中学受験算数 角すいと円すい—同じ底面と高さの柱体と比べ体積を求める｜武蔵野個別指導塾

母線と垂直な高さを区別し、柱体との比較から逆算まで進む角すいと円すいを学びます。

よくあるのは、円すいの斜めの母線を高さとして掛ける小6の場面です。底面から頂点までの長さに見えても、斜めの線は底面に垂直ではありません。体積に使う高さを見つけ、同じ底面と高さの柱体と比べるところから考えます。

どの長さを使う問題か

角すいと円すいの問題には、底面の寸法と高さから体積を求める型があります。底面の面積を先に出し、同じ底面と高さを持つ柱体の体積を考え、その3分の1を取ります。底面が三角形なら面積を出すときにも2で割るので、体積を出す3で割る操作とは区別します。

次は体積から高さや底面積を逆に求める型です。3分の1になる前の柱体の体積に戻してから、わかっている量で割ります。体積をさらに3で割ると、戻す方向が逆になります。

もう1つは、斜めの辺や母線と垂直な高さが同時に示される型です。見取図の中で長そうに見える線を選ぶのではなく、頂点から底面に垂直に下ろした線を選びます。垂直な高さが与えられていなければ、母線の長さをそのまま代わりには使えません。

柱体と比べるための高さ

角すい（かくすい）は、多角形の底面と、1つの頂点に集まる三角形の側面を持つ立体です。円すい（えんすい）は円を底面とし、頂点から底面の円周までが曲面でつながる立体です。円すいの頂点と底面の円周上の点を結ぶ線を母線（ぼせん）と呼びます。

図1のように、底面に垂直な線で頂点から底面までの距離を測ります。見取図は立体を平面に写した絵なので、紙の上で直角に見えるかどうかをものさしで測って判断しません。垂直を示す印や問題文の条件を使います。

図1の斜めの線が母線、点線が高さです。頂点が底面の中心の真上にある円すいでは、頂点から垂直に下ろした高さの足が、その中心に重なります。底面から頂点まで斜めに結んだ線は高さではありません。角すいでも考え方は同じで、頂点から底面に垂直な距離を高さにします。

同じ底面積、同じ高さの角柱と角すいを比べると、角すいの体積は角柱の3分の1です。円柱と円すいについても、底面積と高さがそれぞれ同じなら、円すいの体積は円柱の3分の1です。底面積か高さが違う柱体を相手にして、そのまま3分の1とはできません。

体積の式は「底面積 × 高さ ÷ 3」です。底面積は平方センチメートル、高さはセンチメートルなら、体積は立方センチメートルです。底面の1辺や半径を、そのまま底面積として扱わないようにします。

どこからどこまでを高さと呼ぶか

底面は、机に接している面とは限りません。立体を横向きに描いても、問題で底面として選んだ面と頂点との垂直な距離が高さです。図を回して眺めても、その距離や体積は変わりません。図の上下だけで高さを決めるのではなく、底面に直角に交わる線を探します。

角すいの頂点から底面に垂直な線を下ろすと、底面の内側に足が来る場合も、底面を延ばした外側に来る場合もあります。どちらも底面を含む平面への垂直な距離が高さです。図の辺に沿って測った長さとは限らないため、斜めの辺に数が書いてあるときは役割を確かめます。

柱体の3分の1という関係は、同じ底面積と高さの組を比べる性質です。たとえば底面の形が違っても底面積が同じで、高さも等しければ、体積の比較に使う柱の体積は等しくなります。ただし底面の周りの長さが等しいだけでは、底面積が同じとは決まりません。比べる条件として必要なのは広さと垂直な距離です。

式を逆にたどる

底面積と高さがわかるときは、掛けてから3で割ります。体積と底面積がわかるときは、まず3を掛けて柱の体積に戻し、底面積で割って高さを求めます。体積と高さがわかるときも、柱の体積に戻した後、高さで割れば底面積が出ます。

どちらの逆算でも、求めた数を「底面積 × 高さ ÷ 3」に入れて元の体積になるか調べられます。底面積まで求める問題と、底面の半径や辺の長さまで求める問題では、終える場所が違います。何を答えるかに線を引いてから計算すると、単位を取り違えにくくなります。

