高校数学I 空間図形の計量—必要な三角形を切り出して高さと体積を求める｜武蔵野個別指導塾

直方体の対角線と四角錐の垂線を断面に取り出し、斜辺を高さと取り違える原因から直す空間図形の計量。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が見取り図の斜めの辺をそのまま高さに使う場面です。紙の上では斜めに見えても、実際には底面に垂直な線もあります。反対に、頂点から底面へ引いた線でも、底面に垂直とは限りません。長さを計算する前に、どの平面を底面とし、どこへ垂線を下ろしたかを確かめましょう。空間全体を一度に眺めるより、必要な点を通る平面で切り、平面上の三角形を描き直すと条件が見えます。

どの長さを問われているか

直方体では、底面の対角線を先に求め、それを一辺とする直角三角形から空間の対角線を求める型があります。底面の縦と横は直角ですが、空間の対角線はそのどちらとも同じ三角形の辺とは限りません。2回の計算で使う直角をそれぞれ図に書き込むことが出発点です。

四角錐では、頂点から底面へ下ろした垂線の長さが高さです。側面の斜めの辺や、側面上で底辺に垂直な線の長さが与えられたときは、高さと底面内の線を含む断面を取り出します。底面積と高さがそろえば体積を求められますが、側面の高さを体積の公式に直接入れることはできません。

もう一つは、断面の角と辺から三角比を使う型です。角がどの2本の線の間にあるかを確かめ、斜辺、角の向かいの辺、角に接する辺を対応させます。図の傾きから角度を推測するのではなく、条件と垂直の関係から判断します。

垂線を含む断面を取り出す

平面に垂直な直線は、その交点を通る平面内の直線と垂直です。四角錐の頂点をP、底面への垂線の足をH、底面上の点をAとすると、PHが底面に垂直であることから、PHとHAは垂直です。P、H、Aを含む平面で切れば、直角三角形PHAが現れます。PHは底面から頂点までの高さ、PAは斜辺です。

図1のように、底面上にあるHAと、底面に垂直なPHの関係を先に確定します。点Hが底面の外にあっても、底面を含む平面への垂線であれば同じ直角三角形を考えられます。ただし、足がどこにあるかは条件から決める必要があり、見取り図の中央に見えるだけでは決まりません。

直角三角形で斜辺をc、他の辺をa、bとすると、a² + b² = c²です。鋭角θについては、sin θが向かいの辺と斜辺の比、cos θが隣の辺と斜辺の比、tan θが向かいの辺と隣の辺の比です。同じ線でも、注目する角を変えると向かいと隣の役割は変わります。

体積については、直方体は底面積と高さの積、四角錐は底面積と高さの積の3分の1です。どちらも高さは選んだ底面に垂直な距離です。単位がcmなら長さはcm、底面積はcm²、体積はcm³と、段階ごとに区別します。

基本例題：直方体を2段階で切る

直方体ABCD-EFGHの底面ABCDは長方形で、AB = 6 cm、BC = 8 cmです。EはAの真上にあり、AE = 12 cmです。向かい合う頂点AとGを結ぶ線分AGの長さと直方体の体積を、それぞれ根号を含んでもよい正確な値と整数で求めてください。長さの単位はcm、体積の単位はcm³とします。

図2では底面の対角線ACを先に取り出し、次にA、C、Gを通る断面を見ています。CGは底面に垂直で、長さはAEと等しい12 cmです。ACは底面内の線なので、角ACGは直角です。

まず底面の直角三角形ABCに三平方の定理を使います。

AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 8²
AC² = 36 + 64 = 100

ACは正の長さなので、AC = 10 cmです。次に直角三角形ACGで、AGを斜辺として計算します。

AG² = AC² + CG²
AG² = 10² + 12²
AG² = 100 + 144 = 244
AG = 2√61 cm

ここで100と144の和は244です。√244を2√61に直し、長さなので正の値を採ります。AGを先に高さとみなすと、三平方の定理で求める辺と既知の辺が入れ替わってしまいます。

