中学受験算数 立方体の切断—同じ面の切り口を結び断面の形を確かめる｜武蔵野個別指導塾

辺の中点から面ごとに線をつなぎ、隠れた切り口を追う立方体の切断です。

よくあるのは、立方体の違う面にある点を一度に線で結び、どこを切ったのか見失う小6の場面です。切り口は立体の中にある平らな面ですが、そのふちは立方体の面の上を通ります。点を見つけるたびに、まず「この2点は同じ面にあるか」と問い直しましょう。

立方体を紙の箱と思い浮かべ、箱の表面を一周するように線をつなぎます。見えない側も含めて元の面を確かめると、断面（だんめん）の形を筋道を立てて描けます。

切断の問題で求められるもの

切断とは、立体を平らな面で切ることです。切った面に現れる形を断面といいます。断面の形を答える問題では、まず切る面が立方体のどの辺を通るかを探し、隣り合う点を順番に結びます。点の数を先に決めてから線を引くと、隠れた面の辺を見落としかねません。

別の型では、辺の中点が与えられ、断面の辺の長さや面積を求めます。そのときも、いきなり面積の公式に進むのではなく、断面を立方体の面から取り出し、直角や等しい辺がどこにあるかを確かめます。見取図で斜めに見える線は、実際の長さや角度を表すものとは限りません。

さらに、指定された3点から別の切り口を見つける型もあります。平行な2つの面に切断面が交わる場合、その2本の切り口は平行です。ただし、平行な線を引けばどこでもよいわけではありません。既に見つけた点を通し、その面の範囲内で辺と交わる位置を探します。

面を渡るときの道しるべ

立方体の上面をABCD、下面をEFGHとし、縦の辺をAE、BF、CG、DHとします。上から見たときA、B、C、Dはこの順に並び、下面のE、F、G、Hもそれぞれ真下にあります。1つの辺は2つの面に共通です。辺上の点に着いたら、まだ通っていないもう一方の面へ移れます。

図1の点Pは辺AE上、点Qは辺BF上にあります。2点は前面ABFEの上にあるので、切断面が両方を通れば、前面の切り口は直線PQです。一方、辺AE上のPと辺CG上の点は、立方体の同じ面にはありません。その2点を表面の1本の切り口として結ぶことはできません。

直線が引ける理由は、平らな面どうしが交わるところが直線になるからです。切断面が立方体の1つの面を横切ると、その面に残る切り口も直線です。線を引いたら、両端がどの辺にあるかを言葉でたどります。面の途中で止まる線や、立方体の外へ飛び出した線は、断面のふちではありません。

上面と下面、前面と後面、左面と右面はそれぞれ平行です。切断面が平行な2面の両方を横切れば、その面上の切り口も平行になります。片方に切り口が見つかっても、もう一方を切らない場合はあります。まずその面を実際に通ることを、辺上の点や他の面から確かめてください。

基本例題：3本の縦の辺の中点

1辺が8 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。上面はABCD、下面はEFGHで、AE、BF、CG、DHは縦の辺です。AE、BF、CGの中点をそれぞれP、Q、Rとします。P、Q、Rを通る平面で切るとき、断面の形と面積を整数で答えましょう。

図2では、PとQが前面に、QとRが右面にあります。したがって、それぞれの面にPQ、QRを引けます。ここでPとRを表面の1本の線で結ぶのではなく、残る面に点を探します。

PとQは縦の辺の中点なので、上面からの高さは同じです。前面のPQは上の辺ABと平行です。同じように、QRはBCと平行です。PQとQRはどちらも上面ABCDと同じ高さにあり、この2本を含む切断面は上面と平行です。

したがって、残る縦の辺DHとの交点も上から辺の半分の位置にあります。その点をSとすると、SはDHの中点です。後面ではRとSを結び、左面ではSとPを結びます。P、Q、R、Sの順に線が閉じ、断面PQRSができます。

