高校数学I 二次関数の最大最小—定義域の端と頂点を比べて値域まで求める｜武蔵野個別指導塾

頂点が区間外の場合や両端が同じ高さの場合を、平方完成と図から考える二次関数の最大最小です。

よくあるのは、定期テストの復習で、頂点が指定された区間の外にあるのに、その座標を最小値として採用する場面です。放物線全体の形を正しく描けても、使ってよい部分を取り違えると答えは変わります。頂点の座標を求めた後に、定義域の両端と軸の位置を書き込み、どの点が候補になるかを確かめましょう。

どんな形で問われるか

まず、式と閉区間が与えられ、最大値と最小値、それぞれを取るときの x を答える型があります。閉区間は両端を含む範囲です。端の値も代入して比較し、値とそのときの x を取り違えずに書きます。

次に、定義域で動く y の範囲、つまり値域を不等式で表す型があります。最大値と最小値が求まったら、その間の値が放物線上で途切れずに取られることを使います。両端を含むので、値域の不等号にも等号を付けます。

さらに、定義域が実数全体の型もあります。頂点側には最大値または最小値がありますが、反対側には限りがないため、もう一方は存在しません。ここでは固定された区間と実数全体を扱います。軸や区間が文字によって動く場合は扱いません。

軸からの距離で候補を絞る

二次関数を y = a(x − p)² + q と表すと、頂点は (p, q)、軸は直線 x = p です。a が正なら放物線は下に凸で、軸から離れるほど y は大きくなります。a が負なら上に凸で、軸から離れるほど y は小さくなります。これは二乗が 0 以上で、距離が大きいほど二乗も大きくなることから判断できます。

図1のように、下に凸で軸が区間の内部にあれば、頂点が最小値を与えます。最大値は軸から遠い端で取ります。両端が軸から同じ距離なら、両端の値が等しいため、最大値を取る x は2つあります。

一方、軸が区間の外なら、区間内の点は軸の同じ側に並びます。軸に近い端が下に凸の最小、遠い端が最大です。上に凸では大小が逆になります。頂点が端と一致する場合は、その頂点は区間に含まれるので候補にできます。

値と座標の区別も重要です。例えば頂点が (2, -3) なら、頂点で取る値は -3 であり、2 はその値を取る x です。最小値を聞かれて座標をそのまま書くと、何を求めたか伝わりません。指定があれば「x = 2 のとき最小値 -3」と対応させます。

基本例題：頂点と両端を計算する

次の関数について、最大値と最小値、およびそれぞれを取る x を整数で求め、値域を不等式で表してください。

問題：y = x² − 2x − 3、定義域は -1 ≦ x ≦ 4 です。

まず平方完成します。x² − 2x を (x − 1)² にすると定数が 1 増えるので、その分を引きます。

y = x² − 2x − 3

y = (x − 1)² − 1 − 3

y = (x − 1)² − 4

したがって軸は x = 1、頂点は (1, -4) です。係数が正なので下に凸です。-1 ≦ 1 ≦ 4 が成り立ち、頂点は使える部分にあります。二乗は負にならないので、最小値は -4、これを取るのは x = 1 です。

図2のように、最大値は両端を比べます。端を元の式に代入すると、

x = -1 のとき、y = (-1)² − 2 × (-1) − 3 = 0。

x = 4 のとき、y = 4² − 2 × 4 − 3 = 5。

0 < 5 なので、最大値は 5、これを取るのは x = 4 です。距離で見ても、軸 x = 1 から左端まで 2、右端まで 3 ですから、右端のほうが高くなります。両端を計算する方法と、距離で比較する方法は同じ結論に至ります。

答えは、x = 1 のとき最小値 -4、x = 4 のとき最大値 5、値域は -4 ≦ y ≦ 5 です。頂点と右端の間を x が動くと、グラフは切れ目なくつながるので、その間の y も取れます。検算として、元の式に x = 1 を戻すと 1 − 2 − 3 = -4、x = 4 を戻すと 16 − 8 − 3 = 5 です。どちらも指定された区間に入ります。

頂点の値を出したところで計算を終えると、最大値が残ります。逆に、両端だけで比べると、この例の最小値 -4 を見落とします。頂点が範囲内かを先に判定し、それから両端を調べる順序にすると、候補を落としにくくなります。

