中学受験理科のてこのつり合い—支点からの距離と重さを表にして解く基本手順｜武蔵野個別指導塾

おもり同士の間隔に、支点までの長さを足して距離を読み直します。左右に複数のおもりがある場合も、働きの合計でつり合いを判断します。

よくあるのは、棒につるしたおもり同士の間隔を、そのまま支点からの距離として計算する小5の場面です。近くに書かれた数字を使いたくなりますが、棒を回そうとする働きを比べるときの出発点は、いつも支点です。支点からそれぞれのおもりまでの距離を取り直すと、どの重さにどの長さをかければよいか見えてきます。

問い方には、片側のおもりの重さを求める型、つり合う位置を求める型、左右に複数のおもりがあるときに不足分を求める型があります。いずれも、まず一つずつ「重さ」と「支点からの距離」を組にします。その積を左右で比べることが、答えへの道筋です。

図を見たときは、数字の大小だけで左右を判断しないでください。軽いおもりでも支点から遠い位置にあれば、重いおもりとつり合うことがあります。棒を傾ける働きは重さと距離の両方に関係するからです。表を作り、どの値がどのおもりに対応するかを残せば、途中で計算をやり直すときも場所を見失いません。

支点を始点にして距離を読む

てこは、棒を支える点を中心として、棒を傾ける働きを考える仕組みです。棒を支える点を支点（してん）といいます。おもりをつるして力を加える位置は力点（りきてん）です。物を動かす位置を作用点（さようてん）と呼ぶこともありますが、ここではおもりが棒を傾ける働きを左右で比べます。

図1のように、左右のおもりから支点までの距離をそれぞれ測ります。距離は棒に沿って測り、おもりの間の距離ではありません。図の左側では、支点から近いおもりまでが 2 cm、近いおもりから遠いおもりまでが 3 cm です。遠いおもりまでの距離は 2 + 3 で 5 cm になります。

図1の近いおもりと遠いおもりは、同じ左側にあります。どちらも左側を下げようとするので、後でそれぞれの働きを足します。左右に分ける境目はおもりの並び順ではなく支点です。支点の反対側にあるおもりは、反対向きに棒を傾けようとします。

棒が水平につり合うとき、左側の「重さ × 支点からの距離」の合計と、右側の同じ合計が等しくなります。重さは g、距離は cm でそろえて計算します。積は、棒を傾ける働きを比べるための数として扱い、重さそのものと混同しないようにします。

以下の問題では、棒と糸の重さを無視し、支点の摩擦（まさつ）もないものとします。おもりはそれぞれの位置で下向きに棒を引きます。この条件がなければ、棒の重さなどの働きも考える必要があり、下の計算だけでは判断できません。問題文の条件を初めに確認しましょう。

片側の重さを求める

水平な棒の左側で、支点から 6 cm の位置に 40 g のおもりをつるします。右側の支点から 8 cm の位置におもりをつるして水平につり合わせます。右のおもりは何 g でしょうか。棒と糸の重さと摩擦は無視します。

図2のように、まず支点から左右に距離を測り、重さと同じ行に書きます。右の重さはまだわからないので空欄にして、わかる左側から順に計算します。

左側の働きは次のようになります。

40 × 6 = 240

水平につり合うので、右側の働きも 240 です。右側は重さに 8 cm をかけた数ですから、重さを求めるには 240 を 8 で割ります。

240 ÷ 8 = 30

答えは 30 g です。図2の右のおもりが左より軽いのは、右の距離が左より長いことと対応しています。最後に 30 × 8 = 240 と戻してみると、左右の働きが等しいことを確かめられます。

ここで 240 を答えの重さとしてしまうと、距離をかけた分が残ったままです。表の最後の列は重さではなく、傾ける働きの比較に使う数です。求めるものが g なのか cm なのか、問題の最後に戻ってから割り算を選びましょう。