底面積は6 × 8 = 48 cm²です。底面に垂直な高さは12 cmなので、体積は48 × 12 = 576 cm³です。確かめると、対角線の答えは (2√61)² = 244であり、底面の対角線の二乗100と高さの二乗144の和に戻ります。体積も底面の48 cm²を高さ12 cm分重ねた値です。

発展例題：四角錐の高さと傾き

底面ABCDが1辺8 cmの正方形で、対角線の交点をOとします。頂点Pから底面への垂線の足がOである四角錐P-ABCDで、PA = 4√5 cmです。高さPOと体積を、根号を含んでもよい正確な値で求めてください。長さの単位はcm、体積の単位はcm³とします。

正方形の対角線ACについて、AC² = 8² + 8² = 128なので、AC = 8√2 cmです。Oは対角線の中点ですから、OA = 4√2 cmです。POは底面に垂直で、OAは底面内にあるため、三角形POAはOを直角とする直角三角形です。

PA² = PO² + OA²
(4√5)² = PO² + (4√2)²
80 = PO² + 32
PO² = 48
PO = 4√3 cm

底面積は8² = 64 cm²です。したがって体積は64 × 4√3 ÷ 3 = 256√3/3 cm³です。分母を残した分数も正確な答えです。逆に、求めた高さとOAから斜辺を戻すと、(4√3)² + (4√2)² = 48 + 32 = 80で、与えられたPAの二乗と一致します。

ここでの分かれ目は、垂線の足が底面の中心だと与えられているかどうかです。中心だと明記されているので、OAを対角線の半分にできます。足の位置が指定されていなければ、同じ底面と側辺の長さでもOAを決められず、この計算を始められません。また、PAがOA以下なら、正の高さを持つ四角錐はこの条件では作れません。等しい場合は高さが0になり、立体にならないことまで区別します。

誤答を直す：側辺は高さではない

底面積が36 cm²、高さが4 cm、頂点から底面の頂点までの側辺が5 cmの四角錐を考えます。誤って36 × 5 ÷ 3 = 60 cm³とすると、垂線ではない側辺を高さに入れたことになります。正しくは36 × 4 ÷ 3 = 48 cm³です。

図3のように、側辺5 cmは高さ4 cmを一辺とする直角三角形の斜辺です。底面内のもう一辺は、5² − 4² = 9より3 cmです。底面を1辺6 cmの正方形とし、垂線の足を底辺の中点にすれば、この3 cmという条件を満たす図形を作れます。図中の底面積と高さから体積を求め、側辺は垂線の長さを確認するために使います。

誤りの原因は、頂点と底面を結ぶ線をどれも高さと呼んでしまうことです。式を書く前に、底面に対する直角の印を探してください。印がなければ、与えられた条件から垂直といえるかを確認します。側面の中の底辺に垂直な線であっても、底面全体に垂直とは限りません。

自分で試す4問

各問で必要な断面を描き、長さは根号を含んでもよい正確な値、体積は分数や根号を含んでもよい正確な値で答えてください。長さの単位はcm、体積の単位はcm³です。四角錐では、垂線の足が底面の中心と明記された場合に限って、その位置を使います。

1. 直方体の底面は縦3 cm、横4 cm、高さは5 cmです。底面の対角線と空間の対角線を求めてください。
2. 底面が縦6 cm、横10 cmの長方形で、高さが7 cmの四角錐があります。体積を求めてください。
3. 底面が1辺6 cmの正方形で、頂点から底面への垂線の足が中心Oである四角錐があります。頂点Pから底面の頂点Aまでの側辺PAが6 cmのとき、高さPOと体積を求めてください。
4. 底面への垂線の足をHとする四角錐で、底面上の点BについてHB = 5 cm、角PBH = 60度です。底面積が21 cm²のとき、高さPHと体積を求めてください。Pは頂点で、角PBHはPBとBHのなす角です。

解答と戻して確かめる手順

1. 底面の対角線をdとすると、d² = 3² + 4² = 25です。dは正なので5 cmです。空間の対角線をLとすると、L² = 5² + 5² = 50よりL = 5√2 cmです。底面では3² + 4² = 5²、断面では5² + 5² = (5√2)²と、両方の直角三角形の条件に戻ります。

