中学受験算数 直方体と立方体の体積—単位の立方体を数えて容積と長さを求める｜武蔵野個別指導塾

上が開いた箱では高さから底板1枚分を引き、段のある立体では重複しない切り分け方を選んで体積を出します。

よくあるのは、箱の外寸をそのまま容積に使う小5の場面です。箱の外側を測った長さは、板の厚さも含んでいます。中に入る量を知りたいときは、内側の長さを使わなければなりません。

直方体と立方体の体積は、縦、横、高さを掛ければ求められます。ただし、どの立体の、どの長さを掛けるかが先です。小さな立方体の積み重なりを思い浮かべ、求める場所を区切ってから式を作りましょう。

どの量を求める問題か

1つ目は、縦、横、高さが示された直方体や、1辺が示された立方体の体積を求める型です。1段に並ぶ個数と段数を分けると、3つの長さを掛ける意味が見えます。体積から、まだわからない高さを求める型もあります。

2つ目は、直方体を組み合わせた段のある立体の体積です。境目で切って2つに分ける方法と、全体を囲む大きな直方体から空いた部分を引く方法があります。足す場合は重なりを作らず、引く場合は空いている部分の寸法を正しく読みます。

3つ目は、板で作った箱の容積を求める型です。容積は、入れ物の内側に入る体積です。外寸と板の厚さがある場合、内寸を出してから計算します。ふたがあるか、底があるかで引く厚さの回数が変わるため、箱の形の条件を見落とさないことが必要です。

同じ数字が並んでも、箱全体の外形の体積、板の体積、内側の容積は違う量です。まず問題文の「何を求めるか」に線を引き、その場所を図に示します。立方センチメートルなのか、リットルなのかという答えの単位も先に確かめておきます。

小さな立方体を積み上げる

図1は、1辺が1 cmの立方体を、横に4個、奥に3個、高さに2段並べた直方体です。隙間なく積んだと考えます。見取図は立体を平面に写した図なので、斜めの辺の見た目の角度を測るための図ではありません。

図1の1段には、横4個の列が奥に3列あります。4 × 3 = 12個です。同じ段が2段なので、12 × 2 = 24個です。1辺が1 cmの立方体1個の体積を1 cm³とするので、全体は24 cm³です。

この数え方から、直方体の体積は「縦 × 横 × 高さ」です。縦と横を掛けたものは底面積で、単位はcm²です。底面積に高さを掛けると、同じ広さの層を重ねた体積になり、単位はcm³です。縦と横はどちらを先に掛けてもよいですが、高さまで同じ単位でそろえます。

立方体は、縦、横、高さが等しい直方体です。1辺が5 cmなら、5 × 5 × 5 = 125 cm³です。辺の長さを2回掛けた25 cm²は1つの面の広さであり、体積ではありません。もう1回、奥行きの分を掛ける理由を言えるようにします。

1 cm³は、1辺が1 cmの立方体1個の体積です。1 mは100 cmなので、1 m³は100 × 100 × 100 = 1000000 cm³です。また、1 Lは1000 cm³、1 mLは1 cm³です。単位を直すときは、長さだけでなく、縦、横、高さの3方向を考えます。

内寸は入れ物の内側の長さ、外寸は外側の長さです。左右に板がある方向は、外寸から板の厚さを2回引きます。底だけに板があり、上が開いている高さは1回引きます。板がどこにあるか不明なら、外寸と厚さだけで内寸を決められません。図や問題文で位置を確かめます。

基本例題：板の厚さを引いて容積を出す

上が開いた直方体の箱があります。外側の縦は12 cm、横は10 cm、高さは8 cmです。底と4枚の側面の板の厚さはどれも1 cmで、板は隙間なく組まれています。内側は直方体です。この箱の容積を整数のcm³で求めましょう。

