高校数学I 四分位数と箱ひげ図—並べ替えと五数要約から散らばりの違いを比べる｜武蔵野個別指導塾

並べ替えた値から四分位数を求め、箱の長さと人数の関係を読み直す箱ひげ図。

よくあるのは、定期テストの復習で箱ひげ図の長い部分ほど人数が多いと考える場面です。横に長い図形を見ると、その区間に多くの値が集まっているように感じるかもしれません。しかし横の長さは値の広がりを表し、人数を直接表すものではありません。値を小さい順に並べ、その位置を確かめてから図と結びつけましょう。ここでは自作の数を使い、四分位数から分布を比べる手順を扱います。

問題で求められる読み取り

一つ目の型は、元のデータを並べ替えて中央値と四分位数を計算する問題です。個数が奇数か偶数かで中央の取り方が変わります。さらに上下に分けた後も、それぞれの群の個数を数えて中央値を決めます。最初から値を4等分しようとせず、中央を求める操作を繰り返すと順序が保てます。

二つ目は、五数要約から箱ひげ図を描いたり、図から範囲や四分位範囲を求めたりする問題です。最小値、3つの四分位数、最大値を同じ目盛りに置きます。箱の端とひげの端を取り違えないことが出発点です。

三つ目は、2組の図を比べて、中央値や散らばりについて言えることを選ぶ問題です。図が示すのは限られた要約なので、個々の値や平均まで決めることはできません。外れ値の判定を指定されたときは、四分位範囲から境界を計算し、元の値と照合します。図の見た目だけで判断しないことが大切です。

五つの位置を決める

データを小さい順に並べたとき、中央を表す値が中央値です。個数が奇数なら中央の1個、偶数なら中央の2個の平均を使います。第2四分位数は中央値と同じです。ここでは、個数が奇数の場合は中央の値を除いて残りを上下の群に分け、個数が偶数の場合はそのまま同数ずつ分けます。下の群の中央値を第1四分位数、上の群の中央値を第3四分位数とします。群の中央値を求める際も、群の個数に応じて中央の1個または2個の平均を取ります。

図1のように、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を順に置いたものが五数要約です。第1四分位数から第3四分位数までを箱、箱の中の中央値を線で示します。この原稿の箱ひげ図では最小値と最大値までひげを伸ばします。四分位範囲は第3四分位数から第1四分位数を引いた値、範囲は最大値から最小値を引いた値です。

図1のように、箱の左右の長さが異なっても、長い側に人数が多いと決まるわけではありません。例えば奇数個では中央の値を上下群から除くため、箱の各部分の端にある値の扱いも含めて元データの位置を確認します。同じ値が複数ある場合は境界に値が重なり、区間に何個含めるかは端点の含め方で変わります。箱の長さは値の幅であり、人数そのものではありません。

外れ値の判定が指示された場合は、四分位範囲を I として、第1四分位数 − 1.5I より小さい値、または第3四分位数 + 1.5I より大きい値を外れ値とします。境界に等しい値は、この決め方では外れ値に含めません。外れ値を別の点で示し、ひげを外れ値でない端の値まで引く方式もあります。図を描く際は、問題で指定された方式を先に確認します。

基本例題：9個の値を箱に移す

ある工作で切った9本の紙の長さを、センチメートル単位で記録すると、順不同で 8、3、10、5、6、12、4、9、7 でした。中央値を除いて上下群を作る方法で、五数要約、範囲、四分位範囲を求め、最小値と最大値までひげを引く箱ひげ図を描いてください。値は整数または正確な小数で答えます。

まず値を小さい順に並べます。

3、4、5、6、7、8、9、10、12

9個なので、中央は前から5番目の 7 です。第2四分位数は 7 です。中央の7を除くと、下の群は 3、4、5、6、上の群は 8、9、10、12 です。各群は4個なので、それぞれ中央の2個の平均を取ります。

第1四分位数 = (4 + 5) / 2 = 4.5

第3四分位数 = (9 + 10) / 2 = 9.5

したがって五数要約は小さい順に 3、4.5、7、9.5、12 です。両端は並べ替えた列の最初と最後から読みます。範囲は 12 − 3 = 9 cm、四分位範囲は 9.5 − 4.5 = 5 cm です。引く順序を逆にすると幅が負になるので、右端から左端を引くと覚えます。

