中学受験理科のふりこ—条件を一つずつ変えて往復の時間を比べる方法｜武蔵野個別指導塾

片道を数えてしまう場面から、10往復の時間と長さの比較をたどり、数え直すのはふりこです。

ふりこの問題では、まずおもりが出発点へ戻るまでを1往復と数えます。その上で、何往復に何秒かかったかをそろえ、長さや重さのどの条件が変わったかを見ます。計算の前に動く道すじを追うと、時間を半分にしてしまう間違いを防げます。

よくあるのは、小5のお子さまが片道を1往復と数えて時間を半分にしてしまう場面です。左から右に着いたところで「1」と言いたくなりますが、そこから左へ戻って初めて1往復です。スタートの位置と、同じ位置に同じ向きで戻ったところを結びつけましょう。

問われ方には、動きの図から往復数を数えるもの、複数回の時間から1往復の時間を求めるもの、条件の表から時間に関係するものを選ぶものがあります。どの型も、時間の数字だけを先に操作せず、何を数えた数字なのかを確認するところから始めます。表にある値はその問題で与えられた条件として読み、別の長さの時間を勝手に作らないことも大切です。

出発点へ戻る道をたどる

ふりこは、固定した点から糸でおもりをつるし、左右に動くものです。糸を支える点を支点（してん）といいます。ふりこの長さは、支点からおもりの中心までの長さです。糸の見えている部分の長さだけではなく、おもりの中心までを測る点に注意します。

図1のように、左端から出発したおもりは、中央を通って右端へ行き、再び中央を通って左端へ戻ります。左端から右端までが片道、左端から右端を経て左端までが1往復です。右端を出発点とするなら、右端へ戻るまでが1往復です。どちらから出発しても、出発点を決めてから数えます。

動きの途中の中央から数える場合は、同じ中央を通るだけでは足りません。反対向きに中央を通るのは半往復で、元と同じ向きに中央を通ったときが1往復です。同じ場所に着いたかに加えて、進む向きも確かめます。

1往復にかかる時間を周期（しゅうき）といいます。単位は秒です。短い時間を1回だけ測ると、時計を押すタイミングのずれが結果に表れやすくなります。そこで何往復かまとめた時間を測り、その往復数で割って、1往復あたりの平均を求めます。例えば、8往復で12秒なら、12 ÷ 8で1.5秒です。この平均は、測った時間を等しく分けた値です。

比べるときは、ふれ幅を小さくし、糸の伸びや空気の影響などを無視できるものとします。小さいふれ幅では、長さが同じなら、おもりの重さや小さい範囲でのふれ幅を変えても、1往復の時間はほぼ変わりません。長さを長くすると1往復の時間は長くなり、短くすると短くなります。ただし、長さが2倍なら時間も2倍という意味ではありません。

表から1往復の時間を出す

次の表は、同じ小さいふれ幅で動かしたふりこの記録です。糸は伸びず、空気などの影響は無視できるものとします。数字はこの問題の条件です。アとイの1往復の時間を求め、重さによる違いを考えます。

図2のように、アとイでは支点からおもりの中心までの長さをそろえています。小さいふれ幅も同じで、変えたのはおもりの重さです。重さが違う2つの記録の時間を比べれば、その条件で重さが時間にどう関係するかを考えられます。

アの10往復の時間は10秒です。

10 ÷ 10 = 1

アの1往復の時間は1秒です。続いてイも同じ手順で求めます。

10 ÷ 10 = 1

イの1往復の時間も1秒です。2つの時間は同じなので、この記録では重さを変えても1往復の時間は変わっていません。重い方が速く動きそうだと予想しても、表の結果を優先して判断します。

ここで10秒を2で割ると、10往復を2つに分けた5往復分の時間になってしまいます。求めたいのは1往復分なので、記録された往復数の10で割ります。逆に1往復が1秒という条件から10往復の時間を求めるなら、1 × 10で10秒です。割り算と掛け算の向きを、求める量の単位に合わせて選びます。

同じ10往復でも、ストップする場所が違うと記録の意味が変わります。左端を出発点にするなら、左端に戻るたびに1、2と数え、10回目に戻ったところで時間を読みます。途中の右端も通過しますが、そこでは往復数を増やしません。数える場所を先に決めておくと、往復数と秒数の対応が明確です。

もし途中で数えた回数がわからなくなった記録なら、書かれた秒数をそのまま10で割っても正しい平均とは限りません。何往復分かが確認できる記録を使う必要があります。記録が不明なときに数を推測して補うのではなく、その記録からは求められないと判断します。

比べる2行の選び方

別の記録では、長さ、重さ、ふれ幅と時間が次のように与えられています。ふれ幅はどれも小さく、糸は伸びず、空気などの影響は無視します。長さが時間に関係するかを調べる組を選び、その組の1往復の時間を比べます。

カとキは重さとふれ幅が同じで、長さが違います。したがって長さを比べる組に選べます。カは5 ÷ 5 = 1で1秒、キは10 ÷ 5 = 2で2秒です。この記録では、長いキの1往復の時間の方が長いと読めます。

カとクは長さと重さが両方違います。時間が違っても、2つのうちどの条件に注目すればよいか、この組だけでは切り分けられません。一方、キとクは長さとふれ幅が同じで、重さを比べる組です。何を調べるかによって、選ぶ2行が変わります。

表にない長さの時間を求める問題では、その長さについての記録や別の条件が必要です。例えば長さが2倍の記録がないとき、時間も2倍と決めてはいけません。この表では長さが4倍の2行に対して時間が2倍と与えられていますが、そこから表の外のすべての値を四則計算で決めることはできません。

