中学受験算数 角柱と円柱—底面を選び同じ断面の積み重ねで体積を出す｜武蔵野個別指導塾

横向きの円柱では底面どうしの距離を高さに選び、三角柱では三角形の高さと柱の高さを分けて体積を計算します。

よくあるのは、横に倒した円柱を見て、円の直径をそのまま高さにする小6の場面です。机からの高さは円の直径ですが、体積を求めるときの柱の高さは、2つの円の底面の間の距離です。立体をどちら向きに置いても、円の面どうしの距離は変わりません。

角柱と円柱では、まず同じ形の2つの底面を見つけます。次に、その底面の面積と、底面に垂直な方向の距離を組にします。この順番を守ると、見た目の上下に引っぱられずに式を立てられます。

問題では何を選ぶか

1つ目の型は、底面の形と寸法、高さが示され、体積を求める問題です。円柱なら円の面積、三角柱なら三角形の面積を先に出します。どちらも最後は底面積に柱の高さを掛けますが、底面積を作る式は同じではありません。

2つ目の型は、立体が横向きに描かれ、どの長さを高さとして使うかを選ぶ問題です。円の直径も柱の長さも図に書かれていると、どちらも「高さ」に見えることがあります。円の直径は底面の面積を求めるために使い、円の面と円の面を結ぶ距離は柱の高さとして使います。

3つ目の型は、体積と底面の寸法から柱の高さを逆に求める問題です。掛け算で底面積を何回分積んだかを考え、体積を底面積で割ります。底面積を求めずに直径で割ると、面積と長さが混ざってしまいます。

どの型でも、はじめに底面と高さに印を付けます。式に入れる前に、それぞれが何を表す数なのか言葉で説明できると、答えが変わったときにも原因を探せます。

底面と高さは対にして見る

角柱（かくちゅう）は、同じ形の多角形を平行に向かい合わせ、その対応する辺を結んだ立体です。円柱（えんちゅう）は、同じ大きさの円を平行に向かい合わせた立体です。ここでは側面が底面に垂直な柱を考えます。向かい合う同じ形の面を底面と呼び、その間の垂直な距離を柱の高さと呼びます。

図1では、色を付けた円と三角形がそれぞれの底面です。もう一方の底面は奥にあり、同じ形と大きさです。円の中を横切る長さは直径で、2つの円の間を結ぶ長さが柱の高さです。三角形の中の高さと、2つの三角形の間の柱の高さも役割が違います。図は立体を平面に表した見取図なので、描かれた角度を測って垂直かどうかを決めません。

立体を平面で切ったときに現れる切り口の形を断面（だんめん）といいます。ここでは底面と平行に切った断面に注目します。柱では、底面に平行な断面はどの位置でも底面と同じ形、同じ大きさです。薄い同じ形の板を高さの方向にすき間なく積む様子を考えると、底面積が大きいほど1段分が大きく、高さが大きいほど積む量が増えます。そこで体積は次のように表せます。

底面積 × 柱の高さ = 体積

底面積が平方センチメートル、柱の高さがセンチメートルなら、体積の単位は立方センチメートルです。三角柱では底面の三角形について、底辺とそれに垂直な高さを選び、底辺 × 三角形の高さ ÷ 2 で底面積を出します。その後に掛ける柱の高さは、三角形の中の高さとは別の距離です。

円柱の底面積は、半径 × 半径 × 円周率です。直径が与えられたときは、まず2で割って半径に直します。円周率は問題で指定された値を使います。円の面積を求めた後は、三角柱と同じように底面積と柱の高さを組にします。

基本例題：横向きの円柱

円柱が横に置かれています。円の底面の直径は6 cm、2つの底面の間の距離は10 cmです。円周率を3.14として、体積を小数で立方センチメートルまで正確に求めましょう。

図2の円の面を底面として選ぶと、10 cmがその面に垂直な柱の高さです。直径6 cmは底面の中の長さであり、柱の高さではありません。式を立てる前に、次のように役割を分けます。

