—座標と符号から鈍角や境界の角の値を読み取る｜武蔵野個別指導塾

座標の符号と補角の対応を手掛かりに、90度での分母まで扱うのが三角比の拡張です。

よくあるのは、定期テストの復習で鈍角のcosを辺の長さの比として考え、正の値にしてしまう場面です。直角三角形の辺の長さは正ですが、鈍角まで広げた三角比では、原点から見た点の座標の符号が効きます。半円上の位置に戻って、値が負になる理由と、割り算ができない角を確かめましょう。

角度が広がると、どこを問われるか

1つ目の型は、半円上の点の座標からsin、cos、tanを求める問題です。長さと座標を取り違えず、横の座標が負ならcosも負になると読みます。点が軸上にある場合は、符号だけでなく0そのものを扱います。

2つ目の型は、120度や150度のような鈍角を、180度から引いた鋭角に結び付ける問題です。左右に対応する点では縦の座標が等しく、横の座標の符号が反対です。公式の符号を覚えたつもりでも、点を描くと根拠をたどれます。

3つ目の型は、0度、90度、180度を含む値の判定です。sinやcosの0と、tanが定義されないことは別です。分子が0なのか、分母が0なのかを見て判断します。ここでは角の範囲を0度以上180度以下に限り、円を何周もする角は扱いません。

半円の点と3つの比

座標平面に原点Oを中心とする半径1の上半円を描きます。正の横軸から反時計回りに角θを測り、その半径と半円との交点をP(x, y)とします。0度以上180度以下では、点Pは上半円またはその両端にあります。このとき、定義は次のとおりです。

sin θ = y

cos θ = x

tan θ = y/x　ただしxが0でないとき

半径が1なので、横と縦の座標そのものがcosとsinです。tanは縦の座標を横の座標で割った値です。図1のように、点が右側にあればxは正、左側にあればxは負です。上半円ではyは負にならず、両端では0になります。

例えば90度より小さい角では点は右上にあるので、sin、cos、tanは正です。90度より大きく180度より小さい角では点は左上にあり、sinは正、cosとtanは負です。tanの符号はy/xで決まるため、点の位置を見れば他の2つとともに判断できます。

境界の点は座標を直接読みます。0度ではP(1, 0)、90度ではP(0, 1)、180度ではP(-1, 0)です。したがって0度ではsin 0度 = 0、cos 0度 = 1、tan 0度 = 0です。180度ではsin 180度 = 0、cos 180度 = -1、tan 180度 = 0です。90度ではsin 90度 = 1、cos 90度 = 0ですが、tan 90度は1/0となるため定義されません。0で割る操作はできず、答えを0や無限大という数に置き換えることもできません。

半径が1でない場合にも同じ考え方が使えます。半径rが正の半円上の点をP(a, b)とすると、sin θ = b/r、cos θ = a/r、aが0でなければtan θ = b/aです。rが正なので、sinとcosの符号はそれぞれbとaの符号で決まります。原点は半径が0になり、角に対応する半円上の点として使えません。

基本例題：左上の座標を読む

問題：原点Oを中心とする半径5の上半円上に、点P(-3, 4)があります。正の横軸から半径OPまで反時計回りに測った角をθとします。sin θ、cos θ、tan θをそれぞれ既約分数で求めてください。

まず点が条件に合うか確かめます。横の座標の二乗と縦の座標の二乗の和は、(-3)² + 4² = 9 + 16 = 25です。これは半径5の二乗に等しく、縦の座標も正ですから、Pは指定された上半円にあります。横の座標が負なのでθは90度より大きく180度より小さい角です。

図2のように、縦軸へ向かう長さ3と高さ4を補助的に見ます。ただし、長さ3と横の座標-3は違います。負の符号を落とさず、それぞれの定義へ代入します。

sin θ = 縦の座標/半径 = 4/5

cos θ = 横の座標/半径 = -3/5

tan θ = 縦の座標/横の座標 = 4/(-3) = -4/3

よって答えは順に4/5、-3/5、-4/3です。tanの分母は-3で0ではないので、この割り算はできます。高さを半径で割ったsinは正、左向きの座標を半径で割ったcosは負です。tanも正を負で割るので負となり、位置から予想した符号と一致します。

得られた値を点へ戻しても確認できます。半径5にsinの4/5を掛けると縦の座標4、cosの-3/5を掛けると横の座標-3です。また、横の座標-3にtanの-4/3を掛けると縦の座標4に戻ります。単に分数を約分できたかだけでなく、元の点を再現できたかを見ることが検算です。

この例で、図の横線に付けた3は距離です。距離を負にするのではなく、原点より左にあることから座標に負の符号を付けます。右側の直角三角形で覚えた「隣の辺/斜辺」をそのまま長さで計算すると、左側の向きを失います。

補角で値を運ぶときの分かれ目

問題：0度以上180度以下の角θについて、sin θ = 1/2を満たすθをすべて、度を単位とする整数で求めてください。また、各角のcos θとtan θを根号を用いて正確に求めてください。

上半円ではsin θは点の縦の座標です。高さが1/2の水平線は、上半円と右側と左側で交わります。30度の点の座標は(√3/2, 1/2)です。縦軸に関して対称な点は(-√3/2, 1/2)で、その角は180度 − 30度 = 150度です。

したがってθの候補は30度と150度です。この高さで円の方程式x² + y² = 1にy = 1/2を代入すると、x² = 3/4です。x = √3/2またはx = -√3/2なので、半円との交点はこの2点に限られ、候補を落としていません。どちらも正の半径の向きが異なるので、0度から180度の範囲で異なる角です。

