中学受験算数 表面積—外から見える面だけを拾い接合面を正しく除く｜武蔵野個別指導塾

直方体や円柱を貼り合わせたとき、隠れた2面を除いて数える手順を、接合部分から数え直す表面積です。

よくあるのは、直方体を貼り合わせたとき、貼り合わせた面まで外側の面に数えてしまう小6の場面です。別々の立体の表面積を足すと、互いにくっついて外から触れなくなった面が残ります。どこが隠れたかを先に決めれば、その分を引いて外側の広さを求められます。

ここで扱う立体には穴がありません。置いた机と接する底面も、立体自体の外側の面なので数えます。見取図で手前から見えない裏や底も、別の立体との接合面でなければ数えます。見えるかどうかは紙の上の視点ではなく、立体の外側に出ているかどうかで判断します。

どの面を数える問題なのか

1つ目の型は、直方体そのものの表面積を求める問題です。縦、横、高さから3種類の長方形の面積を出し、それぞれ向かい合う2面を数えます。立方体なら6面が同じ正方形です。まず単位が長さのcmではなく、面積のcm²になることに注意します。

2つ目は、直方体同士を面で貼る問題です。別々の表面積を足す方法が使えますが、接する部分は2つの立体にそれぞれ1面ずつあります。そこは外側から触れないので、同じ広さを2回引きます。面の一部だけを貼った場合も、隠れるのは重なった部分です。

3つ目は、直方体の上に円柱を貼る問題です。円柱の側面は曲がっていますが、切って広げると長方形です。直方体の上面の円形の部分と、円柱の底面の円が接します。上の円は外側に残るので、下の円と取り違えないようにします。円周率は各問題に書かれた値を使います。

面の場所を決めてから計算する

表面積は、立体の外側をおおう面の面積の合計です。紙の箱に隙間なく紙を貼ることを想像すると、裏側や底側にも紙が必要だと考えられます。ただし、2つの箱を先に貼り合わせたとき、箱同士の間には紙を貼りません。その間にある2枚分が接合面です。

図1は、同じ広さの面を持つ2つの箱を分けて示しています。色を付けた面を互いに合わせると、両方とも内部に入ります。1面の面積を求めたら、別々に計算した表面積の合計からその2倍を引きます。線で接するだけなら接する面積は0で、面を重ねる場合とは区別します。

面の大きさが違うときは、接している部分を囲んでから数えましょう。大きな面全体を引くと、接していない外側の部分まで失います。小さい面の全体が大きい面に接するなら、その小さい面と同じ形、同じ広さの部分が大きい面から隠れます。2つの立体について隠れる面積は同じです。

直方体の面を縦4cm、横6cm、高さ3cmというように区別したら、縦と横の面、縦と高さの面、横と高さの面をそれぞれ2枚ずつ数えます。辺の長さをすべて足しても面積にはならないので、面ごとに2方向の長さを掛けてください。重なりを除く前に、一度それぞれの立体が閉じた形であることを確かめます。

円柱では、上下の円が2枚あり、その間を側面がおおいます。側面を切り開いた長方形の横は底面の円周、縦は円柱の高さです。直径と高さを掛けただけでは円周分にならず、側面の広さを求められません。底面の円の面積も、側面とは別に数えます。

接合面の形は、貼る前の2つの面の重なりで決まります。たとえば小さな長方形が大きな長方形の内側にぴったり収まるなら、接する部分は小さな長方形です。大きな面に見えている周囲の部分は、細い帯のような形になっても外側として残ります。接合部分が面の端に寄っていても、接している面積が同じなら引く量は変わりません。

計算の途中では、単独の表面積、1面の接合部分、引く2面分を別々に書いておくと、どこで間違えたか戻れます。答えが単独の表面積の合計より大きくなった場合は、接合部分を足していないか調べましょう。逆に、接していない部分まで引いていないかは、残る面を直接数える方法で確かめられます。

基本例題：同じ面を合わせた2つの箱

縦6cm、横4cm、高さ3cmの直方体と、縦6cm、横4cm、高さ2cmの直方体があります。6cmと4cmの辺を持つ面同士をぴったり貼り合わせます。できた立体の表面積を、整数でcm²を単位として求めましょう。