基本例題：円すいの中身を求める

底面の半径が3 cm、底面に垂直な高さが8 cmの円すいがあります。母線は約8.5 cmです。円周率は3.14とし、体積を小数で、単位をつけて求めましょう。

図2では、円すいと、底面積と高さが同じ円柱を並べています。円柱は比較のために考えた立体で、円すいに別の立体を足すという意味ではありません。

図2の点線が高さです。母線は斜めなので体積の式には使いません。まず円の面積を出し、その後で高さを掛けます。

1では半径を2回掛けます。直径を2回掛けるのではない点にも注意します。2では底面積が同じ断面を高さ8 cmまで積み重ねた円柱を考えます。3では、その円柱と底面積も高さも同じという条件を確かめてから3分の1にします。答えは75.36 cm³です。

8.5 cmを使って計算が進んでも、求めている立体の体積にはなりません。使わなかった数が残ることは失敗ではなく、条件を選び取った結果です。最後に、答えが比較した円柱の体積より小さく、ちょうど3分の1かも確かめます。

一段進めて：残った部分から高さを戻す

底面が1辺6 cmの正方形で、高さが等しい四角柱と四角すいがあります。底面積も高さも同じです。四角柱から四角すいの体積と同じ量を取り除いたところ、残りは240 cm³でした。高さは何 cmですか。整数で答えましょう。

比べるものをはっきりさせます。四角柱を同じ大きさの3つ分と見ると、四角すいはそのうちの1つ分です。残りは2つ分なので、240 cm³が柱全体ではありません。この判断が、体積そのものを与えられた基本例題との違いです。

まず、1つ分は 240 ÷ 2 = 120 cm³ です。これは四角すいの体積でもあります。柱全体は 120 × 3 = 360 cm³ です。

底面積は 6 × 6 = 36 cm² です。柱の体積は底面積 × 高さなので、高さは 360 ÷ 36 = 10 cm です。答えは10 cmです。

確かめると、柱は 36 × 10 = 360 cm³、すいは 360 ÷ 3 = 120 cm³、差は 360 − 120 = 240 cm³ です。残りを3分の1と読んだり、240を柱全体としたりすると、この差の確認で条件と合わなくなります。実際の切り取り方を指定していないので、ここでは体積の差として扱っています。

比べる条件を点検する

残りの体積を使う場合は、最初に全体と取り除く量の関係を確認します。柱全体を3等分したとき、すいが1つ分、残りが2つ分です。この2つ分を1つ分に直し、3つ分に戻すという順序なら、どの数が何を表すかを追えます。

底面の1辺がわかっていても、それは底面積ではありません。正方形なら辺を2回掛け、長方形ならたてと横を掛けます。三角形の底面では底辺とその三角形の高さを掛けて2で割ります。その後で初めて立体の高さを掛けます。面積を出す段階と体積を出す段階を分けると、同じ「高さ」という言葉でも混同しません。

柱とすいの高さが違う場合は、この3等分の図をそのまま使えません。それぞれの体積を、各自の底面積と高さから求めて比べます。また、残りが与えられているのか、すいそのものが与えられているのかを読み分けます。問題文の「残り」に印を付け、その数が図のどの部分かを言ってから式を立てましょう。

間違えた式を図に戻す

基本例題で「3 × 3 × 3.14 × 8.5 ÷ 3 = 80.07 cm³」とした答えは誤りです。8.5 cmは母線で、底面に垂直な高さではありません。図3で、斜めの線と、底面に垂直な点線を見比べます。

図3の右側のように、高さを8 cmに置き直すと、底面積 28.26 cm² に掛ける数も8に変わります。28.26 × 8 ÷ 3 = 75.36 cm³ が正しい値です。式だけを消して直す前に、使った8.5が図のどの線かを指さすと、選び間違いが見えます。

別の誤りは、底面積と高さを掛けた226.08 cm³をそのまま答えることです。その数は比較する円柱の体積です。円すいにするには3で割ります。一方、体積から柱へ戻す場面では3を掛けるので、求める量が柱かすいかを式の横に書き分けます。

