中学受験算数 展開図—折り目を順にたどって重なる辺と頂点をそろえる｜武蔵野個別指導塾

紙の配置から立方体の向かい合う面や重なる辺を順に追い、誤りを直す鍵は展開図にある。

よくあるのは、紙の上で左右に離れた面を見て、そのまま向かい合う面だと決める小5の場面です。紙を折ると面の向きは変わります。平らな配置の遠さではなく、折り目をたどった先で各面が箱のどこに来るかを考えます。

展開図は、立体の面を辺に沿って切り開き、平らに広げた図です。ここでは立方体を中心に、向かい合う面、重なる辺、同じ頂点に集まる点を調べます。直方体でも同じ順序で考えますが、辺の長さが合うことにも注意します。

どんな手掛かりを求めるか

出題の一つは、面に書いた印を使って、ある面の反対側に来る面を選ぶ型です。底にする面を決め、周りを立て、最後にふたを閉じる順に追います。紙の上で隣り合う面は折り目を共有するので、折った後も隣り合い、反対にはなりません。

別の型では、切り離された辺や頂点に名前を付け、折ったときに重なる相手を尋ねます。辺の両端がそれぞれ同じ頂点に来るかを調べると、向きも確かめられます。紙の上で近い辺を見た目だけで結ぶと、別の角を集めてしまうことがあります。

さらに、6枚の正方形が立方体の展開図になるかを判断する型もあります。枚数が6枚でも、折った面が同じ場所に重なれば箱は閉じません。各面の行き先を記録し、底、上、前、後ろ、左、右の6方向がそれぞれ埋まるかを調べます。面の向きが不明なときは、いきなり答えを選ばず、一面ずつ折った後の位置に戻って考えましょう。

折り目から面の行き先を決める

図1は中央の面を底にした展開図です。中央の上下左右にある4面は、それぞれ底の辺を折り目として立ち上がります。残った面は、立てた面からさらに折って底と向かい合うふたになります。色は面を見分けるためのもので、紙の表裏を示すものではありません。

図1では、底の上にある面からさらに上へつながる面がふたです。底の左右の面も、底の前後の面も、折るとそれぞれ向かい合います。4つの側面が底を囲み、ふたがその反対側を閉じる様子を想像します。紙の上で底の2つ上にあるからふただと覚えるのではなく、側面から底と平行になるよう折ることが理由です。

面の行き先を記録するときは、底にした面を固定します。次に直接つながる面を立て、まだ決まらない面は、決まった面から折り目を一つ越えて調べます。面を頭の中で回すのが難しければ、同じ形を紙に描き、線に沿って切って折ってみましょう。実物で確かめた後、紙を開いて各面に底や左などの名前を残すと、図と立体の対応が見えます。

辺には、折り目として最初からつながるものと、切られて離れているものがあります。後者も箱を閉じると重なります。頂点については、紙の上で離れた複数の点が箱の一つの角に集まります。ただし紙に一つの点として描かれた角は、そこに接する面どうしがすでにつながっている点です。同じ角に集まる点を数えるときは、紙の上の点を重複して数えないようにします。

基本例題：底からふたへ

図2の6枚の正方形を折って立方体を作ります。中央のAを底にしたとき、A、B、Cのそれぞれと向かい合う面を、面の記号で答えましょう。正方形の辺どうしは図の線でつながり、切り込みや重なりはありません。

図2のAを机に置く底と考えます。図の上を奥、下を手前として、次の順に折ります。方向の名前は紙を見るための仮の呼び方で、立体を持ち替えても向かい合う組は変わりません。

