中学受験算数 点の移動と面積—高さが変わる区間を分け面積の増減を読む｜武蔵野個別指導塾

長方形の辺を進む点について、頂点に着く時刻で区切り、高さが増える・保たれる・減る区間から面積を求めます。

よくあるのは、辺の上を進む点が頂点を通過しても、前と同じ高さの式を使ってしまう小6の場面です。点は同じ速さで進んでいても、底辺からの高さは同じ調子で変わるとは限りません。動いた道のりと、底辺に垂直な高さを分けて考えます。

点が動く問題で探すもの

出題の形には、ある時刻の三角形の面積を求めるもの、指定された面積になる時刻を探すもの、時間に合わせた面積の増減を表から読むものがあります。どの場合も、まず点がどの辺にいるかを決めてから、その位置の高さを調べます。

例えば長方形の一辺を底辺とする三角形を考えると、点が底辺から遠ざかる辺を進む間は高さが増えます。その先で底辺に平行な辺を進むなら、高さは一定です。さらに底辺に近づく辺へ移れば、高さは減ります。点の動きは続いていても、面積の変わり方には切れ目があります。

指定の面積になる時刻を問う問題では、増える区間と減る区間の両方を探します。同じ高さを行きと帰りに通るなら、答えは2つあります。高さが一定の区間と指定の面積が一致するときは、その区間の間じゅう条件を満たします。頂点の時刻を重複して数えないことも大切です。

道のりと高さを区別する

図1の長方形で、底辺を下の辺に固定します。点は左下から左上、右上、右下へ、矢印の順に進みます。底辺から点までの垂直な距離が高さです。左辺では進んだ距離が高さに等しく、上辺では横に進んでも高さは変わりません。右辺では上から進んだ距離の分だけ高さが減ります。

図1の縦の点線は、上辺にいる点から底辺までの高さを示します。点が動いた道のり全体を、そのまま高さにしてはいけません。三角形の面積は、固定した底辺にその時の高さを掛けて2で割ります。底辺が同じなら、高さが2倍になると面積も2倍です。

時間を区切るには、各辺の長さを速さで割り、頂点に着くまでの時間を出します。出発からの時間と、その辺に入ってからの時間を混同しないように、頂点の時刻を表に書いておきます。区間の端では、前後どちらから計算しても同じ面積になるか照合できます。

基本例題：上の辺では高さを保つ

長方形ABCDは、Aが左下、Bが左上、Cが右上、Dが右下です。ABは6 cm、BCは8 cmです。点PはAを出発し、辺AB、BC、CDの順に毎秒2 cmで進み、Dで止まります。三角形ADPの面積を、出発から2秒後、5秒後、9秒後についてそれぞれ整数のcm²で求めます。図2の矢印は進む順を示します。

図2では底辺ADが8 cmです。面積に使う高さは、PからADまでの垂直な距離です。まず各辺を進む時間を出します。

ABは 6 ÷ 2 = 3 秒です。Bには3秒後に着きます。

BCは 8 ÷ 2 = 4 秒です。Cには 3 + 4 = 7 秒後に着きます。

CDは 6 ÷ 2 = 3 秒です。Dには 7 + 3 = 10 秒後に着きます。

2秒後はAB上です。高さは 2 × 2 = 4 cm です。面積は 8 × 4 ÷ 2 = 16 cm² です。出発点Aでは高さも面積も0なので、途中で増える様子が想像できます。

5秒後は3秒後と7秒後の間なのでBC上です。Bを通ってから2秒進んでいますが、それは横の距離に関係します。高さは長方形の縦の長さと同じ6 cmです。面積は 8 × 6 ÷ 2 = 24 cm² です。上辺のどこにいても、底辺ADに平行なので高さは変わりません。

9秒後はCD上です。Cを通ってから 9 − 7 = 2 秒です。Cから下へ 2 × 2 = 4 cm 進みます。高さは 6 − 4 = 2 cm です。面積は 8 × 2 ÷ 2 = 8 cm² です。出発からの9秒をそのまま掛けると、Cより前に進んだ道のりまで下向きの移動に入ってしまいます。

頂点でも確かめます。3秒後は高さ6 cmで面積24 cm²、7秒後も高さ6 cmで面積24 cm²です。10秒後には高さ0 cm、面積0 cm²となります。区間の切れ目の値が左右でつながることも確認します。