断面は上面と平行なので、上面と同じ形、大きさの正方形です。辺PQは上面の辺ABと同じ8 cmです。求める面積は次のように出します。

8 × 8 = 64

答えは64 cm²です。途中の「上面に平行」を確かめずに、見取図が四角形に見えるから正方形と決めることは避けます。見取図は立体を平面に写したもので、直角が斜めに描かれることもあります。

切り口が上面と平行でないとき

今度は1辺が12 cmの同じ立方体を考えます。AEの中点をP、BFの中点をQ、辺BCの中点をTとします。P、Q、Tを通る平面で切った断面の形と、辺の長さのうちPQと、上面にある切り口の長さを整数で答えましょう。

PとQは前面にあるのでPQを引きます。QとTは右面にあるのでQTを引きます。前面でP、Qは同じ高さにあり、PQはABと平行です。上面でTを通りABと平行な線を引くと、辺ADの中点Uに着きます。なぜ上面でその方向が決まるのでしょうか。

右面BCGFで、QはBFの中点、TはBCの中点です。QからTへは、上に辺の半分、奥に辺の半分進みます。左面ADHEでも、Pから同じ進み方をするとADの中点Uに着きます。PQに平行なTUを通る平面はP、Q、Tを含むので、TUは上面の切り口です。後面まで切るとは限らず、この場合は後面には届きません。

断面の順番はP、Q、T、Uです。PQとTUはどちらもABに平行で、長さは立方体の1辺と同じ12 cmです。前面と上面は平行ではないため、「前面のPQと上面のTUが平行」と言う際には、単に面が平行だからと説明してはいけません。ここでは両方がABに平行であることが根拠です。

また、QTとPUは立方体の向かい合う右面と左面にある切り口なので平行です。PQは右面に垂直な方向の辺と同じ向きで、右面上のQTと直角です。よって断面PQTUは長方形です。傾いた辺QTの長さは、この条件から小学生の整数の計算だけで求める必要はありません。問われた長さはPQとTUのどちらも12 cmです。

基本例題との分かれ目は、3点が同じ高さにあるかどうかです。同じ高さなら水平な切断面を考えられますが、高さが違う点を含むなら、そのまま水平とは決められません。各面でつなげる点を先に探すと、断面がどの面を通るかを取り違えずに済みます。

途切れた線をどう直すか

図2の基本例題で、PとRを直接結び、それを前面や右面の切り口とする答えは誤りです。PはAE上、RはCG上にあり、2点を一緒に含む立方体の面はありません。PとRを結ぶ線分自体は断面の内部にある対角線ですが、箱の表面を進む切り口ではないのです。

図3は基本例題の断面を取り出した図です。赤い線PRは内部の対角線、紺の周りの線は断面のふちです。ふちとしてたどるなら、PからQ、QからRへ進みます。反対側にはSを見つけ、RからS、SからPへ戻ります。

誤りの原因は、切断面にある線と、立方体の表面にある切り口を混同することです。直すときは各線の横に面の名前を書きます。PQは前面、QRは右面、RSは後面、SPは左面です。PRには対応する立方体の面がないので、断面の辺の一覧から外します。

もう1つの失敗は、見えない線を描かずに三角形と決めることです。途中の点Rで止まったら、そこで接する後面へ進めるかを調べます。最後に出発点へ戻るまで面をたどると、見えない側の切り口も拾えます。線が閉じた後も、それぞれの線が正しい面にあるかを確かめましょう。

手を動かす問題

どの問題も立方体ABCD-EFGHについて、上面ABCD、下面EFGH、縦の辺AE、BF、CG、DHとします。辺の中点は両端から等しい距離にある点です。長さと面積は整数で答えてください。

問題1

1辺が6 cmです。AE、BF、CGの中点を通る平面で切ります。断面の形と面積を求めましょう。また、残る縦の辺との交点がどこかを答えましょう。

問題2

1辺が10 cmです。AE、BFの中点をP、Q、BCの中点をTとします。P、Q、Tを通る平面で切ったとき、辺ADとの交点Uはどこですか。断面の形と、PQ、TUの長さを求めましょう。