1行目：Aの上のBを、Aとの境で立てます。Bは奥の側面です。

2行目：Aの下のCを立てます。Cは手前の側面で、Bと向かい合います。

3行目：Aの左のDと右のEを立てます。DとEは左右の側面となり、向かい合います。

4行目：Bの上につながるFを、Bとの境で内側へ折ります。FはAの上に来るふたです。

5行目：したがってAの相手はF、Bの相手はC、Cの相手はBです。面の組として整理すると、AとF、BとC、DとEの3組です。

表を逆から見ても相手が元の面に戻るので、組の書き間違いを点検できます。また、Aと辺を共有するB、C、D、EはAの側面です。Aの反対側として残るFが実際にふたの位置に来るかまで確認します。残りを消去するだけでは、6面が重ならずに箱を作れるかは確かめられません。

もう一歩：離れた辺の両端を追う

基本例題と別の配置を考えます。正方形A、B、C、Dが左からこの順に辺を共有して横一列に並び、Bの真上にE、Bの真下にFがついています。折り目以外の辺は切り離されています。この紙を立方体に折るとき、Aの上の辺と重なる辺を、面とその元の位置で答えましょう。また、Aの左上の頂点に重なる紙上の頂点を、Aの点自身を除いて答えましょう。

Bを底とすると、Aは左、Cは右、Eは奥、Fは手前の側面です。DはCの外側についているため、Cを立てた後に折るとふたになります。側面が4方向を占め、Dが底の反対を閉じるので、この配置は立方体になります。

Aの上の辺は、左側面と奥側面が出会う辺です。奥側面はEなので、相手はEの左の辺です。上という紙の方向だけで辺を探すと、Eの上の辺を選びたくなりますが、Eの上の辺はふたに接します。側面の名前を決めてから、その2面が出会う辺を探すのが分かれ目です。

次にAの左上の頂点を追います。そこは左側面A、奥側面E、ふたDが集まる角です。Eでは左上の頂点がそこへ来ます。Dでは右上の頂点がそこへ来ます。答えはEの左上の頂点とDの右上の頂点です。辺の答えについても、Aの上の辺の右端は紙の上でEの左下の頂点と同じ点、左端はEの左上の頂点と重なると確かめられます。

直方体の場合も、同じ3面が集まる角を探す手順は使えます。ただし長方形の向きによって辺の長さが変わるため、重なる辺の長さが等しいかも確認します。形が長方形6枚であることだけから、正しい展開図だとは決められません。

間違えた答えをほどく

図3では、Aの左右にあるDとEを、紙の上で左右に離れているという理由でAの反対側だとした答えを考えます。これは誤りです。DもEもAと辺を共有しており、その辺を折り目に立つ側面です。Aとはそれぞれ隣り合います。

図3のように、Aを底と決めてからD、Eを立て直します。DとEは互いに向かい合い、Aと向かい合うのはBから折ってふたになるFです。反対側は各面につき一面ですから、Aに2つの候補を挙げた時点でも見直せます。ただし候補が一面であっても正しいとは限らず、実際の折り方で位置を確かめます。

もう一つの誤りは、折り目でつながる2面が、折った後には離れると考えることです。紙を切る操作がなければ、共通の辺は折った後も共通です。まずつながる辺に印を付け、次に切り離された辺のうちどれが重なるかを調べます。辺の対応と面の向かい合いを同時に決めようとして迷ったら、先に面の位置を表にすると整理できます。

紙を作ったのに箱にならないときは、無理に押し込まず、どの面が同じ方向に来たかを調べます。欠けた方向と重複した方向を記録すれば、面が6枚あることと、6方向を埋められることの違いが見えます。図の切り方が指定されていないときは、勝手に切り込みを加えず、示された辺のつながりに従います。

判断に迷ったときの記録

展開図の問題では、最初にどの面を底とするかを選べます。ただし途中で底を変えると、それまでに付けた左や奥の名前との対応が崩れます。解き始めに底を丸で囲み、その面を固定したまま最後まで追います。別の面を底にして確かめ直すときは、新しい表に書き直しましょう。立方体を回転させても、向かい合う組や重なる辺の組は変わりません。

