高校数学I 散布図と相関係数—二変量の関係を図と数で確かめ因果と区別する｜武蔵野個別指導塾

対応する偏差の積から係数を求め、外れ値や原因の読み違いも点検する相関の見方。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が相関係数の大きさを見て、一方が他方の原因だと言い切る場面です。2つの量が一緒に増える傾向と、片方を変えた結果としてもう片方が変わることは、同じ意味ではありません。対応する値を組にして図に置き、数を求めた後も点の形と結論の範囲に戻りましょう。

問題の形を先に見分ける

出方の1つは、表の各行を散布図の点に直し、右上がりか右下がりかを読む問題です。横軸と縦軸の量を逆にしないことに加え、同じ対象から得られた2つの値を1組にすることが必要です。別々に並べ替えてから組み直すと、元の関係は失われます。

もう1つは、平均と偏差から共分散を出し、標準偏差で割って相関係数を求める問題です。積の和をデータの組の数で割るところと、2つの標準偏差を掛けるところを分けて書くと、計算を追えます。係数が定義されるかどうかも計算の前に確かめます。

さらに、点が1つ離れたときの影響や、関係からどこまで言えるかを問う問題があります。係数が大きくても、点の並びが直線状か、離れた点があるかを図で調べます。原因についての説明には、係数以外の根拠が必要です。

2つの偏差を組にする

対象ごとに2つの量 x、y を測り、組 (x, y) を平面上の1点で表したものが散布図です。右へ行くほど上がる傾向は正の相関、右へ行くほど下がる傾向は負の相関と呼びます。点がばらばらで直線的な傾向がはっきりしないこともあります。

それぞれの平均を x の平均、y の平均と呼び、各値から対応する平均を引いた差を偏差とします。両方が平均より大きい組、または両方が平均より小さい組では、偏差の積は正です。一方が平均より大きく他方が小さい組では積は負です。どちらかが平均と等しければ積は0です。

図1のように、平均を通る縦線と横線で分けると、偏差の積の符号を点の位置から読めます。共分散は、この積を対応する全組について足し、組の数で割った値です。正の積が優勢なら正、負の積が優勢なら負になりますが、積の大きさも合計に影響します。

x の標準偏差と y の標準偏差の積で共分散を割った値が相関係数です。標準偏差は偏差の二乗の平均である分散の正の平方根です。相関係数は -1 以上 1 以下で、1に近いほど右上がり、-1に近いほど右下がりの直線的な傾向が強いと読みます。0に近いことは直線的な傾向が弱いという意味で、どんな関係もないという意味ではありません。

どちらかの分散が0なら、その量の標準偏差も0です。分母が0になるため、相関係数は定義されません。共分散が0でも、0で割って係数を0とすることはできません。点の並びを見て説明することはできますが、数としての係数とは区別します。

基本例題：表から係数までたどる

自作の工作で、4枚の板について横の長さ x cm と縦の長さ y cm を測ったとします。対応する組は順に (1, 2)、(2, 1)、(3, 4)、(4, 3) です。共分散と相関係数を正確な分数で求め、散布図の傾向を述べてください。

まず平均を別々に求めます。組の数は4なので、x の平均は (1 + 2 + 3 + 4) ÷ 4 = 5/2、y の平均は (2 + 1 + 4 + 3) ÷ 4 = 5/2 です。両方とも同じ平均ですが、たまたまそうなっただけで、常に等しいわけではありません。

各組の偏差を順番に書くと、(-3/2, -1/2)、(-1/2, -3/2)、(1/2, 3/2)、(3/2, 1/2) です。組を崩さず積を取ると、順に 3/4、3/4、3/4、3/4 です。よって共分散は

(3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4) ÷ 4 = 3/4

となります。積を足した3は共分散そのものではなく、さらに組の数で割ります。偏差の積が全組で正なので、正の値になったことも符号の検算になります。

x の分散は

(9/4 + 1/4 + 1/4 + 9/4) ÷ 4 = 5/4

です。y の偏差の二乗も同じ4個を別の順で並べたものなので、y の分散も 5/4 です。各標準偏差は √5/2 であり、その積は 5/4 です。したがって相関係数は

