中学受験理科のばねののび—全長との違いを区別しておもりの重さを求める｜武蔵野個別指導塾

自然長8cmを全長から引き、のびの比からおもりの重さを逆算します。追加した重さと最後の合計も区別できます。

ばねの問題では、長さを見たらすぐに倍にするのではなく、その長さが「もとの長さ」か「増えた分」かを見分けます。おもりの重さと比べるのは、増えた分である「のび」です。全長が与えられたときは、まずおもりをつるさない長さを引きます。

よくあるのは、小4のお子さまが、ばねの全長を2倍にして答えを出すという場面です。もとの長さまで2倍にすると、増えた部分を正しく比べられません。紙にばねを2本並べ、上端をそろえて下端の差を見ると、どこを比べるかが見えてきます。

問題の出方は、主に3つあります。おもりの重さから全長を求める型、全長からおもりの重さを逆に求める型、表の空らんをうめて条件の違いを読む型です。どの型でも、自然長とのびを分けるところから始めます。以下の数値は、各問題に与えた条件です。

どこからどこまでがのびか

おもりをつるしていないばねの長さを、自然長（しぜんちょう）といいます。おもりをつるして静かに止まったとき、ばねそのものの上端から下端までを全長とします。おもり自体の長さは、ばねの全長に入れません。上端が同じ高さになるように図を見れば、下端が下がった分がのびです。

図1のように、自然長が8cmで、つるした後の全長が11cmなら、のびは11 − 8で3cmです。全長は自然長とのびを合わせた長さですから、反対に全長を求めるときは、8cmにのびを足します。3cmはばねの下のほうに付け足された別のばねではなく、もとの長さから増えた量を表します。

ここで使う比例（ひれい）とは、おもりの重さが2倍、3倍になると、のびも2倍、3倍になる関係です。重さが半分なら、のびも半分です。ただし、どのばねでも無条件に使えるわけではありません。以下は、同じばねについて、問題で扱う範囲が弾性（だんせい）の限界（げんかい）内で、重さとのびが比例すると与えられている場合です。弾性とは、形を変える力を取り去るともとに戻ろうとする性質です。限界をこえるほど大きな力を加えると、もとに戻らないことがあります。

限界内であることと、比例する範囲であることを問題の条件として確かめます。ばねによっては、はじめから単純な比例にならないものもあります。表の一部がそろっていても、範囲の外まで勝手に関係を広げません。重さはg、長さはcmでそろえ、表の見出しが全長なのかのびなのかを読みます。

例題　全長から重さを見つける

あるばねの自然長は8cmです。このばねにおもりをつるすと、重さが40gのとき全長は11cmになりました。同じばねに別のおもりをつるしたところ、全長は17cmでした。別のおもりの重さは何gですか。どちらもばねが静止し、弾性の限界内で、重さとのびは比例するものとします。

図2では、3つのばねの上端をそろえています。自然長の下端から、それぞれの下端までの差を見てください。下の表には、問題で与えられた値と、これから求める値を分けて書きます。

はじめに、40gのときののびを求めます。

11 − 8 = 3

40gで3cmのびます。次に、別のおもりをつるしたときののびを求めます。

17 − 8 = 9

9cmは3cmの何倍かを調べます。

9 ÷ 3 = 3

のびは3倍です。比例する条件なので、おもりの重さも3倍です。

40 × 3 = 120

答えは120gです。最後に、40gと120gの比が1対3、3cmと9cmの比も1対3になっているかを確かめます。17cmを11cmと比べるのではなく、それぞれから同じ8cmを引いた後の値で比を作ることが、答えにつながります。

表の0gの行も見てください。おもりがなくても全長は0cmではなく8cmです。一方、のびは0cmです。比例の表を作るとき、この出発点が違うため、全長の列をそのまま比例の列として扱えません。表を埋めた後も、全長が自然長より短くなっていないか、求めた重さがのびの増減と同じ向きに変わっているかを見直します。

途中から増えた分を使う問題

次のばねは、自然長が6cmです。30gのおもりをつるすと全長が10cmになり、さらにおもりを加えると全長が18cmになりました。加えたおもりは何gですか。この範囲は弾性の限界内で、同じばねの重さとのびは比例し、おもり以外の重さは考えません。

求めるのが「最後にかかっている重さ」なのか「後から加えた重さ」なのかが分かれ目です。最初ののびは10 − 6で4cm、最後ののびは18 − 6で12cmです。12 ÷ 4 = 3なので、最後の重さは30 × 3 = 90gです。そこには最初の30gも含まれています。加えた分は90 − 30 = 60gです。

別の道筋でも確かめられます。全長の増加は18 − 10 = 8cmです。自然長が変わらないので、これはのびの増加と同じです。4cmののびに30gが対応するため、増加した8cmはその2倍、加えた重さも30 × 2 = 60gです。この方法は、同じばねの同じ範囲で比例するという条件があるときに使えます。

最後の全長から最初の全長を引く計算と、全長から自然長を引く計算は意味が違います。前者は途中で増えた分、後者はおもりをつるしてからののび全体です。どちらも引き算ですが、求めたい重さに対応する長さを選びます。90gと答えてしまったら、それが最後の合計を表していることを表の横に書き、問題文の「加えた」に線を引いて戻ります。

間違えた答えを図で直す

基本の例題で、全長11cmを3倍して33cmにすればよい、と考えたとします。40gから120gへの変化に注目できていますが、11cmには自然長8cmも入っています。自然長はおもりを増やしても同じなので、3倍する対象には入れません。

図3のように、11cmを8cmと3cmに分けます。3倍するのは3cmの部分です。3 × 3 = 9で、最後に自然長を足すと8 + 9 = 17cmです。全長を求める問題なら、のびを求めて終わらず、自然長を戻します。