ふたに来る面を見つけた後も、側面どうしの辺が正しく出会うかを確認します。底を囲む側面の順番は、底の周りの折り目の順番で決まります。2面が同じ方向を占めれば、その位置に同時に立てることはできません。一方、紙の上で面どうしが辺を共有していないからといって、折った後に離れているとは限りません。閉じた箱では切り離された辺も隣の面の辺に合わさります。

頂点をたどるときは、その角に集まる3面の名前を先に書いてみましょう。次に、それぞれの面のどの角がその集まりに入るかを調べます。紙上の同じ点に複数の面が接していれば、それを別々の点と数えません。面の名前と紙上の点を区別すると、折り目の端と切り離された角を混同しにくくなります。折った後の箱を回しても、辺と頂点の対応はそのまま残ります。正方形の向きが途中で変わることにも注意し、各面に付いた上や左は紙を開いたときの呼び名として使います。

紙の配置を読んで試す

次の問題は、同じ大きさの正方形を辺どうしでつなぎ、指定した境以外に切り込みを入れずに折るものです。面の位置は平らな紙を見たときの方向です。答えは記号または指定された位置で示します。

問題1

P、Q、R、Sが左から順に横一列に並び、Qの上にT、Qの下にUがあります。立方体に折ったとき、Pと向かい合う面を記号で答えましょう。

問題2

G、H、J、Kが上から順に縦一列に並び、Hの左にL、Hの右にMがあります。Hを底にして折るとき、Kと向かい合う面、およびLと向かい合う面をそれぞれ記号で答えましょう。

問題3

N、O、Pが左から順に横一列に並び、Oの上にQ、Qの上にR、Oの下にSがあります。立方体に折ったとき、Nの上の辺と重なる辺を、面と紙の上での位置で答えましょう。

問題4

V、W、X、Yが左から順に横一列に並び、Wの上にZ、Xの上にTがあります。この6枚を指定どおり折ると立方体になりますか。「なる」か「ならない」で答え、面の行き先を理由にしましょう。

解答と折る順序

問題1：答えはRです。Qを底にすると、Pは左、Rは右の側面です。左右の側面は底を挟んで向かい合います。SはRから折ってふたになり、TとUは残る2つの側面です。6方向が埋まることも確認できます。

問題2：Kと向かい合う面はH、Lと向かい合う面はMです。Hを底にしてGとJを立てると、KはJから折ってふたになります。LとMは底の両側から立つ側面です。縦一列の両端が向かい合うと決めるのではなく、底から2回目の折り目をたどることが必要です。

問題3：答えはQの左の辺です。Oを底にすると、Nは左側面、Qは奥側面です。左側面の上の辺は奥側面の左の辺と重なります。RはQから折ったふたで、Sは手前の側面、Pは右側面です。辺の両端についても、Nの右上はQの左下と紙の上で同じ点、Nの左上はQの左上と折って重なる点です。

問題4：答えは「ならない」です。Wを底にすると、VとXは左右の側面、YはXから折ったふたです。ZはWから立つ奥の側面です。一方、TもXから折ると同じ奥の位置をふさごうとします。ZとTが重なり、手前の側面が欠けるため、指定されたつながりのままでは箱を閉じられません。6枚という数だけでは判断できない例です。

折る前に残す印

底を決め、折り目を越える順に面の位置を記録します。 辺を共有する2面は、折った後も隣り合います。 離れた辺は、両端が同じ角に来るかを確かめます。 6面の行き先が重ならず、6方向を埋めるかを調べます。

家で見守るとき

お子さまが左右の見た目で答えたら、すぐに正解を伝える前に「底にする面と、そこから立つ面はどれ」と尋ねてみてください。折り目を指でたどれれば、面の位置を言葉にしてもらいます。そこで迷う場合は紙を用意し、1面ずつ折っては開き、図に位置を書き戻します。

次は紙を閉じる前に相手を予想し、実際に折った結果と比べます。答えが合っていても、共有する辺を持つ面を反対と呼んでいないか、理由を一緒に確かめます。紙の上の方向から立体の位置へ、折り目を一つずつ渡っていきます。