まず、直径を2つに分けます。

6 ÷ 2 = 3

底面の半径は3 cmです。次に、円の面積を求めます。

3 × 3 × 3.14 = 28.26

底面積は28.26 cm²です。円の半径を2回掛けた後に円周率を掛けています。まだ体積ではないので、単位は平方センチメートルです。

続いて、底面積に柱の高さ10 cmを掛けます。

28.26 × 10 = 282.6

答えは282.6 cm³です。最後に282.6 ÷ 10 = 28.26と戻すと、1 cmの厚さに対応する量が底面積の数値と一致します。これは計算の確かめであり、直径6 cmを高さにしてよい理由にはなりません。

円柱を立て直しても、半径3 cmの円が底面で、その間の距離は10 cmのままです。置き方を変えても同じ体積になることを、底面と高さの両方から確認できます。

少し難しい例題：三角柱の高さを戻す

底面が直角三角形の三角柱があります。直角をはさむ2辺は8 cmと5 cmで、体積は240 cm³です。柱の高さを整数でセンチメートルまで正確に求めましょう。

底面の三角形では、直角をはさむ2辺の一方を底辺にすると、もう一方がそれに垂直な高さです。まず底面積を出します。

8 × 5 ÷ 2 = 20

底面積は20 cm²です。8 × 5 = 40は同じ底辺と高さを持つ長方形の面積で、直角三角形はその半分です。ここでの5 cmは三角形の高さで、求めたい柱の高さではありません。

体積は底面積20 cm²に柱の高さを掛けた数です。したがって、体積を底面積で割ります。

240 ÷ 20 = 12

柱の高さは12 cmです。20 × 12 = 240となり、与えられた体積に戻ります。答えの12 cmを三角形の辺として使うのではなく、2つの三角形の面の間に付けて確かめましょう。

判断の分かれ目は、最初に求めるのが底面積か柱の高さかという点です。底面積が与えられていればそのまま体積を割れますが、辺の長さしかなければ面積に直してから割ります。三角形の辺の長さで体積を割ると、柱の高さを直接取り出すことはできません。

直角をはさむ辺を逆に選んでも、5 × 8 ÷ 2 = 20です。どちらを底辺と呼んでも底面積は同じですが、選んだ底辺に垂直な長さを三角形の高さにする必要があります。斜めの辺を見た目だけで高さと決めないことも大切です。

間違いをたどって直す

基本例題で「3 × 3 × 3.14 × 6 = 169.56 cm³」と答えたとします。底面積までは正しいものの、最後に円の直径6 cmを掛けた誤答です。図3は、その数が底面の中にあることと、底面どうしの距離が10 cmであることを分けて示しています。

図3のように、直径は半径を出すための数として円の中に置き、柱の高さは2つの円を結ぶ向きに置きます。誤答の169.56は、底面積28.26に6を掛けた結果なので、計算の途中だけを見ても間違いが見つかりにくいものです。どの距離を掛けたかを図に戻して確かめます。

修正すると、28.26 × 10 = 282.6 cm³です。直径の6と柱の高さの10を入れ替えないよう、数値の横に「円の直径」「柱の高さ」と書く方法も使えます。

別の誤りとして、三角柱の底面積を8 × 5 = 40 cm²として、2で割り忘れる場合があります。これは三角形ではなく、それを2枚合わせた長方形の面積です。図に同じ三角形をもう1枚付け足すと、求めたい部分が長方形の半分だと見えます。そのうえで、柱の高さを掛けるか、体積から柱の高さを割り戻すかを決めます。

式を選ぶ前の点検

図に書かれた数を左から順に掛けると、必要な長さと不要な長さを区別できません。底面に印を付けたら、その面の中で面積を求めるための数に丸を付けます。次に、もう一方の底面までの垂直な距離に別の印を付けます。2種類の印が重なったときは、同じ数を別の役割に使っていないか立ち止まります。

円柱では直径と半径のどちらが与えられたかも見ます。直径をそのまま2回掛けると、半径を2回掛ける場合と比べて面積が4倍になってしまいます。直径が与えられたら2で割り、半径と書き添えてから面積を求めます。円周率を掛ける前に、半径の長さをもう一度確かめると直しやすくなります。