距離を求める問いでも考え方は同じです。先に反対側の働きを求め、つり合わせたい側の重さで割ります。重さを求めるときは距離で割り、距離を求めるときは重さで割る、と相手の量を見分けます。数を暗記してあてはめるより、表の空欄がどこかを見た方が確実です。

表を書いた後に、式の意味を言葉で言い直してみます。左で得た 240 は、右側につるすおもりの重さではなく、右側にも必要な働きです。右の距離を使って初めて、そこにつるす重さへ戻せます。この順番は、棒の左右を入れ替えた問題でも変わりません。わかる側から働きを出し、つり合う側の空欄を埋めます。

図の距離の数字に単位が異なるものがあれば、かけ算の前に単位をそろえます。たとえば一方が m、もう一方が cm なら、両方を cm に直してから表に入れます。直さずに数字だけを比べると、同じ長さでも異なる数として扱ってしまいます。棒の長さ全体が書かれている場合も、支点が中央とは限らないため、それぞれの位置までの距離を確認します。

同じ側におもりが増えたら

棒の左側で、支点から 4 cm の位置に 30 g、支点から 10 cm の位置に 20 g のおもりをつるします。右側では支点から 6 cm の位置に 20 g のおもりをつるし、さらに支点から 5 cm の位置にもおもりをつるして水平につり合わせます。追加するおもりは何 g でしょうか。棒と糸の重さと摩擦は無視します。

この問題では左側に2個、右側にもすでに1個のおもりがあります。求めるおもりの働きが、左側の合計と同じになるわけではありません。右側にあるおもりの働きも、左側に対抗する分に入るためです。

左側の働きの合計は、120 + 200 = 320 です。右側ですでに 120 があるので、追加分に必要な働きは 320 − 120 = 200 です。追加分の距離は 5 cm ですから、200 ÷ 5 = 40 となり、答えは 40 g です。

確かめると、右側は 20 × 6 + 40 × 5 = 120 + 200 = 320 です。左側の合計と一致します。同じ側の働きを足す段階と、左右の不足分を求める段階を分けると、足すべき数を引く間違いを防げます。

もし問題が「右の既存のおもりを取り外し、追加分だけでつり合わせる」と変われば、右側に 120 は残りません。必要な働きは左側の合計のままです。「残す」「取り外す」という言葉は計算に入る前に図に反映します。反対に、追加分が左側にあるなら左側の合計に足すため、右側がどれだけ必要かを改めて考えます。

左右の合計が違う状態では、働きの大きい側が下がろうとします。ただし上の解答は、水平につり合う条件を使った計算です。棒の動きが途中で止まるか、どこまで傾くかまで、この表から決めることはできません。

間隔を距離に取り違えたとき

図3のように、左側の近いおもりが支点から 2 cm、遠いおもりがそこからさらに 3 cm の位置にあるとします。遠いおもりまでの距離を 3 cm として重さにかけるのが誤りです。3 cm はおもり同士の間隔で、支点から遠いおもりまでの道のりの一部分だからです。

図3では、支点から近いおもりまで進み、そこから遠いおもりまで進むことで、2 + 3 = 5 cm と読み直します。遠いおもりが 10 g なら、誤った働きは 10 × 3 = 30、正しい働きは 10 × 5 = 50 です。重さは同じでも、使う距離が違えば比べる数が変わります。

もう一つの誤りは、先に重さだけを合計し、その合計に片方の距離をかけることです。異なる位置にあるおもりは、それぞれの距離が違います。先に一つずつかけてから同じ側の積を足しましょう。同じ位置につるしたおもりなら距離は共通ですが、図を確かめずに距離を共通と決めることはできません。

表に書く距離が見つからないときは、支点に印をつけ、そこから対象のおもりまで指でたどります。問題に書かれた長さが区間ごとの長さなら、必要な区間を足します。逆に支点からの全体の距離がすでに書かれていれば、途中の間隔をもう一度足してはいけません。数字がどの2点の間を示すかが判断の分かれ目です。