図2のように、目盛りに5つの値を置き、4.5から9.5まで箱を描きます。箱の内部の7に線を引き、左は3まで、右は12までひげを伸ばします。4.5や9.5は実際の紙の長さではありませんが、中央の2値の平均として得られた位置なので箱の端に使えます。

図2のように箱の右半分は左半分と同じ長さですが、これは値の幅が同じという意味です。元の列に戻ると中央の7より下にも上にも4本ずつあります。9個を使い直しても、5番目は7、上下群の中央2値はそれぞれ4と5、9と10です。これで図に置いた値が問題の記録に対応していると確かめられます。

少し難しい例題：外れ値の境界とひげ

ある紙片の重さについて、8個の値が小さい順に 1、2、3、4、6、7、8、18 g とあります。中央値を除く流儀で四分位数を求め、前節の基準で外れ値を判定してください。外れ値を点で示し、ひげは外れ値でない最小値と最大値まで伸ばすものとします。答えは正確な小数と整数で示します。

8個なので中央値は4番目と5番目の平均で、(4 + 6) / 2 = 5 g です。下の群は 1、2、3、4、上の群は 6、7、8、18 です。中央の2値を平均して、第1四分位数は (2 + 3) / 2 = 2.5 g、第3四分位数は (7 + 8) / 2 = 7.5 g です。四分位範囲は 7.5 − 2.5 = 5 g となります。

境界は下が 2.5 − 1.5 × 5 = -5 g、上が 7.5 + 1.5 × 5 = 15 g です。18は15より大きいため外れ値です。ほかの7個は -5 以上15以下なので、この基準では外れ値ではありません。箱は2.5から7.5、内部の線は5、ひげの端は1と8で、18を別の点にします。外れ値を含む元データの範囲は 18 − 1 = 17 g です。ひげの端の差 8 − 1 = 7 g を、元データの範囲と混同しないでください。

境界と等しい値なら外れ値にしない点が分かれ目です。また、この例で外れ値を判定する前の四分位数は18を含む8個から求めています。先に18を除いて四分位数を計算し直すと、指定された判定とは異なる手順になります。元の8値に戻して、上下4個の中央がそれぞれ2と3、7と8であること、18だけが境界の外であることを確かめます。

長い箱の側を人数と取り違えたら

基本例題の9本について、箱の左半分が2.5 cm、右半分も2.5 cmだから両側に同じ人数がいる、と説明する答案を考えます。この例では中央より上下に4本ずつありますが、その理由を長さに求めたところが誤りです。長さが等しいことから人数が等しいと結論することはできません。

図3のように、たとえば 1、2、3、4、5、6、10、14、18 の9個なら、中央値5を除いた上下群はそれぞれ4個です。第1四分位数は2.5、第3四分位数は12です。箱の左半分は 5 − 2.5 = 2.5、右半分は 12 − 5 = 7 ですが、中央値より小さい値と大きい値は各4個です。

図3のように、右側の幅が広いことは、四分位数と中央値の間の値がより広い範囲に散らばることを示します。人数は元の列の位置を数えて確かめます。誤答を直すには、まず左右の幅に単位を付け、次に中央を除いた上下の個数を書きます。同じ値が中央値に重なると「中央値より小さい個数」と「上の群の個数」も一致するとは限らないので、等号を含むかどうかにも注意します。

練習：位置と幅を自分で確かめる

次の3問はそれぞれ別の自作データです。奇数個では中央値を除いて上下群を作り、偶数個では同数ずつ分けます。各群の中央値を四分位数とし、答えは整数または正確な小数で示してください。

1. 7個の木片の長さは 11、4、8、6、13、5、9 cm です。五数要約、範囲、四分位範囲を求めてください。
2. 6個の小箱の重さは 2、3、5、8、9、15 g です。五数要約を求め、最小値と最大値までひげを伸ばす場合の箱とひげの端を答えてください。
3. 8枚のカードに書いた数は 0、2、4、6、8、10、12、30 です。前節の基準で外れ値を判定し、外れ値を別の点で示す場合のひげの端を答えてください。