高さが示されず母線しかわからない場合もあります。そのときは、斜めの長さを高さと決めて計算を続けません。他の条件から垂直な高さを求められるか確認し、足りないままなら、体積を一意に決めるための情報が足りないと判断します。

求める量で単位も変わる

底面積を逆算した答えには cm²、高さには cm、体積には cm³ を付けます。途中の数字が合っていても、面積を長さとして答えると何を求めたのかが変わります。たとえば底面が円の場合、面積を出しただけでは半径を答えたことにはなりません。問題が要求する量まで進んだか、最後に単位を手掛かりに点検します。

また、与えられた円の長さが半径なのか直径なのかを確かめます。直径なら2で割って半径に直してから円の面積を求めます。底面積の式には半径を2回使うので、直径をそのまま入れる誤りは体積にもそのまま影響します。計算機で積を確かめる前に、何を掛けたのかを図に戻して確認します。

練習：立体を取り違えずに進む

それぞれ答えの形と単位に注意して解きましょう。円を使う問題では円周率を3.14とします。

1. 底面がたて4 cm、横5 cmの長方形で、垂直な高さが9 cmの四角すいがあります。体積を整数で、cm³をつけて求めましょう。
2. 底面の半径が5 cm、垂直な高さが6 cmの円すいがあります。母線は約7.8 cmです。円周率を3.14として体積を小数で、cm³をつけて求めましょう。
3. 底面積が24 cm²の角すいの体積は56 cm³です。垂直な高さを整数で、cmをつけて求めましょう。
4. 底面が底辺8 cm、高さ3 cmの三角形で、立体の垂直な高さが15 cmの三角すいがあります。同じ底面と高さの三角柱と比べ、柱からすいの体積を引いた差を整数で、cm³をつけて求めましょう。

答えと道すじ

1. 底面積は 4 × 5 = 20 cm² です。同じ底面と高さの四角柱は 20 × 9 = 180 cm³ です。四角すいはその3分の1なので、180 ÷ 3 = 60 cm³ です。答えは60 cm³です。底面の面積と立体の高さを掛けた後、柱のままで止めないことが要点です。

2. 底面積は 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm² です。同じ底面と高さの円柱は 78.5 × 6 = 471 cm³ です。円すいは 471 ÷ 3 = 157 cm³ なので、小数の形では157.0 cm³です。母線の約7.8 cmは高さに使いません。小数を掛ける計算でも、最後の3分の1を忘れないようにします。

3. まず同じ底面と高さの角柱の体積に戻します。56 × 3 = 168 cm³ です。底面積が24 cm²なので、高さは 168 ÷ 24 = 7 cm です。答えは7 cmです。確かめると 24 × 7 ÷ 3 = 56 cm³ となり、元の条件に戻ります。

4. 三角形の底面積は 8 × 3 ÷ 2 = 12 cm² です。ここでの3 cmは三角形の高さです。立体の高さ15 cmとは別の長さです。三角柱は 12 × 15 = 180 cm³、三角すいは 180 ÷ 3 = 60 cm³ です。差は 180 − 60 = 120 cm³ です。答えは120 cm³です。底面の面積を出す2と、すいの体積を出す3は別の理由で使っています。

覚えておくこと

• すいの高さは頂点から底面への垂直な距離です。
• 底面積と高さが同じ柱の体積の3分の1が、すいの体積です。
• すいから柱の体積へ戻すときは3を掛けます。
• 母線は高さと決めつけず、図と条件を確かめます。

家で見守るとき

お子さまが式を立てたら、まず「この数は図のどの線の長さ」と尋ねてみてください。斜めの母線を指した場合は答えを先に伝えず、底面に垂直な線を図に描き足してもらいます。高さを選べたら、次に「今の積は柱とすいのどちらの体積」と問い返します。

逆算で迷ったときは、柱を3つの同じ量に分け、すいがそのうちいくつ分かを言葉で確かめます。最後に求めた高さを元の式に戻し、与えられた体積に合うかを本人に確認してもらいます。垂直な高さを見つける目が、角すいと円すいの計算を支えます。