図2では、上下の箱の接する面が縦6cm、横4cmです。絵は立体を斜めから見た見取図であり、斜めの線の角度や紙上の長さを測って計算するものではありません。書かれた寸法から面の広さを求めます。

まず高さ3cmの箱を調べます。6cmと4cmの面は上下の2面、6cmと3cmの面は向かい合う2面、4cmと3cmの面も向かい合う2面です。

高さ3cmの箱の表面積は、48 + 36 + 24 = 108cm²です。次に高さ2cmの箱も同じように、3組の面を求めます。

6 × 4 × 2 = 48cm²。上下の面の合計です。

6 × 2 × 2 = 24cm²。6cmと2cmの面の合計です。

4 × 2 × 2 = 16cm²。4cmと2cmの面の合計です。

48 + 24 + 16 = 88cm²。高さ2cmの箱の表面積です。

別々の表面積を足すと、108 + 88 = 196cm²です。この中には、貼った面が両方の箱について1面ずつ入っています。接合部分の1面は6 × 4 = 24cm²ですから、24 × 2 = 48cm²を引きます。

196 − 48 = 148cm²。答えは148cm²です。片方の24cm²だけを引くと、もう片方の隠れた面が残ってしまいます。

別の確かめ方もあります。貼り合わせると縦6cm、横4cm、高さ5cmの直方体になるため、向かい合う面を数え直せます。6 × 4 × 2 + 6 × 5 × 2 + 4 × 5 × 2 = 48 + 60 + 40 = 148cm²となり、同じ値です。この方法は貼り合わせた結果が直方体になるときに使えます。段差がある形を無理に大きな直方体とみなすことはできません。

円柱を載せたときの判断

縦8cm、横6cm、高さ2cmの直方体の上面に、底面の半径が2cm、高さが3cmの円柱を立てて貼ります。円は直方体の上面からはみ出さず、底面全体が接しています。円周率を3.14とし、できた立体の表面積を小数でcm²を単位として求めましょう。

直方体の表面積は、次の3組を足して求めます。

8 × 6 × 2 = 96cm²。上下2面です。

8 × 2 × 2 = 32cm²。縦と高さの2面です。

6 × 2 × 2 = 24cm²。横と高さの2面です。

96 + 32 + 24 = 152cm²。直方体を単独で数えた広さです。

円柱の底面の円は、2 × 2 × 3.14 = 12.56cm²です。円周は、2 × 2 × 3.14 = 12.56cmです。数値が同じになりましたが、円の面積と円周は単位も意味も違います。前者は2cmを2回掛けて面を求め、後者は直径4cmに円周率を掛けています。

円柱の側面は、12.56 × 3 = 37.68cm²です。円2枚と側面を合わせると、12.56 × 2 + 37.68 = 62.8cm²になります。単独の立体として数えた合計は、152 + 62.8 = 214.8cm²です。

直方体の上面の円形部分と円柱の下の円が隠れます。両方合わせて12.56 × 2 = 25.12cm²を引きます。214.8 − 25.12 = 189.68cm²なので、答えは189.68cm²です。

ここでは、上面の長方形全体を引きません。円の外側に残る部分は外に出ています。また、円柱の上の円も残ります。円柱を上下逆にしても上と下の形は同じですが、貼り合わせた後は位置が異なります。どの面が接しているかを指で示してから式に進むと、同じ面を余分に消さずに済みます。

もう一通り、残る面を直接集めて確かめます。直方体の表面から上面の円形部分を引いた広さは152 − 12.56 = 139.44cm²です。これに円柱の側面37.68cm²と上の円12.56cm²を足すと、139.44 + 37.68 + 12.56 = 189.68cm²です。円の面積を引いてから同じ大きさの円を足すため、結果は直方体の表面積と円柱の側面積の和にもなります。ただし、これは底面全体が平らな面に接するこの条件での見方です。