練習の答えと道筋

1. 並べ替えると 4、5、6、8、9、11、13 です。中央の8を除き、下の群 4、5、6 の中央は5、上の群 9、11、13 の中央は11です。五数要約は 4、5、8、11、13 cm、範囲は 13 − 4 = 9 cm、四分位範囲は 11 − 5 = 6 cm です。元の木片に戻すと最小と最大が4と13で、中央値8の前後に3本ずつ並びます。四分位数の位置もそれぞれ上下の3本の中央です。

2. 中央の2値は5と8なので中央値は (5 + 8) / 2 = 6.5 g です。下の3値 2、3、5 の中央値は3、上の3値 8、9、15 の中央値は9です。五数要約は 2、3、6.5、9、15 g です。箱の端は3と9、ひげの端は2と15です。記録に戻して6個を数えると、中央の左右が5と8、上下3個の中央が3と9であり、両端も2と15です。中央値6.5は記録にない値ですが、2値の平均として正しい値です。

3. 中央値は (6 + 8) / 2 = 7、下の群の中央値は (2 + 4) / 2 = 3、上の群の中央値は (10 + 12) / 2 = 11 です。四分位範囲は 11 − 3 = 8 です。境界は 3 − 1.5 × 8 = -9 と 11 + 1.5 × 8 = 23 です。30は23より大きく、残りの値は -9 以上23以下なので、外れ値は30です。ひげの端は0と12、点は30に置きます。元のカードを見直すと、境界を越えるのは30で、除いた残りの両端は0と12です。

図から決まることと決まらないこと

五数要約が同じでも、元の値の並びは一通りとは限りません。例えば7個の値が 1、2、3、4、5、6、7 の列と、1、2、3.5、4、5、6、7 の列を比べます。中央の4を除くと、下の3個の中央はどちらも2、上の3個の中央はどちらも6です。最小値と最大値も同じなので、五数要約はどちらも 1、2、4、6、7 です。それでも3番目の値は異なります。箱ひげ図の5か所の印を読めても、印の間にある個々の値を確定できないことが、この2列から確かめられます。

平均についても同じ注意が必要です。前の列の合計は28、後の列の合計は28.5なので、7個で割った平均はそれぞれ4と 57 / 14 です。箱ひげ図が同じでも平均は一致しません。箱の中央線は中央値を表し、平均値を表す線ではありません。問題に平均が与えられていなければ、図の中央線を使って平均を推測するのは避けます。

2組を比べるときは、まず横軸の単位と目盛りがそろっているか確かめます。そのうえで中央値の位置を比べ、次に四分位範囲を数値の差として求めます。片方の箱が広ければ、その中央付近の半分に対応する値の広がりが大きいと読めます。一方、最大値と最小値の差はひげの方式によって図から直接読めない場合があります。外れ値を点で示す図なら点も含めて元の最大値と最小値を探します。軸が途中から始まる図でも、紙の上の長さの印象ではなく目盛りの値を引き算してください。

手元に残す要点

• 並べ替えて中央値を求め、奇数個ではその値を除いて上下群を作ります。
• 第1、第3四分位数はそれぞれの群の中央値です。
• 箱の幅は四分位範囲、最大値と最小値の差は範囲です。
• 箱の長さは人数そのものを示さず、外れ値とひげの方式は問題の条件で確認します。

説明が止まる場所を探す

並べた列に番号を振ってもらい、「中央を除いた後の下の群はどこからどこまでか」と尋ねると、最初の分け方の誤りを見つけやすくなります。上下群の範囲は合っているのに四分位数がずれる場合は、群の個数が偶数のときに中央の2値を平均したかを確かめます。個別指導では、答えの数字だけでなく、どの位置を選んだかを列に印を付けて説明してもらいます。

図の比較で止まる場合は、箱の端とひげの端が何を表すかを言葉に戻し、同じ目盛りの差を計算します。平均や個々の値は五数要約だけでは復元できないため、図から読めることと元のデータが必要なことを分けます。位置と幅を結び直すと、箱ひげ図の比較に根拠が生まれます。