図2は、外側の寸法と内側の寸法の関係を表しています。左右の板と底の板を区別し、上に板がないことを読みます。

まず縦の内寸を出します。縦方向の両端に1 cmずつ板があります。

12 − 1 − 1 = 10 cm

次に横の内寸を出します。こちらも両端に1 cmずつ板があります。

10 − 1 − 1 = 8 cm

高さの内寸は、上が開いているため底の厚さだけを引きます。

8 − 1 = 7 cm

内側の底面積は、10 × 8 = 80 cm²です。この底面積のまま高さ7 cmまで入るので、容積は次のようになります。

80 × 7 = 560 cm³

答えは560 cm³です。1 cm³の小さな立方体を考えると、1段に80個、同じ段が7段入ることにあたります。実際に小さな立方体を入れる必要はなく、容積を数で表すための考え方です。

図2の外寸をそのまま掛けると、箱の外形の体積になります。外形には板の部分が含まれます。外形の体積から板の体積を引いても容積にたどり着きますが、板どうしが接する部分を二重に数えない工夫が必要です。内側が直方体とわかっているこの問題では、内寸を先にそろえると計算の対象が明確です。

内寸が正しいかは、逆に厚さを戻して確かめられます。縦は10 + 1 + 1 = 12 cm、横は8 + 1 + 1 = 10 cm、高さは7 + 1 = 8 cmです。3方向で外寸に戻ることを確認してから掛けると、引き忘れを見つけやすくなります。

段のある立体はどこで分けるか

底に置いた直方体の縦は8 cm、横は5 cm、高さは3 cmです。その上に、縦4 cm、横5 cm、高さ2 cmの直方体を、底の直方体の一方の端にそろえて載せます。2つは面で接し、重なりも隙間もありません。この立体の体積を整数のcm³で求めましょう。

底の直方体の体積は、8 × 5 × 3 = 120 cm³です。上の直方体は、4 × 5 × 2 = 40 cm³です。面で接しているので、内部が重なる部分はありません。120 + 40 = 160 cm³が答えです。

別の分け方でも確かめます。高さ3 cmより上の段まで含めて、縦8 cm、横5 cm、高さ5 cmの直方体で囲みます。囲んだ全体は8 × 5 × 5 = 200 cm³です。上段の空いた部分は縦8 − 4 = 4 cm、横5 cm、高さ2 cmなので、4 × 5 × 2 = 40 cm³です。200 − 40 = 160 cm³となり、先ほどと一致します。

判断の分かれ目は、補った部分や切った部分の寸法がわかるかどうかです。高さの違う位置で横に切れば、もとの2つの直方体の寸法をそのまま使えます。一方、全体から引くときは、空きの高さが全体の5 cmではなく上段の2 cmだと確かめなければなりません。

たとえば上の立体の下にも底の立体があることを忘れ、縦4 cm、横5 cm、高さ5 cmの部分と、底全体を足すと、上の立体の下の部分が重複します。縦4 cm、横5 cm、高さ3 cmの部分を2度数えたことになります。縦に分けるなら、高さ5 cmの部分に加えるのは、残りの縦4 cm、横5 cm、高さ3 cmの部分です。4 × 5 × 5 + 4 × 5 × 3 = 160 cm³と求められます。

分けた後の小さな立体を指で順に示し、同じ場所を2度通らないか、数えていない場所が残らないかを見ます。計算結果が正しそうでも、分割の説明ができなければ、別の寸法に変わったときに間違えやすくなります。

誤答から内側へ戻る

基本例題で、12 × 10 × 8 = 960 cm³を容積とするのは誤答です。12 cm、10 cm、8 cmは外寸なので、960 cm³には板が占める場所も入っています。図3では、外側を使う式と内側を使う式を並べて、何を数えているかを分けています。

図3の上の式は外形の体積としては正しい値です。しかし、求められているのは容積なので答えにはできません。下の式では内寸10 cm、8 cm、7 cmを使い、560 cm³と直します。外形の960 cm³から内側の560 cm³を引けば、板の部分は400 cm³です。容積が外形より小さいことも、答えの確かめになります。

もう1つの誤りは、高さからも厚さを2回引いて6 cmとすることです。上が開いた箱にふたの厚さを加えてしまっています。底には板がありますが、上にはありません。外側の底から内側の底までの1 cmを引くと、内側の高さは7 cmです。もし同じ厚さのふたが閉じた箱なら、別の条件として上にも板があり、2回引くことになります。

