中学受験算数 回転体—回す軸からの距離でできる立体を見分ける｜武蔵野個別指導塾

長方形や直角三角形の軸を替えたとき、半径と高さを追って回転体を描こう。

よくあるのは、長方形を回す軸を変えたのに、前と同じ半径を使ってしまう小6の場面です。回転前の図形は同じでも、どの辺を動かさずに回すかによって、できる立体の半径と高さは入れ替わります。まず軸を指で押さえ、軸に垂直な距離が円の半径になることを追いましょう。

回したあとに何を尋ねられるか

問題の型は大きく3つあります。1つ目は、辺を軸にして1回転させたとき、どの形の立体ができるかを答えるものです。長方形なら円柱、直角三角形なら円すいが基本ですが、どの辺を軸にするかを問題文で確かめます。直角三角形については、直角をはさむ辺を軸にする場合を考えます。

2つ目は、できた立体の半径、高さ、体積を求めるものです。平面の辺の長さをそのまま並べる前に、軸に沿う長さと軸から離れる長さを分けます。円周率の指定があれば、それに従って計算します。

3つ目は、同じ図形を別の辺のまわりに回した2つの立体を比べるものです。元の面積が同じでも、体積が同じとは限りません。軸を替えるたびに半径と高さを書き直し、それぞれの式を作ってから比べます。絵の向きが横向きでも、回転の軸に沿う長さを高さと呼びます。

軸を固定し、点が描く円を見る

回転体は、平らな図形を1本の直線のまわりに回して通った部分が作る立体です。軸は回転の中心になる直線で、軸の上の点は動きません。軸から離れた点は、軸までの垂直な距離を半径とする円を描きます。斜めの辺の長さをそのまま半径にするのではなく、軸に直角に測った距離を使います。

図1の左では長方形の縦の辺を軸にします。横の辺の長さが軸から反対側までの距離で、円柱の底面の半径です。縦の辺は軸の方向に伸び、その長さが円柱の高さです。図は立体をイメージするための見取図なので、傾いた線の角度を測るためのものではありません。

図1の右の円柱では、軸に垂直に切ると、どの高さの切り口も底面と同じ大きさの円になります。長方形の軸に垂直な線分は、回転すると円をすき間なく通ります。上下の位置を変えても線分の長さは同じなので、半径も変わりません。

直角三角形では、直角をはさむ一方の辺を軸にすると、もう一方の辺が底面の半径になります。軸上の直角ではない頂点は円すいのとがった頂点です。軸に垂直な線分を底面から頂点へ動かすと、軸から斜めの辺までの距離は少しずつ短くなります。回転した切り口の円も小さくなり、頂点で半径は0になります。

斜めの辺は回すと側面を作りますが、底面の半径でも垂直な高さでもありません。軸を直角をはさむもう一方の辺に替えた場合は、今度は元の軸が半径になります。斜めの辺を軸にした場合まで同じ見方で決めることはできません。問題がどの辺を軸に指定しているかが出発点です。

基本例題：長方形の横の長さを半径にする

縦8 cm、横3 cmの長方形を、縦の辺を軸として1回転させます。できる立体の体積を、円周率を3.14として小数で何cm³か求めましょう。

図2の左側で、縦の辺が動かない軸です。横の辺は軸に垂直なので、その長さ3 cmが円柱の底面の半径です。軸に沿った長さ8 cmは高さになります。図2の右側の立体は見取図であり、底面の円は斜めから見た形で描いています。

円柱は同じ底面を高さの分だけ積み重ねた形です。底面は半径3 cmの円なので、その面積を先に求めます。

底面積は、3 × 3 × 3.14 = 28.26 cm²です。半径を2回掛けるのは円の面積を求めるためで、高さを2回掛けるのではありません。次に底面積に高さを掛けます。

28.26 × 8 = 226.08 cm³

答えは226.08 cm³です。計算の前に、3 cmが半径であって直径ではないことを図で確かめます。軸から反対の辺までが3 cmなので、回した円の直径はその2倍の6 cmです。体積の単位は面積のcm²ではなくcm³になります。