表を比べるとき、同じ欄は読み飛ばしてよいわけではありません。カとキの重さが同じだと確認して初めて、時間の違いを長さの違いに着目して考えられます。ふれ幅も同じ小さい範囲にそろっているかを見ます。条件が書かれていなければ、勝手にそろっていると決めず、比較に必要な情報として確かめます。

また、長さは支点から中心までなので、おもりを付け替えたときも同じ場所まで測ります。糸だけが同じ長さでも、おもりの中心の位置が変われば、ふりこの長さが同じとは限りません。表に書かれた長さがどこからどこまでかを図に戻して確かめると、重さだけを変えたつもりで長さも変わる失敗を見分けられます。

片道の答えをどう直すか

図3のように、左端から右端へ行く時間を1往復の時間とした答えを考えます。左から右までが2秒という条件なら、2秒という答えは片道の時間です。左端に戻るまでの全体を数えると、同じ小さいふれ幅で左右の片道がそれぞれ2秒なら、2 + 2 = 4で1往復は4秒です。

間違いの原因は、右端を終点と見て、戻る道を数え落としたことです。出発点に丸をつけ、矢印を右端まで、さらに左端まで指でたどります。出発点に戻ったところで1と数え直すと、答えが4秒になる理由を説明できます。

もう1つの誤りは、長さと重さを同時に変えた2行から、長さだけが原因だと決めることです。まず表の各列に目を通し、変わった条件に印をつけます。印が2つなら、調べたい条件以外をそろえた別の組を探します。別の組がなければ、その2行だけでは原因を分けられないと答えます。

測った時間が記録されていない場合も、答えの数字を補ってはいけません。往復数があっても、時間がなければ割り算の元になる数がないからです。反対に時間だけがあり往復数が不明な場合も、1往復の平均は求められません。何の情報が欠けているかを言葉にすることが、表を読むときの確かめになります。

時間の表に単位が混ざるときも、計算前にそろえます。たとえば1分は60秒ですから、分で書かれた時間と秒で書かれた時間を比べるなら、同じ単位に直します。単位を付けずに数字だけを比べると、時間の長短を逆に読むことがあります。

1往復の時間と、まとめて測った時間の区別も必要です。往復数が違う2つの記録では、合計時間だけでは比べられません。それぞれの合計をそれぞれの往復数で割り、1往復あたりをそろえてから比較します。割る数を取り違えたときは、答えに往復数を掛けると元の合計に戻るかで点検できます。

自分で確かめる4問

どの問題もふれ幅は小さく、糸は伸びず、空気などの影響は無視できるものとします。時間は各問題の条件です。先に道すじや表を書いてから、下の答えと照らしてください。

1. おもりが右端から左端へ行き、右端に戻るまでに6秒かかりました。右端から左端までには3秒かかります。1往復の時間は何秒ですか。
2. あるふりこは12往復するのに18秒かかりました。1往復あたりの平均は何秒ですか。また、同じ動きが続くとき4往復には何秒かかりますか。
3. 記録サは長さ36 cm、重さ15 g、10往復12秒、記録シは長さ36 cm、重さ45 g、10往復12秒です。ふれ幅は同じです。重さと1往復の時間について、この記録から何がいえますか。
4. 記録スは長さ36 cm、重さ15 g、記録セは長さ64 cm、重さ45 gです。ふれ幅は同じですが、それぞれの時間は記されていません。長さが時間に及ぼす影響を、この2行の比較結果から確かめられますか。理由も答えてください。

答えと道すじ

1. 答えは6秒です。右端から左端で終わらず、出発した右端へ戻るまでが1往復です。3秒はその途中までの時間で、問題に与えられた6秒が行きと帰りを含む時間です。出発点に戻った位置で数えたかを確かめます。

2. 答えは1往復あたり1.5秒、4往復で6秒です。18 ÷ 12 = 1.5で平均を求め、1.5 × 4 = 6とします。18秒を4で割るのではなく、まず12往復に対応する数で割ります。後半は同じ動きが続く条件を使って、1往復分を4回分にしています。

3. 答えは、この記録では重さを変えても1往復の時間は変わらない、です。どちらも12 ÷ 10 = 1.2で1.2秒です。長さとふれ幅が同じなので、重さの違う2行を比べられます。10往復の時間が等しいことと、往復数も等しいことを両方使っています。

4. 答えは確かめられません。2行では長さと重さの両方が違う上、時間も示されていません。長さの影響を記録から調べるには、重さとふれ幅をそろえ、長さを変えた時間の記録が必要です。一般に長いふりこは時間が長くなりますが、この2行にない時間を読み取ったことにはなりません。

問題文に「平均」とあれば、測った全体の時間と回数の組を確認します。途中で止まった記録や、どこから数え始めたか不明な記録は、そのまま同じ方法で比べられません。数字を計算する前に、同じ意味の記録かを見ることが答えの根拠になります。

持ち帰る4行

• 1往復は、出発した位置に同じ向きで戻るまでです。
• 複数往復の時間を往復数で割ると、1往復あたりの平均になります。
• 小さいふれ幅では、長さが長いほど1往復の時間は長くなります。
• 条件を比べるときは、調べたいもの以外をそろえます。

お子さまと表を見るとき

答えが半分になったら、すぐに計算式を直す前に、出発点からどこまで数えたのかを図の上で指してもらいます。反対側に着いたところで止まったなら、帰り道をたどり、出発点に戻るまでを1つのまとまりとして数え直します。中央から始めた場合は、通る向きにも目を向けます。

条件を選ぶ問題では、保護者が組を先に示す代わりに、調べたい列と、それ以外の列に印をつけるよう促します。時間が書かれていない表なら、計算できる数を探す前に、何が足りないかを一緒に確かめます。ふりこの表は、変えた条件とそろえた条件が見えると読みやすくなります。