反対に、縦や横から厚さを1回しか引かないと、片側の板を通り抜ける長さを内寸としてしまいます。図に内側の端から端まで線を引き、その外に残る板が何枚あるか数えます。引く回数は方向ごとに決めるのであり、いつも一律に2回と覚えるのではありません。

自分で試す問題

次の問題は、途中の式も書いて解きます。容器の板は指定がある場合を除き考えません。各答えは指定された単位の整数で表します。

1. 1辺が6 cmの立方体があります。体積を整数のcm³で求めましょう。
2. 縦9 cm、横4 cm、高さのわからない直方体の体積は252 cm³です。高さを整数のcmで求めましょう。
3. 上が開いた直方体の箱の外寸は、縦16 cm、横14 cm、高さ11 cmです。底と側面の板の厚さはどれも1 cmで、内側は直方体です。容積を整数のcm³で求めましょう。
4. 縦10 cm、横6 cm、高さ2 cmの直方体の上に、縦3 cm、横6 cm、高さ4 cmの直方体を端にそろえて載せます。面で接し、重なりも隙間もありません。全体の体積を整数のcm³で求めましょう。

答えと考えた道筋

1の答え

立方体は3方向の長さが等しいので、6 × 6 × 6 = 216 cm³です。1段には6 × 6 = 36個の1 cm³の立方体が入り、それが6段あります。36 × 6 = 216個という数え方でも確かめられます。答えは216 cm³です。

2の答え

底面積は9 × 4 = 36 cm²です。体積252 cm³は、底面積36 cm²を高さの分だけ重ねた量です。252 ÷ 36 = 7 cmなので、高さは7 cmです。9 × 4 × 7 = 252 cm³と戻して、求めた長さが条件に合うことを確認します。

ここで252を9だけで割ると、横と高さを掛けた数が残ります。高さを取り出すには、底面を作る2つの長さの積で割る必要があります。割る前に36 cm²が何の面積かを書いておくと、途中の数の意味を見失いません。

3の答え

縦の内寸は16 − 1 − 1 = 14 cm、横の内寸は14 − 1 − 1 = 12 cmです。高さは上が開いているので11 − 1 = 10 cmです。内側の底面積は14 × 12 = 168 cm²、容積は168 × 10 = 1680 cm³です。答えは1680 cm³です。

内寸の14 cmは、たまたま横の外寸と同じ数ですが、意味は異なります。数字が同じでも方向と内外を添えて記録すると、次の掛け算で混ぜずに済みます。外寸で計算した16 × 14 × 11 = 2464 cm³より小さいので、大きさの関係も合っています。

4の答え

下は10 × 6 × 2 = 120 cm³、上は3 × 6 × 4 = 72 cm³です。面で接する2つの体積を足すと、120 + 72 = 192 cm³です。答えは192 cm³です。

囲んで引く方法でも確かめます。全体を縦10 cm、横6 cm、高さ6 cmで囲むと、10 × 6 × 6 = 360 cm³です。上段の空きは縦10 − 3 = 7 cm、横6 cm、高さ4 cmなので、7 × 6 × 4 = 168 cm³です。360 − 168 = 192 cm³となります。空きの高さは4 cmで、下の2 cmを含めないことがポイントです。

覚えておくこと

• 直方体の体積は、同じ単位にそろえた縦 × 横 × 高さです。
• 立方体は、1辺の長さを3回掛けます。
• 複合立体は重複や数え残しがないように分けます。
• 容積には内寸を使い、板の位置に応じて厚さを引きます。
• 1 L = 1000 cm³、1 mL = 1 cm³です。

家で確かめるとき

お子さまが外寸を掛けたら、すぐに式を直す前に、箱の内側を指でたどってもらいます。「この長さには板が入っているかな」と尋ね、板を何枚分引くかを方向ごとに言葉にしてもらいましょう。上が開いているかどうかも、図の上端を見て確認します。

段のある立体でつまずいたときは、分けたそれぞれの部分を指してもらいます。重なりや数え残しが見つかったら、切り方を描き直す時間を取ります。計算を代わりに進めず、最後に内寸へ厚さを戻す、または別の分け方で同じ体積になるかを確かめてもらいましょう。箱の中に入る量は、内側の長さから見えてきます。どの場所を数えるかが、式の出発点です。