誤りを見つけて直す

基本例題で、2つの箱の表面積108cm²と88cm²を足し、196cm²と答えるのは誤りです。別々の箱なら合っていますが、貼った後も接合面の両方を外側として数えています。図3の色の付いた2面が、合計の中に残っているところを確かめましょう。

図3の2つの色面はそれぞれ24cm²です。196 − 24 = 172cm²と片方だけ引くのも誤りです。もう1面がまだ内部に残ります。196 − 24 − 24 = 148cm²と直し、2面とも除いたことを式で確認します。

別の間違いは、紙の手前に描かれていない面をすべて除くことです。後ろや底にも外側の面はあります。箱を持ち上げて回すつもりで、接合していない面を拾い直します。机に接するから底面が消える、と判断すると立体の表面積が変わってしまいます。

部分的な接合では、面全体を消す誤りにも注意します。例えば大きな面の上に小さな面が付いているなら、大きな面のうち小さな面に隠れた分だけを引きます。隠れた形と広さを2つの立体にそれぞれ書き込み、引く面積が一致するか調べると、面全体を引いていないか見直せます。

自分で面を拾う練習

次の問題では、特に指定がない限り貼り合わせた立体に穴はなく、接合面以外の面は外側にあります。答えは指定された形で、cm²を単位として書きましょう。

1. 縦7cm、横5cm、高さ2cmの直方体の表面積を整数で求めます。
2. 一辺3cmの立方体2個を、1つの面同士がぴったり重なるように貼ります。表面積を整数で求めます。
3. 縦10cm、横8cm、高さ2cmの直方体の上に、一辺4cmの立方体を、その底面全体が接するように貼ります。表面積を整数で求めます。
4. 半径3cm、高さ4cmの円柱の表面積を小数で求めます。円周率は3.14とします。

練習の答えと道筋

1. 向かい合う面を3組に分けます。7 × 5 × 2 = 70、7 × 2 × 2 = 28、5 × 2 × 2 = 20です。70 + 28 + 20 = 118なので、答えは118cm²です。底面も1面として含めています。

2. 立方体1個の表面積は3 × 3 × 6 = 54cm²です。2個で108cm²ですが、接合面は3 × 3 = 9cm²が2面あります。108 − 9 × 2 = 90なので、答えは90cm²です。できた形は3cm、3cm、6cmの直方体なので、3 × 3 × 2 + 3 × 6 × 4 = 90cm²でも確かめられます。

3. 直方体は10 × 8 × 2 + 10 × 2 × 2 + 8 × 2 × 2 = 232cm²です。立方体は4 × 4 × 6 = 96cm²です。接した面は4 × 4 = 16cm²が両側にあるので、232 + 96 − 16 × 2 = 296cm²です。答えは296cm²です。上面のうち立方体の外側に残る部分は引きません。

4. 円1枚は3 × 3 × 3.14 = 28.26cm²です。円周は3 × 2 × 3.14 = 18.84cm、側面は18.84 × 4 = 75.36cm²です。上下の円と側面で28.26 × 2 + 75.36 = 131.88cm²です。答えは131.88cm²です。直径6cmが側面の長方形の横ではなく、その円周が横になる点に気を付けます。

面を数えるときの要点

• 表面積には、裏や底の外側の面も含めます。
• 別々の表面積を足したら、接する部分を2面分引きます。
• 部分的に貼るときは、重なった広さだけを各面から除きます。
• 円柱の側面は、底面の円周と高さの積です。
• 答えの単位は面積の単位でそろえます。

家で確かめるときは

お子さまが答えを出したら、最初に「どの面が外に残るかな」と尋ね、指や紙片で示してもらいます。裏面を落としているなら箱を回す動きを、接合面を残しているなら2つの箱を離す動きを試します。計算の誤りと面の選び方の誤りを分けて見られます。

すぐに引く面積を教える代わりに、「離した2つの面はそれぞれどこへ行くかな」と問い返します。本人が2面とも内部に入ると説明できたら、最後に面積を計算し、単位と答えを照らします。接する場所を指で追うことが、表面積の数え違いを見直す手掛かりです。