もし同じ長方形の横の辺を軸にするなら、高さは3 cm、半径は8 cmです。図形を変えていなくても、軸からどちらへ離れるかが変わるので、先ほどの表をそのまま使えません。計算を始める前に軸に印を付け、そこから直角に伸びる線分を探すと取り違えを防げます。

軸を替えた直角三角形を比べる

直角をはさむ2辺がそれぞれ4 cmと6 cmの直角三角形があります。4 cmの辺を軸に1回転させた円すいと、6 cmの辺を軸に1回転させた円すいの体積を比べます。円周率は3.14とし、それぞれ小数で何cm³か求め、体積の比を最も簡単な整数の比で答えましょう。

どちらも直角をはさむ辺が軸なので円すいになります。ただし、軸と半径に使う辺が入れ替わります。頂点から底面に垂直に下ろした長さが高さであり、ここでは軸にした辺と重なります。

円すいの体積は、同じ底面と高さの円柱の体積の3分の1です。まず4 cmの辺を軸にした場合を計算します。

6 × 6 × 3.14 = 113.04 cm²

113.04 × 4 ÷ 3 = 150.72 cm³

次に6 cmの辺を軸にした場合です。

4 × 4 × 3.14 = 50.24 cm²

50.24 × 6 ÷ 3 = 100.48 cm³

比は150.72 : 100.48です。両方を50.24で割ると3 : 2になり、これ以上同じ整数で割れません。答えは順に150.72 cm³、100.48 cm³、体積の比は3 : 2です。

ここでの判断の分かれ目は、どの数を2回掛けるかです。半径は底面積に使うため2回現れ、高さは1回現れます。軸を替えると、同じ2つの数でも2回使うほうが変わります。したがって、元の三角形が同じという理由では体積を等しいと決められません。

比を考えるときにも、最初から軸の長さの比を答えにしないようにします。円すいの体積に共通する3.14と3分の1は比べる際に共通ですが、半径を2回掛ける違いは残ります。表の各行で半径と高さを確認したうえで比を作ると、順序も保てます。

間違えた半径を図に戻して直す

図3は同じ長方形の2つの回し方を比べたものです。縦8 cm、横3 cmの長方形で、左は縦の辺、右は横の辺を軸にします。左では半径3 cm、高さ8 cmです。右では軸から反対の辺までの距離が8 cmなので、半径8 cm、高さ3 cmになります。

右の体積を「3 × 3 × 3.14 × 3 = 84.78 cm³」とするのは誤答です。左の半径3 cmを引き継ぎ、高さだけを3 cmに変えてしまっています。式の中の半径と高さは別々の図から集めるのではなく、同じ回し方の図から読み取ります。

直すには、右の図で軸を指で押さえ、軸から直角に反対の辺までたどります。その距離は8 cmです。正しくは8 × 8 × 3.14 × 3 = 602.88 cm³となります。図3では軸の色と半径の色を分けているので、どの辺が動かないかを先に見てください。

別の誤りは、回した円の端から端までを半径として2倍することです。軸は円の中心を通ります。軸から片側の端までが半径であり、両側の端までが直径です。また、円すいで斜めの辺を高さに使う誤りもあります。高さは底面に垂直な長さなので、軸と底面の交わるところに直角を描いて確かめます。

見取図の横幅が長く見えるかどうかで数値を選ぶと、紙の上の見え方に引っ張られます。回転前の平面図で軸と垂直な線を見つけ、問題文の長さを対応させることが修正の近道です。計算結果を直すだけでなく、半径と高さの取り方を言葉で説明できるかも確認します。

自分で回して考える問題

いずれも図形の内部まで含めて1回転させます。円周率は3.14とし、体積の答えの形は各問題の指示に従います。

問題1

縦5 cm、横2 cmの長方形を、縦の辺を軸に1回転させます。できる立体の名前、底面の半径、高さ、体積を求めましょう。長さは整数でcm、体積は小数でcm³を単位として答えます。

問題2

直角をはさむ辺が3 cmと9 cmの直角三角形を、9 cmの辺を軸に1回転させます。できる立体の名前、底面の半径、高さ、体積を求めましょう。長さは整数でcm、体積は小数でcm³を単位として答えます。