問題3

1辺が4 cmです。頂点Aにつながる3辺AB、AD、AEの中点をそれぞれP、Q、Rとします。この3点を通る平面で頂点Aの側を切り取ります。断面の辺は何本ですか。また、頂点Aを含む切り取った立体の面の数を整数で答えましょう。

問題4

1辺が14 cmです。AE上に、Aから4 cmの点Pを取ります。BF上の点Q、CG上の点Rもそれぞれ上の頂点から4 cmの位置に取ります。P、Q、Rを通る平面で切ります。DHとの交点はDから何cmですか。断面の面積も求めましょう。

答えと考え方

問題1の答え

残る交点はDHの中点で、断面は正方形、面積は36 cm²です。3点はどれも上から3 cmの高さにあります。前面と右面に引いた2本の線は上面に平行な平面の中にあるので、後面と左面を通る線も同じ高さです。

DH上の交点もDから3 cmの中点です。断面は上面と同じ1辺6 cmの正方形ですから、面積は次の式になります。

6 × 6 = 36

3点があるから三角形と決めず、後面と左面にある4本目の縦の辺まで追うことが、この問題の要です。

問題2の答え

UはADの中点です。断面は長方形で、PQとTUはいずれも10 cmです。PQは前面でABに平行です。右面でQからTへ進むと、上に5 cm、奥に5 cm進みます。左面でもPから上に5 cm、奥に5 cm進むとADの中点Uに着きます。

上面ではTとUを結び、左面ではUとPを結びます。PQとTUはABに平行で、両方ともABと同じ長さです。右面のQTと左面のUPも平行です。PQは右面のQTに垂直なので、4つの角は直角となり、断面は長方形です。傾いている辺を10 cmとする根拠はないため、その長さを勝手に加えません。

問題3の答え

断面の辺は3本、切り取った立体の面は4つです。PとQは上面、QとRは左面、RとPは前面にあるので、各面で結ぶと三角形PQRが閉じます。他の面に進む前に出発点へ戻ります。

切り取られた立体には、もとの上面の一部である三角形APQ、左面の一部の三角形AQR、前面の一部の三角形ARPがあります。これに新しくできた断面PQRを加えると、面の数は次のとおりです。

3 + 1 = 4

断面の辺の数と、切り取った立体の面の数は別の問いです。新しくできた面を数え忘れないようにします。

問題4の答え

交点はDから4 cm、断面の面積は196 cm²です。P、Q、Rは中点ではありませんが、3点は上面から同じ4 cmの位置です。前面と右面の切り口は上面と平行な平面にあり、その平面はDHも上から4 cmの位置で通ります。

立方体の1辺が14 cmなので、断面は1辺14 cmの正方形です。面積は次の式です。

14 × 14 = 196

中点であることよりも、3点の高さがそろうことが水平な切断を判断する根拠です。上から4 cmという条件を、下から4 cmと読み替えないようにしましょう。

切り口を追うための要点

• 2点が同じ面にあるとき、その面で直線を結びます。
• 辺に着いたら隣の面へ移り、出発点へ戻るまで追います。
• 平行な2面を切る線は平行ですが、両方を通る確認が必要です。
• 見取図の傾きだけで、長さや直角を判断しません。
• 断面内部の対角線と、表面に沿う断面の辺を分けます。

家で確かめるとき

お子さまが2点を結んだら、まず「この線は箱のどの面にあるかな」と尋ねてみてください。面を言えないときは、箱や紙で作った立方体を回し、点のある辺を指でたどります。すぐに正しい線を描き足すのではなく、1本の線が終わる辺から隣の面へ移れるかを見守ります。

線が一周したら、各面の名前を順に言い、最後に始めの点へ戻ったことを確認します。形や面積の計算で迷う場合は、断面を紙に写し、直角や同じ長さの理由を元の立方体に戻って探します。面を1つずつ渡る道筋が、見えない切り口を描き出します。