2. 底面積は6 × 10 = 60 cm²です。四角錐なので体積は60 × 7 ÷ 3 = 140 cm³です。逆に体積の3倍を底面積で割ると140 × 3 ÷ 60 = 7となり、与えられた高さに戻ります。直方体と違い、積を3で割る位置に注意します。

3. 正方形の対角線は√(6² + 6²) = 6√2 cmなので、OA = 3√2 cmです。直角三角形POAで、PO² = 6² − (3√2)² = 36 − 18 = 18より、PO = 3√2 cmです。底面積は36 cm²だから、体積は36 × 3√2 ÷ 3 = 36√2 cm³です。高さとOAの二乗の和は18 + 18 = 36で、側辺6 cmの二乗に戻ります。体積からも36√2 × 3 ÷ 36 = 3√2となり、高さを確かめられます。

4. PHは底面に垂直なので、三角形PBHはHで直角です。角Bに対してPHが向かい、BHが隣ですから、tan 60度 = PH/5です。tan 60度 = √3よりPH = 5√3 cmです。体積は21 × 5√3 ÷ 3 = 35√3 cm³です。PH/BH = 5√3/5 = √3なので、指定された角の正接に戻ります。体積の3倍を底面積21で割っても、5√3 cmに戻ります。

図と条件が食い違うときの点検

見取り図では、奥行きのある辺が短く描かれていても、その辺の実際の長さが短いとは限りません。直角も、紙の上で直角に見えるかどうかでは決められません。例えば直方体の底面の対角線と縦の辺を同じ図に見つけても、その2本が接する点で底面と縦の辺が垂直だと説明してから三平方の定理を使います。図にない線を引いた場合も、両端がどの面にあるかを確認してから、その線を含む断面を描きます。

三角比の式が思いつかないときには、必要な2辺に印を付けます。角の向かいと隣の2辺ならtan、向かいと斜辺ならsin、隣と斜辺ならcosを選びます。角を挟む2辺の一方が斜辺である点に注意してください。式を作った後は、比の分母が0でないか、求めた長さが正かを点検します。斜辺を求めた場合は、他の2辺より長くなるかも確かめられます。

値が求められない条件にも意味があります。例えば高さを求める直角三角形で、斜辺の長さが底面内の一辺より短いとされた場合、斜辺の二乗からその一辺の二乗を引くと負になります。正の長さの二乗は負にならないので、計算結果に無理に根号を付けず、条件を満たす立体が作れないと判断します。等しい場合には高さが0となり、やはり高さのある四角錐にはなりません。

また、底面積と側辺の長さだけが与えられ、高さや垂線の足の位置が示されない場合は、底面内の距離を勝手に定められません。側辺の長さが同じでも垂線の足が変われば高さが変わりえます。求める量が定まるかを先に調べ、足りない条件を言葉にすることも、立式の一部です。問題を解き終えた後には、求めた値を辺の関係と体積の両方に戻して、異なる箇所から点検します。

断面を描き直す際は、元の立体の点の名前をそのまま移すと、別の線を同じ記号で呼ぶ間違いを防げます。計算の途中で底面積を出したら、次に必要なのは長さか面積かを確認します。最後に単位が立方センチメートルになっているかを見れば、体積の式に面積どうしを掛けた誤りにも気づけます。

持ち帰る要点

底面への垂線が高さです。
垂線と底面内の線を含む断面に直角が現れます。
三角比は注目する角に対する辺の位置で選びます。
四角錐の体積は底面積 × 高さ ÷ 3です。

手が止まった場所を見つける

断面を描けないときは、求めたい線の両端と、垂線の足を指で追い、その3点が同じ平面上にあるか確認します。三角形を描けても式が立たないときは、直角の頂点と斜辺を言葉で示します。三角比で止まった場合は、指定された角を丸で囲み、その角から見た向かいと隣を線に書きます。

個別指導で確かめるなら、答えの数だけでなく、なぜその線が底面に垂直といえるかを説明してもらうと、図の読み違いを見つけやすくなります。条件にない中心や直角を書き足していないかも、問題文に戻って点検します。空間の長さは、垂直の根拠を持つ断面から決まります。