面積から時刻を探す

別の長方形EFGHを、Eが左下、Fが左上、Gが右上、Hが右下となるように置きます。EFは8 cm、FGは10 cmです。点QはEからF、G、Hの順に毎秒2 cmで進み、Hで止まります。三角形EHQの面積が30 cm²となる時刻を、出発からの整数の秒数で全部求めます。

底辺EHは10 cmです。面積を2倍して底辺で割ると、必要な高さが出ます。30 × 2 ÷ 10 = 6 cm です。高さが6 cmになる位置を、増える区間と減る区間でそれぞれ探します。

EFを上がるとき、Eから6 cm進むので 6 ÷ 2 = 3 秒後です。上辺FGでは高さが8 cmのままなので、面積は 10 × 8 ÷ 2 = 40 cm² です。この区間に30 cm²となる時刻はありません。

Gから下がるときは、8 − 6 = 2 cm 下がれば高さ6 cmになります。Gまでにかかる時間は 8 ÷ 2 + 10 ÷ 2 = 4 + 5 = 9 秒です。Gから2 cm進む時間は 2 ÷ 2 = 1 秒なので、9 + 1 = 10 秒後です。答えは3秒後と10秒後です。

基本例題では時刻が先に与えられ、位置から面積を出しました。こちらは面積から高さを逆に出し、その高さに達する位置を両側の辺で探しています。上辺での面積も別に調べると、途中の区間を見落としません。

頂点を越えた後の誤答を直す

図3は基本例題の5秒後を取り出したものです。誤って「高さは 2 × 5 = 10 cm、面積は 8 × 10 ÷ 2 = 40 cm²」とする場合を考えます。これは進んだ道のりを高さと取り違えています。5秒間で10 cm進むこと自体は正しいものの、最後の4 cmは横方向です。

図3のPは上辺にあり、底辺までの垂直な距離は6 cmです。正しくは 8 × 6 ÷ 2 = 24 cm² です。高さ10 cmは長方形の縦の長さ6 cmを超えており、点が長方形の辺上にある条件とも合いません。図に高さを描き直すと、計算のどこで道のりを混ぜたか見つけられます。

もう一つの間違いは、右辺で「出発からの時間に速さを掛けて6から引く」ことです。右辺を下がり始めるのはCに着いた後です。まず出発からの時間からC到着時刻を引き、その区間内の時間で下がった距離を計算します。負の値が出たら答えにせず、点の位置と引く時刻を戻って調べます。

頂点に着く時刻そのものは、前の区間の終わりであると同時に次の区間の始まりです。どちらの見方でも高さが一致します。両側の計算結果が違うときは、辺の長さ、経過時間、底辺に垂直な方向を順に見直します。

練習問題

どの問題でも点は示された辺に沿って一定の速さで動きます。図の上下左右を自分で描いてから取り組んでください。

1. 長方形JKLMはJが左下、Kが左上、Lが右上、Mが右下です。JKは9 cm、KLは12 cmです。点RはJからK、L、Mの順に毎秒3 cmで進み、Mで止まります。出発から2秒後の三角形JMRの面積を整数のcm²で求めます。
2. 長方形STUVはSが左下、Tが左上、Uが右上、Vが右下です。STは5 cm、TUは15 cmです。点WはSからT、U、Vの順に毎秒5 cmで進み、Vで止まります。出発から3秒後の三角形SVWの面積を小数のcm²で求めます。
3. 長方形ABCDはAが左下、Bが左上、Cが右上、Dが右下です。ABは12 cm、BCは18 cmです。点PはAからB、C、Dの順に毎秒3 cmで進み、Dで止まります。出発から11秒後の三角形ADPの面積を整数のcm²で求めます。
4. 長方形EFGHはEが左下、Fが左上、Gが右上、Hが右下です。EFは10 cm、FGは14 cmです。点QはEからF、G、Hの順に毎秒2 cmで進み、Hで止まります。三角形EHQの面積が28 cm²になる時刻を、出発からの整数の秒数で全部求めます。