30度ではcos θ = √3/2、tan θ = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3です。150度ではcos θ = -√3/2、tan θ = (1/2)/(-√3/2) = -1/√3 = -√3/3です。分母の√3を有理化して答えを整えました。どちらも横の座標は0でないのでtanを求められます。

元の条件へ戻すと、両方の点の縦の座標は1/2であり、sin θ = 1/2を満たします。cosの符号とtanの符号は左右で反対です。同じsinの値から角を1つに決めてしまうと、左側の点を落とします。

一般に0度から180度の範囲で、角αと180度 − αの点は縦軸に関して対称です。よってsin(180度 − α) = sin α、cos(180度 − α) = -cos αです。αが90度でないとき、tan(180度 − α) = -tan αです。αが90度なら補角も90度で、tanは両方とも定義されないので、この式に数値を入れて計算することはできません。

高さによって交点の個数も変わります。sin θ = 1なら頂点の90度の1個、sin θ = 0なら両端の0度と180度の2個です。高さが負、または1より大きい条件では上半円に交点がありません。2個という結論をどの高さにも当てはめず、端と頂点を含めて図で確かめます。

誤答の符号と分母を直す

図3は、基本例題の点を使った誤答の点検です。cos θを3/5とした場合、比の数値部分は合っていますが、横の長さ3を横の座標と混同しています。点Pは原点の左にあるので、横の座標は-3です。cos θ = -3/5に直します。

図3の矢印は、長さをそのまま使った答えから、位置を反映した答えへの修正を示します。符号を後から暗記で付ける前に、原点を基準に左右のどちらかを読みます。例えば縦の座標4は上向きなので正のままです。横と縦の符号を同じにする必要はありません。

別の誤りは、tan 90度を0とすることです。cos 90度が0だからtanも0と判断すると、分母と分子の役割が逆になります。90度の点は(0, 1)なのでtanは1/0です。0で割れないため「定義されない」と書き直します。これに対し0度では0/1、180度では0/(-1)なので、どちらも値は0です。分母が0でないことを先に確認すると、この違いが見えます。

補角の計算では、sinまで負にする誤りもあります。上半円の左右の点は同じ高さですから、縦の座標の符号は反対になりません。横の座標だけが反転することを図で確認してから、3つの比へ移してください。

自分で点を置く練習

次の4問は、答えをすべて正確な値で表してください。分数は既約分数にし、必要な場合は分母を有理化します。角は度を単位とします。

1. 原点を中心とする半径13の上半円上にQ(-5, 12)があります。正の横軸からOQまで反時計回りに測った角をβとするとき、sin β、cos β、tan βを求めてください。
2. 0度以上180度以下の角γがcos γ = -1/2を満たします。γを整数で求め、sin γとtan γを根号を用いて求めてください。
3. 0度、90度、180度のそれぞれについて、sin、cos、tanの値を求めてください。定義されないものがあれば、その旨を書いてください。
4. 0度以上180度以下の角δがsin δ = 2を満たすか判定してください。満たす角がない場合は、理由も書いてください。

練習の答えと考え方

1. 点Qは(-5)² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²を満たし、縦の座標が正なので条件の上半円にあります。定義によりsin β = 12/13、cos β = -5/13、tan β = 12/(-5) = -12/5です。半径13をsinとcosに掛けると、それぞれ12と-5に戻ります。さらに横の座標-5にtanの-12/5を掛けると12となり、与えられた点の縦の座標と一致します。

2. cos γは横の座標なので、点は横の座標が-1/2の位置です。60度の点は(1/2, √3/2)ですから、縦軸に関する対称な点は(-1/2, √3/2)です。角は180度 − 60度 = 120度となります。上半円で横の座標を-1/2に決めると、縦の座標は0以上で、x² + y² = 1からy = √3/2に決まります。よって角の候補は120度です。

sin 120度 = √3/2、tan 120度 = (√3/2)/(-1/2) = -√3です。cos 120度 = -1/2なので、元の条件に戻ります。tanの分母の横座標も0ではありません。cosだけを見て60度と答えると、正の横座標になり条件に合わないため除きます。

3. 0度の点は(1, 0)なので、sinは0、cosは1、tanは0/1 = 0です。90度の点は(0, 1)なので、sinは1、cosは0、tanは1/0となり定義されません。180度の点は(-1, 0)なので、sinは0、cosは-1、tanは0/(-1) = 0です。各角に対応する軸上の点へ値を戻すと、横と縦がいずれも元の座標と一致します。90度については値を無理に代入せず、分母0を理由に止めます。

4. 満たす角はありません。半径1の上半円では、縦の座標は0以上1以下です。sin δはその縦の座標なので、2という高さには届きません。仮にy = 2として円の式に入れるとx² + 4 = 1、つまりx² = -3となり、実数の座標xは存在しません。与えられた条件に戻しても、半円上に該当する点を置けないことが確かめられます。

手元に残す要点

半径1の上半円では、sinは縦、cosは横の座標です。 鈍角ではsinが正、cosとtanが負です。 補角では高さが等しく、横の座標の符号が反対です。 90度のtanは分母が0なので定義されません。

どの説明で止まるかを見つける

解答が違ったときは、最初から計算をやり直す前に、点の位置、座標、比のどこで変わったかを見ます。点を左上に置けてもcosを正にするなら、長さと座標の区別を口に出して確認します。点を正しく置けないなら、正の横軸から反時計回りに角を測り直します。

個別指導で確かめるなら、まず座標を隠し、鈍角の点が縦軸の左右どちらにあるかを説明してもらいます。次に座標を示して、sinとcosのどちらに横の値を使うかを尋ねます。90度では分母が0になる式まで書き、0という答えと定義されない場合を区別できるかを見ます。半円上の位置に戻れば、符号と境界の理由を自分の言葉でたどれます。