複数のおもりの問題では、表の行をおもりの数だけ作ると整理しやすくなります。左右それぞれの合計欄は、すべての行の積を出してから作ります。途中でおもりを動かした場合は、動かす前の距離をそのまま残さず、動かした後の支点からの距離を書き直します。重さが変わらなくても、位置が変われば傾ける働きは変わるからです。

求めた答えが正しそうかを、計算とは別の見方でも点検できます。同じ働きが必要なら、支点から遠い位置では近い位置より軽い重さで足ります。ただし複数のおもりがある場合は、ほかのおもりが受け持つ働きを先に除いて比べます。この見通しは計算結果の点検に役立ちますが、数値の答えは左右の合計から求めます。

自分で確かめる4問

各問とも棒と糸の重さを無視し、支点の摩擦はないものとします。おもりは下向きに棒を引き、棒は水平につり合っています。図を描くときは支点を先に記し、それぞれの位置を左右に分けてください。

問1

左の支点から 9 cm の位置に 20 g のおもりがあります。右の支点から 3 cm の位置につるすおもりは何 g ですか。

問2

左の支点から 7 cm の位置に 24 g のおもりがあります。右側に 28 g のおもりをつるすとき、その位置は支点から何 cm ですか。

問3

左側には、支点から 3 cm に 50 g、支点から 8 cm に 25 g のおもりがあります。右側には支点から 5 cm に 30 g のおもりがあり、さらに支点から 4 cm の位置におもりを加えます。加えるおもりは何 g ですか。

問4

左側に2個のおもりがあり、近いおもりは支点から 4 cm、遠いおもりは近いおもりからさらに 7 cm の位置にあります。遠いおもりの重さは 12 g です。この遠いおもりの傾ける働きを求めるとき、12 にかける距離は何 cm ですか。また、その働きはいくつですか。

答えと道筋

問1の答え

60 g です。左側の働きは 20 × 9 = 180 です。右側にも 180 が必要で、距離が 3 cm なので、180 ÷ 3 = 60 と求めます。確かめは 60 × 3 = 180 です。重さだけを見ると右が大きいものの、右は支点に近いためつり合います。

問2の答え

6 cm です。左側は 24 × 7 = 168 です。右の 28 g にかける距離を求めるので、168 ÷ 28 = 6 とします。28 × 6 = 168 となり、左側と同じです。問1と違って求めるものが距離なので、答えには cm をつけます。

問3の答え

50 g です。左の近いおもりは 50 × 3 = 150、遠いおもりは 25 × 8 = 200 で、左の合計は 350 です。右の既存のおもりは 30 × 5 = 150 なので、追加分に必要な働きは 350 − 150 = 200 です。200 ÷ 4 = 50 となります。右全体を 150 + 50 × 4 = 350 と確かめれば、既存のおもりを数え忘れていないことも確認できます。

問4の答え

かける距離は 11 cm、働きは 132 です。支点から近いおもりまでの 4 cm と、その先の 7 cm を足して 4 + 7 = 11 cm です。遠いおもりに対応する計算は 12 × 11 = 132 です。近いおもりの重さは、この遠いおもり一つの働きを求めるためには必要ありません。左右全体のつり合いを調べるなら、近いおもりの働きも必要です。

覚えておくこと

棒と糸の重さ、摩擦を無視する条件を確かめます。
各おもりの距離は支点から測ります。
重さと距離をかけ、同じ側の働きを足します。
水平につり合うとき、左右の合計は等しくなります。

お子さまが途中で迷ったら

答えが合わないときは、すぐに割り算を教える前に、お子さまが図のどこを距離として読んだか尋ねてみてください。おもり同士の間を指したなら、支点に印をつけ、そこから対象のおもりまでをたどり直します。必要な区間を足せたら、その距離と重さを表の同じ行に書きます。

距離は合っているのに答えが違う場合は、各行の積を左と右に分けて囲みます。同じ側を足した後、反対側にすでにある働きを見落としていないかを確かめます。最後に求めた値を元の位置に戻し、左右の合計が等しいかをお子さま自身に比べてもらいます。支点から引いた線が、計算の意味を見失わない目印です。