練習問題の答えと道すじ

1. Kへは 9 ÷ 3 = 3 秒で着きます。2秒後はJK上で、高さは 3 × 2 = 6 cm です。底辺JMは12 cmなので、12 × 6 ÷ 2 = 36 cm² です。答えは36 cm²です。
2. Tへは 5 ÷ 5 = 1 秒、さらにUへは 15 ÷ 5 = 3 秒かかります。Uに着くのは4秒後です。3秒後のWは上辺TU上にあり、高さは5 cmです。15 × 5 ÷ 2 = 37.5 cm² です。答えは37.5 cm²です。
3. Bへは 12 ÷ 3 = 4 秒、Cへは 4 + 18 ÷ 3 = 10 秒で着きます。11秒後はCから1秒下がった位置です。下がった距離は 3 × 1 = 3 cm、高さは 12 − 3 = 9 cm です。18 × 9 ÷ 2 = 81 cm² です。答えは81 cm²です。
4. 面積28 cm²に必要な高さは 28 × 2 ÷ 14 = 4 cm です。上がるときは 4 ÷ 2 = 2 秒後です。Fへは5秒、Gへは 5 + 14 ÷ 2 = 12 秒で着きます。下がるときは 10 − 4 = 6 cm を進むので 6 ÷ 2 = 3 秒かかり、12 + 3 = 15 秒後です。上辺の面積は 14 × 10 ÷ 2 = 70 cm² なので、そこで28 cm²にはなりません。答えは2秒後と15秒後です。

表から変化を読むときの確認

基本例題の表を時間順に見ると、面積は0 cm²から24 cm²まで増え、しばらく24 cm²のままになり、最後に0 cm²へ減ります。上辺で点は動き続けていますが、面積は増えません。「点が動く」と「高さが変わる」は別の事柄です。表には位置と高さを別の欄に書くと、動きが止まったという意味ではないことが見えます。

面積の変化を図に表すときも、横に時間、縦に面積を取り、頂点に着く時刻を先に記します。0秒、3秒、7秒、10秒の面積を順に打つと、最初は上がり、次は横に進み、最後は下がります。それぞれの辺では点が一定の速さで進み、高さも一定の割合で変わるか一定なので、隣り合う点を直線で結べます。折れ曲がる時刻が辺の切り替わりと一致するかを見ます。

同じ面積を探すときは、表の端の値も使えます。0 cm²より大きく24 cm²より小さい値なら、上がる区間と下がる区間でそれぞれ一度ずつ通ります。24 cm²なら3秒後から7秒後までの間じゅう成り立ちます。0 cm²なら出発時と到着時です。24 cm²を超える値は、この動きの範囲では現れません。こうした端の確認は、計算後に答えの個数が妥当かを調べる手掛かりになります。

図形の条件が変われば、同じ表をそのまま使えません。たとえば底辺を左側のABに選ぶと、点がAB上にいる間の高さは0 cmです。その後、上辺を進むにつれてABからの距離が増え、右辺では一定になります。どの辺を底辺とするかを最初に丸で囲み、そこに垂直な向きを決めると、問題ごとの違いを整理できます。点の位置を先に描き、その位置から測れる高さを選ぶ順番を守ります。

また、速さの単位にも目を向けます。毎秒2 cmという条件なら、1秒で2 cm、3秒で6 cm進みます。辺の長さをそのまま秒数と読まず、長さを速さで割って時間を出します。出発からの時間を答える問題では、途中の辺に入るまでの時間も足します。計算した時刻がその辺の開始と終了の間にあるか、最後に表へ戻して確かめます。範囲の外なら別の辺の条件を使った可能性があります。

覚えておくこと

• 底辺を決め、そこから点まで垂直に測った長さを高さにします。
• 頂点に着く時刻で区間を分け、各区間で高さの増減を調べます。
• 次の辺では、その辺に入ってからの時間を使います。
• 面積から時刻を探すときは、必要な高さを出し、各区間を調べます。
• 区間の端の値と、面積の単位を確かめます。

家で見守るときの問いかけ

お子さまの答えが合わないときは、先に式を直すより、指定の時刻の点を図に打ってもらいます。点が別の辺にあるなら、頂点までの時間を一緒に表にします。位置が合っているのに面積が違うなら、「底辺から垂直に測る線はどれ」と尋ね、高さを描いてもらいます。

答えをすぐ伝えず、上辺で点を少し横へ動かしたとき高さがどうなるか、お子さま自身の言葉で確かめます。右辺では「いつから下がったか」を続けて問い、出発からの時間との差を本人に書いてもらいます。最後に頂点の前後で高さがつながるか確認すれば、区間を越える点の動きを見失いません。