三角柱では、底辺に垂直な三角形の高さが与えられているかを見ます。斜めの辺の長さしか示されていないときは、それを勝手に高さにすることはできません。問題文の直角の条件や図の印を読み、底辺と垂直な距離を組にします。三角形の面積を出せたら、その面積と柱の高さを掛ける順番です。

逆算では、最後に掛けるはずだった数を割り算で取り出します。答えが出たら、底面積にその数を掛けて元の体積に戻します。戻らなければ、割り算の計算だけでなく、底面積を求めるところまでさかのぼります。元に戻ることは計算の確かめになりますが、底面を取り違えたままでは条件を満たすとは限らないため、図の面も再確認します。

自分で試す4問

どの問題も、まず底面と柱の高さを言葉で決めてから式を作りましょう。円周率を使う問題では3.14とします。

1. 横向きの円柱の底面の直径は8 cm、2つの底面の間の距離は7 cmです。体積を小数で立方センチメートルまで正確に求めましょう。
2. 底面が直角三角形の三角柱があります。直角をはさむ2辺は6 cmと9 cm、柱の高さは11 cmです。体積を整数で立方センチメートルまで正確に求めましょう。
3. 円柱の底面の半径は5 cm、体積は471 cm³です。柱の高さを整数でセンチメートルまで正確に求めましょう。
4. 三角柱の底面は、底辺が12 cm、その底辺に垂直な高さが7 cmの三角形です。柱の高さは15 cmです。底面積と体積をそれぞれ整数で平方センチメートル、立方センチメートルまで正確に求めましょう。

答えと道筋

1の答え

直径8 cmの半分が半径です。

8 ÷ 2 = 4 cm

円の底面積は、4 × 4 × 3.14 = 50.24 cm²です。底面どうしの距離7 cmを掛けて、50.24 × 7 = 351.68 cm³となります。答えは351.68 cm³です。直径8 cmではなく7 cmを最後に掛けるところが判断の中心です。

2の答え

直角をはさむ辺を底辺と高さにして、底面積を出します。

6 × 9 ÷ 2 = 27 cm²

この面が11 cmの高さにわたって続くので、27 × 11 = 297 cm³です。答えは297 cm³です。三角形の高さ9 cmと柱の高さ11 cmは、別の向きの距離です。

3の答え

半径はすでに与えられているので、直径を求める必要はありません。底面積は、5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²です。

471 ÷ 78.5 = 6 cm

答えは6 cmです。78.5 × 6 = 471と戻すと、底面積に求めた高さを掛けた体積が条件に一致します。体積を半径5 cmで割るのでは、底面積を単位として何回積んだかを求められません。

4の答え

底面の三角形は、底辺12 cmに対する垂直な高さが7 cmです。

12 × 7 ÷ 2 = 42 cm²

底面積は42 cm²です。その底面を柱の高さ15 cmにわたって積み重ねるので、42 × 15 = 630 cm³です。答えは底面積42 cm²、体積630 cm³です。7 cmは底面の中の高さ、15 cmは底面と底面の間の高さとして区別します。

覚えておくこと

• 柱の底面は、平行で同じ形、大きさの2つの面です。
• 柱の高さは、選んだ底面どうしの垂直な距離です。
• 体積は底面積 × 柱の高さで求めます。
• 三角形の高さや円の直径は、底面積を出すときに使います。
• 体積から高さを求めるときは、体積を底面積で割ります。

家で見守るときの声かけ

お子さまが横向きの円柱に直径を掛けたら、すぐに数を直す前に「同じ円の面はどこに2つあるかな」と聞いてみてください。2つの面を指で示せたら、「その面と面の間はどの長さかな」と問い返します。底面と高さが選べた後は、半径を求める計算から本人に任せます。

三角柱で手が止まるときは、三角形の中の高さと柱の高さを別々に指してもらいます。底面積の単位がcm²、体積の単位がcm³になっているかを最後に一緒に見ると、どの段階で何を求めたかも確かめられます。向きを変えても底面とその間の距離を結べば、柱の体積は変わりません。