(3/4) ÷ (5/4) = 3/5

です。分母は0ではないので、この割り算は定義されています。正の相関があり、点は全体として右上がりです。ただし係数が1ではないため、全点が右上がりの1本の直線上に並ぶわけではありません。

図2のように、4つの点を元の組に戻して確かめます。例えば x が2の板は y が1で、x が3の板は y が4です。平均線の左下と右上にそれぞれ2点ずつあることも、偏差の積が正だった計算と合います。横と縦の尺度は同じです。

離れた点を加えたらどう読むか

次の自作データを考えます。3個の飾りの重さ x g と長さ y cm の組は (1, 1)、(2, 2)、(3, 3) です。さらに別の飾り (4, 0) を加えます。追加前と追加後の相関係数をそれぞれ正確な値で求め、変化を説明してください。

追加前は平均がともに2で、両方の偏差は -1、0、1 です。共分散は (1 + 0 + 1) ÷ 3 = 2/3、両方の分散も 2/3 です。標準偏差の積は 2/3 なので、相関係数は1です。3点は右上がりの直線上にあります。

追加後の平均は x が (1 + 2 + 3 + 4) ÷ 4 = 5/2、y が (1 + 2 + 3 + 0) ÷ 4 = 3/2 です。偏差の組は順に (-3/2, -1/2)、(-1/2, 1/2)、(1/2, 3/2)、(3/2, -3/2) です。積の合計は 3/4 − 1/4 + 3/4 − 9/4 = -1 ですから、共分散は -1/4 です。

x の偏差の二乗の合計は 5、y も 5 です。それぞれの分散は 5/4、標準偏差の積は 5/4 なので、追加後の相関係数は (-1/4) ÷ (5/4) = -1/5 です。最後の組は x が平均より大きく y が平均より小さいため、大きな負の積を与えます。1点を加えた結果、係数は正の1から負の1/5へ変わりました。

追加した点は他の3点の並びから離れており、外れ値として図で注意を向ける点です。離れていることだけを理由に消してはいけません。記録や測定に誤りがないか、同じ条件の対象かを確かめ、除く場合と含める場合の両方を区別して示します。正しい観測なら、その点もデータの一部です。

値が離れた点が必ず係数を小さくするわけでもありません。元の直線的な並びを延ばした先に点があれば、逆に直線的な傾向を強めることもあります。係数の前後だけでなく、点がどの方向に離れたかを見ることが分かれ目です。

誤答を図と条件から直す

ある自作の表で、日ごとの冷たい飲み物の数と薄着の人の数に正の相関が出たとします。「飲み物を増やしたことが薄着の原因だ」と書くのは誤りです。両者が一緒に増えたという記述から、作用の向きや原因までは決まりません。

例えば気温という別の量が両方に関係する可能性があります。逆向きの関係や別の事情も考えられるので、この表だけではどれが原因か決められません。修正するなら「このデータでは飲み物の数と薄着の人の数に正の相関がある」と、観測した関係にとどめます。気温も原因だと断定するのでなく、追加で調べる候補にします。

図3のように、2つの量の間に見えた傾向と、別の量を調べる必要性を分けて書きます。相関係数が1に近くても、この論理は変わりません。自作の数の間に強い関係が見えても、その数だけから因果を証明したことにはならないのです。

計算の誤りにも同じように戻り先があります。例えば基本例題で偏差の積の合計3をそのまま共分散とすると、組の数で割る操作が抜けています。3 ÷ 4 = 3/4 と直してから標準偏差の積で割ります。計算結果だけを暗記せず、積の平均という定義を声に出せるか確かめましょう。