問題3

縦10 cm、横4 cmの長方形を、横の辺を軸に1回転させます。円柱の底面の直径を整数でcm、体積を小数でcm³を単位として求めましょう。半径と直径を区別してから式を書きます。

問題4

直角をはさむ辺が5 cmと10 cmの直角三角形を、それぞれの辺を軸として1回転させます。5 cmの辺を軸にした円すいの体積と、10 cmの辺を軸にした円すいの体積を順に約分した分数でcm³を単位として求め、その比を最も簡単な整数の比で答えましょう。

問題の答えと道筋

問題1の答え

できる立体は円柱です。軸に垂直な横の辺が半径2 cm、軸に沿う縦の辺が高さ5 cmです。底面積は2 × 2 × 3.14 = 12.56 cm²です。これを高さ倍して、12.56 × 5 = 62.8 cm³です。答えは円柱、半径2 cm、高さ5 cm、体積62.8 cm³です。

横の辺を回すと円の中心から端までを通ります。底面の直径は4 cmですが、円の面積の式にはその半分の2 cmを使います。図を横に倒して描いても、軸の長さと軸からの距離の役割は変わりません。

問題2の答え

できる立体は円すいです。9 cmの辺が軸で高さ、直角に交わる3 cmの辺が底面の半径です。底面積は3 × 3 × 3.14 = 28.26 cm²です。これと同じ底面と高さを持つ円柱の体積は28.26 × 9 = 254.34 cm³です。

円すいはその3分の1なので、254.34 ÷ 3 = 84.78 cm³です。答えは円すい、半径3 cm、高さ9 cm、体積84.78 cm³です。最後に3で割るのは円すいの体積を求めるためです。長方形を回した円柱では、この割り算はしません。

問題3の答え

横の辺が軸なので、高さは4 cmです。軸から反対の辺までの距離は縦の10 cmであり、底面の半径は10 cmです。直径は10 × 2 = 20 cmです。軸を挟んで両側へ10 cmずつあると考えると、直径の意味を確かめられます。

底面積は10 × 10 × 3.14 = 314 cm²です。体積は314 × 4 = 1256 cm³です。答えは直径20 cm、体積1256 cm³です。直径20 cmを2回掛けると底面を実際より広く数えるので、面積の式へ戻す際は半径10 cmを使います。

問題4の答え

5 cmの辺を軸にすると、半径10 cm、高さ5 cmの円すいです。体積は10 × 10 × 3.14 × 5 ÷ 3で、整数や有限小数では割り切れません。そのため、ここは正確な分数で1570/3 cm³です。

10 cmの辺を軸にすると、半径5 cm、高さ10 cmです。体積は5 × 5 × 3.14 × 10 ÷ 3で、正確には785/3 cm³です。どちらの分数もこれ以上約分できません。順に1570/3 cm³、785/3 cm³、体積の比は2 : 1です。共通する3分の1を比から除き、1570 : 785を簡単にしました。

小数で割り切れない場合も、分数のままなら丸めずに正確な値を表せます。比は同じ順番で書くことを忘れないようにします。

覚えておくこと

軸の上の点は動かず、軸に垂直な距離が回転する円の半径です。 長方形を辺のまわりに回すと円柱になり、軸に沿う辺が高さです。 直角三角形を直角をはさむ辺のまわりに回すと円すいになります。 軸を替えたら半径と高さを読み直し、円すいは円柱の体積の3分の1にします。

お子さまと確かめる順番

お子さまが式を書き始めたら、先にどの辺を動かさないか指で示してもらいます。次に「軸から直角に端まで行くと、どの長さかな」と尋ね、半径を元の平面図に書き込んでもらいます。答えをすぐ伝えるより、軸と半径を別の印で示せるかを見ると、取り違えた場所が見つかります。

半径を言えたら、軸に沿う高さと立体の名前を確認し、円柱か円すいかに応じて体積の式へ進みます。途中で違う答えになったときは、計算のやり直しだけでなく、回す辺を替えていないかも図に戻って確かめます。軸を押さえた指から、回転体の形が見えてきます。