軸が外にある場合と端が同じ高さの場合

少し難しい例題です。次の関数について、最大値と最小値、およびそれぞれを取る x を整数で求め、値域を不等式で表してください。

問題：y = -2x² + 4x + 1、定義域は 2 ≦ x ≦ 5 です。

平方完成すると、

y = -2(x² − 2x) + 1

y = -2｛(x − 1)² − 1｝ + 1

y = -2(x − 1)² + 3

軸は x = 1、頂点は (1, 3)、上に凸です。ただし 1 は 2 ≦ x ≦ 5 に入りません。したがって 3 をこの区間の最大値にすることはできません。区間は軸の右側にあり、x が大きくなるほど軸からの距離が大きくなります。係数が負なので、値は小さくなります。

左端では y = -2 × 2² + 4 × 2 + 1 = 1、右端では y = -2 × 5² + 4 × 5 + 1 = -29 です。よって x = 2 のとき最大値 1、x = 5 のとき最小値 -29、値域は -29 ≦ y ≦ 1 です。元の式に端の x を代入した結果がそれぞれの値と一致し、両方とも定義域に含まれます。

同じ式の定義域が 1 ≦ x ≦ 5 なら、頂点は左端に重なるので最大値 3 を採用できます。境目では「内部にない」と考えて捨てず、等号を含むかを見ます。反対に、頂点が外にある元の問題では、グラフ全体の最高点と、指定された部分の最高点を分けて考えます。

両端が同じ高さになる場合もあります。一般に軸が区間の真ん中にあれば、両端の軸からの距離が等しく、平方した値も等しいためです。その2点が最大または最小を与えるなら、どちらか片方を省かず記します。等しい高さという事実と、頂点の高さが端より大きいか小さいかは別々に判定します。

実数全体を定義域とすると、例えば y = -2(x − 1)² + 3 は x = 1 で最大値 3 を取ります。軸からいくらでも遠くへ進めるので、y はどこまでも小さくなり、最小値はありません。値域は y ≦ 3 です。端が存在しない範囲に、勝手に端点を作って代入してはいけません。

誤答から区間を取り戻す

誤答の例として、y = (x − 1)² − 2、3 ≦ x ≦ 5 について「最小値は -2」と書いたとします。平方完成された形から頂点 (1, -2) を読むところまでは正しいですが、x = 1 は指定範囲の外です。計算をやり直す前に、頂点を選ぶ条件が抜けていないか調べます。

図3のように、使える範囲は軸の右にあります。軸からの距離は x = 3 で 2、x = 5 で 4 です。下に凸なので近い端で最小、遠い端で最大となり、元の式からそれぞれ 2 と 14 です。修正後は「x = 3 のとき最小値 2、x = 5 のとき最大値 14」と書きます。

別の誤りは、最大値を取る x を求める際、端の値が等しいのに一方だけを書くことです。左右対称の放物線では同じ高さが別々の x に対応します。値が1つであっても、それを取る位置は複数あり得ます。値と位置を別の欄に書き出すと、片方を落としたことに気づきやすくなります。

また、上に凸の式に下に凸の判断をそのまま使うと、軸に近い点と遠い点の大小が逆になります。平方の係数の符号を丸で囲み、最初に開く向きを言葉にしてから候補を比較してください。図が小さくて高さを読み取りにくいときは、端を式に代入した正確な値で決着をつけます。

値域を書く前の点検

最大値と最小値が出ても、値域の両端を逆に並べると意味が変わります。小さい値を左、大きい値を右に置き、その間に y を挟みます。例えば最小値が負、最大値が正なら、負の数のほうが左です。数直線に2つの値を置いてから不等号を記すと、符号の見間違いを修正できます。

閉区間では端点も定義域に含まれ、頂点を使う場合もその x は定義域に含まれます。したがって求めた最大値と最小値は実際に取られます。値域で等号を付ける理由は、単に問題文の不等号を写すことではなく、両端の値を取る x が存在することです。x の範囲と y の範囲は別の量なので、区間の数字をそのまま値域へ移してはいけません。

放物線の図は候補の位置を整理する道具です。手描きの図の高さが正確でなくても、平方完成した式と端への代入で値を決定できます。見た目では左端が高そうでも、軸からの距離が右端のほうが大きいなら、下に凸のときは右端が高くなります。図と計算が食い違ったら、軸の位置とそれぞれの点に対応する x を書き直します。端点の代入では負の数を括弧に入れると、二乗と符号を区別できます。