練習：組と結論を保つ

次の数は練習用に作ったものです。係数や共分散は正確な分数で答え、定義されない場合はその理由を書いてください。

1. 4個の箱の横幅 x cm と高さ y cm の組が (1, 4)、(2, 3)、(3, 2)、(4, 1) です。共分散と相関係数を求め、散布図の傾向を答えてください。
2. 3本の棒の長さ x cm と印の数 y 個の組が (2, 1)、(2, 3)、(2, 5) です。共分散と相関係数を求め、点の並びを述べてください。
3. 3枚の紙の横幅 x cm と縦幅 y cm の組が (1, 1)、(2, 3)、(3, 2) です。共分散と相関係数を求めてください。
4. 同じ日に数えた帽子の数と日傘の数に正の相関が見られました。「帽子が日傘を増やす原因である」と結論できるか、別に調べたい量を1つ挙げて説明してください。

練習の答えと道筋

1. 平均は x、y ともに 5/2 です。偏差の組は (-3/2, 3/2)、(-1/2, 1/2)、(1/2, -1/2)、(3/2, -3/2) です。積の合計は -9/4 − 1/4 − 1/4 − 9/4 = -5 なので、共分散は -5/4 です。どちらの分散も 5/4、標準偏差の積も 5/4 ですから、係数は -1 です。元の4組はすべて x + y = 5 を満たし、右下がりの直線上にあります。

2. x の平均は2、y の平均は3です。x の偏差はすべて0なので、偏差の積もすべて0、共分散は0です。x の分散と標準偏差も0のため、相関係数は定義されません。元の3組では横座標がどれも2なので、点は縦の直線上に並びます。共分散が0という事実から係数を0と書かないことが要点です。

3. 平均は両方とも2です。偏差の組は (-1, -1)、(0, 1)、(1, 0) なので、積の合計は1、共分散は 1/3 です。x と y の偏差の二乗の合計はともに2で、分散はそれぞれ 2/3 です。標準偏差の積は 2/3 ですから、係数は (1/3) ÷ (2/3) = 1/2 です。元の組をたどると、x が平均の2のとき y は3であり、偏差の積は0です。ここを1にしないようにします。

4. 結論できません。例えば日差しの強さが両方に関係する可能性があり、それを別に調べる候補にできます。ただし日差しが原因だとも、この情報だけでは断定できません。同じ日に対応する数が増える傾向を示したことと、片方を増やした結果を示したことは別です。

数値と図が食い違うとき

係数の符号が図の印象と合わないときは、まず座標を表の各行と照合します。横軸の数だけを小さい順に並べ、縦軸の数も別に小さい順に並べると、もともとの組が変わります。その表から計算しても元の対象の関係には戻れません。行に印を付け、1行ずつ点に移すと混同を見つけやすくなります。

次に、平均を引く向きが両方とも「値から平均」になっているかを調べます。片方の量だけ逆向きに引くと、偏差の積の符号が反対になります。分散では二乗によって符号が消えるため、標準偏差を見直すだけでは、この間違いを発見できません。各行の積の符号を平均線の上下左右と照合することが有効です。

また、係数が0に近くても、点が曲線に沿って並ぶ場合があります。その場合は直線的な傾向が弱いと述べ、関係が一切ないとは書きません。逆に、係数の絶対値が大きい場合も、図を見れば特定の点が値を大きく動かしている可能性に気づけます。数値は図を読む手がかりであり、点の配置そのものを置き換えるものではありません。

係数の計算結果が範囲の -1 から 1 を外れた場合は、丸める前に計算を戻します。共分散で割る組の数と、分散で割る組の数がそろっているかを確かめてください。さらに標準偏差を二乗した値が、求めた分散に一致するかを見ると、平方根の扱いも点検できます。

覚えておくこと

偏差は対象ごとに組にして積を取り、その平均を共分散とします。
相関係数を求める前に、両方の標準偏差が0でないか調べます。
散布図で点の形と離れた点を見て、相関から因果を断定しません。

計算が途中で止まるときは、元の表に戻り、各行の2つの値とそれぞれの平均を指さして偏差を作れるかを見ます。符号を間違える人には、平均線のどちら側かを図と照らす方法が役立ちます。個別指導で確かめる箇所は、積を組ごとに取るところ、分散0の分母を判定するところ、係数から書ける結論を言葉で区切るところです。数と図と言葉が同じ組を指しているかが、相関の読み取りを支えます。