逆に全長から重さを求めるとき、17cmをそのままのびと読む間違いもあります。自然長8cmを引けば9cmです。図に上下の端を描き、8cmの位置に印をつけると、引く理由が見えます。計算の途中に単位と「全長」「のび」の名前を添えておくと、同じcmでも取り違えに気づきやすくなります。

表の数を使うときにも注意があります。40gと11cmを組にしたまま、別の行ののび9cmと比べても、全長とのびが混ざっています。まず両行をのびにそろえます。また、ばねが別のものに変わった場合は、同じ重さでも同じだけのびるとは限りません。問題が同じばねを使っているかを先に見ます。

表の空らんから始めるとき

全長の表が与えられたときは、余白に「のび」の列を新しく作ります。自然長が同じなら、各行の全長からその自然長を引きます。重さが増えた行ほどのびも増えているかを見て、比を作る前に読み間違いを探します。全長と重さの数値を同じ行で対応させることも大切です。別の行の値を組み合わせると、計算が正しくても求めたい関係にはなりません。

表に自然長が直接書かれていない場合は、0gのときの全長が示されているか確認します。0gでのびは0cmですから、その行の全長が自然長です。0gの行も自然長もなく、ほかの条件から決められない場合は、勝手に自然長を0cmと置きません。必要な条件があるかどうかを判断することも、表を読む手順の一部です。

長さの単位がそろっていないときは、引き算の前に同じ単位へ直します。たとえば1cmは10mmです。重さも同じ単位にそろえ、計算した答えには問題が求める単位を付けます。数だけを書いて終えると、何を求めたのか見直しにくくなります。最後に、全長は自然長とのびを足したものだと確認してください。

答えが条件と合うかを逆向きにたどることもできます。求めた重さからのびを計算し、自然長を足して問題の全長に戻るかを見ます。戻らなければ、比を取った2つの値がどちらものびだったか、もう一度表の見出しを確かめます。

自分で確かめる3問

次の各問では、ばねはそれぞれ同じものを使い、静止した状態を考えます。扱う範囲は弾性の限界内で、おもりの重さとのびは比例します。自然長は、おもりをつるしていないばねの長さです。まず答えを見ずに、全長とのびを分けて書いてみましょう。

問1

自然長が7cmのばねに20gのおもりをつるすと、全長は9cmになりました。このばねに60gのおもりをつるすと、全長は何cmになりますか。最初のおもりを取り外してから60gをつるすものとします。

問2

自然長が5cmのばねに50gのおもりをつるすと、全長は10cmになりました。このばねに別のおもりをつるすと全長は20cmでした。別のおもりの重さは何gですか。

問3

自然長が9cmのばねに40gのおもりをつるすと、全長は12cmになりました。さらにおもりを加えたところ、全長は21cmになりました。後から加えたおもりの重さは何gですか。

答えと道筋

問1の答え　13cm

20gのときののびは9 − 7 = 2cmです。重さは60 ÷ 20 = 3で3倍ですから、のびも2 × 3 = 6cmです。求めるのは全長なので、自然長を足して7 + 6 = 13cmです。6cmで止めると、増えた分だけを答えたことになります。

確かめると、20gに対応するのび2cmと、60gに対応するのび6cmは、どちらも3倍の関係です。全長の9cmと13cmは3倍ではありませんが、自然長が共通して含まれるため、ここで比例しなくても問題ありません。全長に名前を書いてから答えると、問われたものを最後に確かめられます。

問2の答え　150g

50gをつるしたときののびは10 − 5 = 5cmです。別のおもりでは20 − 5 = 15cmのびています。15 ÷ 5 = 3なので、のびは3倍です。比例する重さも3倍になり、50 × 3 = 150gです。

20cmと10cmを比べて2倍とすると、自然長を含む全長どうしの比になります。重さに対応する比は15cmと5cmで作ります。求めた150gを使えば、50gの3倍なのでのびは15cm、自然長を足して20cmに戻り、問題の条件と一致します。

問3の答え　120g

最初ののびは12 − 9 = 3cmです。最後ののびは21 − 9 = 12cmです。12 ÷ 3 = 4なので、最後にかかる重さは40 × 4 = 160gです。後から加えた重さは、最初の分を引いて160 − 40 = 120gです。

増加分からも確認します。全長の増加は21 − 12 = 9cmで、最初ののび3cmの3倍です。増えた重さは40 × 3 = 120gとなります。160gは最後の合計、120gは追加分です。数字の横に「合計」「追加」と記すと、問題がどちらを聞いているか確かめられます。

手元に残す4行

• 比べる前に、全長から自然長を引いてのびを出します。
• 同じばねで、弾性の限界内かつ比例する条件を確かめます。
• 重さとのびの比をそろえ、全長には最後に自然長を足します。
• 追加した重さを聞かれたら、最後の合計から最初の重さを引きます。

家で見守るとき

お子さまが答えを間違えたら、先に計算の速さを直すより、書いた数が全長とのびのどちらを指すか尋ねてみてください。全長をそのまま倍にしているなら、自然長の下端に印をつけ、そこから増えた部分を別の色で囲みます。問いを読み直して、最後に必要なのが全長なのびなのか、合計の重さか追加の重さかを確認します。

途中式を大人がすべて書く代わりに、表の空らんを1つずつ埋めてもらうと、どこで取り違えたかが見えます。正しい答えが出た後も、重さとのびの比が対応するか、自然長を足し忘れていないかを本人の言葉で確かめます。ばねの下端に引いた1本の印が、全長とのびを分ける目印になります。