値を取る x が指定されているかどうかも最後に確認します。例えば最大値が両端で等しいとき、最大値そのものは同じ数ですが、その数を実現する x は2つです。値域の端は重ねて書かず、取る x の答えに両方を記します。これは値の個数と、その値に対応する位置の個数を区別する作業です。

実数全体のとき、端点はありません。下に凸なら頂点が最小となる一方、軸から離れ続けると二乗が限りなく大きくなるため最大値はありません。上に凸なら大小を逆に考えます。大きな数をいくつか試すだけでは極値がない証明にならないので、軸からの距離を制限なく大きくできる理由を添えます。

練習：候補と答えを対応させる

次の4問は、最大値と最小値が存在する場合はその値とそれぞれを取る x を整数または正確な分数で答え、値域を不等式で表してください。存在しないものは「なし」と書きます。

1. y = x² + 4x + 1、-4 ≦ x ≦ 1。
2. y = -x² + 6x − 2、1 ≦ x ≦ 5。
3. y = 2x² − 12x + 7、0 ≦ x ≦ 2。
4. y = -2x² − 2x + 3、x は実数全体。

解答に進む前に、各問で軸の位置、開く向き、採用できる端と頂点をメモしてください。特に実数全体の問では、区間の端を使う手順がそのまま適用できるかを考えます。

練習の答えと道筋

1. y = (x + 2)² − 3 なので、軸は x = -2、下に凸です。頂点は区間内にあり、x = -2 のとき最小値 -3 です。両端では x = -4 のとき 16 − 16 + 1 = 1、x = 1 のとき 1 + 4 + 1 = 6 です。したがって x = 1 のとき最大値 6、値域は -3 ≦ y ≦ 6 です。頂点を元の式に戻しても 4 − 8 + 1 = -3 となります。

2. y = -(x − 3)² + 7 です。頂点は区間内にあり、x = 3 のとき最大値 7 です。両端は軸からともに 2 離れ、x = 1 では -1 + 6 − 2 = 3、x = 5 では -25 + 30 − 2 = 3 です。よって最小値は 3 で、取る x は 1 と 5、値域は 3 ≦ y ≦ 7 です。頂点も元の式で -9 + 18 − 2 = 7 と確かめられます。

3. y = 2(x − 3)² − 11 です。軸 x = 3 は区間の右外にあり、下に凸です。左端 x = 0 は軸から 3、右端 x = 2 は軸から 1 離れています。元の式への代入で左端は 7、右端は 8 − 24 + 7 = -9 ですから、x = 0 のとき最大値 7、x = 2 のとき最小値 -9、値域は -9 ≦ y ≦ 7 です。頂点の -11 は x = 3 が範囲外なので採用しません。

4. y = -2(x + 1/2)² + 7/2 です。二乗は 0 以上なので、x = -1/2 のとき最大値 7/2 を取ります。x を軸から遠ざけると値はいくらでも小さくなるため、最小値はありません。値域は y ≦ 7/2 です。元の式に -1/2 を戻すと -2 × 1/4 + 1 + 3 = 7/2 で、実数という条件にも合います。

最後に残す確認

平方完成で軸と頂点を出し、係数の符号で開く向きを決めます。 頂点が定義域に入るか調べ、閉区間なら両端の値も比べます。 最大値と最小値、それぞれを取る x を対応させます。 値域には取れる端の値を含め、実数全体では存在しない極値も記します。

どこで止まったかを見つける

平方完成の直後に止まるなら、頂点の x 座標と区間の両端を数直線に並べてみます。頂点が外にある図で、その点を答えから外す理由を自分の言葉で説明できるかが目印です。式の変形はできても判定が難しい場合、計算を増やす前に使えるグラフの部分を色分けします。

個別指導で確かめるなら、端が軸から等距離の問と、頂点が端に重なる問をそれぞれ描いてもらいます。前者では値を取る x が2つあること、後者では等号によって頂点が含まれることを、図と式の両方で説明できるかを見ます。最後に元の式へ代入し、得た値と指定された範囲を照合すれば、候補の選び方まで確かめられます。

使える範囲を先に決めると、最大値と最小値の根拠が図に残ります。