中学受験理科のとつレンズ—物とレンズの位置からスクリーンの像を考える｜武蔵野個別指導塾

焦点からの距離と2本の光線を手がかりに、像が映る条件を読み解くのがとつレンズです。

よくあるのは、スクリーンを置けばどの位置でも像が映ると思う小6の場面です。光がスクリーンに届くことと、物のそれぞれの点から出た光がそこで集まり、はっきりした像を作ることは別です。まず物とレンズの位置を見て、次に光の道筋を引き、交わる場所を探します。

問題の出方には、光線を作図して像の位置と向きを答える型、物を動かしたときの像の変化を比べる型、スクリーンに像ができない場合の理由を選ぶ型があります。どれも、焦点（しょうてん）を目印にして考えます。レンズを通った光が実際に集まるのか、光を後ろへ延長すると交わるのかで、答えが分かれます。

光の道を描く前の目印

中央が厚く、まわりがうすいレンズをとつレンズといいます。レンズの中心を通る、図の左右方向の線を光軸（こうじく）と呼びます。光軸に平行な光がレンズを通った後に集まる点が焦点です。焦点はレンズの両側にあり、中心からそれぞれ同じ距離にあります。この距離を焦点距離（しょうてんきょり）といいます。

図1のように、物を左に置いて右へ進む光を考えます。物の先から出る光のうち、光軸に平行な光はレンズを通った後、右の焦点を通ります。また、レンズの中心を通る光は、薄いレンズの作図ではそのまま直進すると考えます。この2本が実際に交われば、その場所に物の先の像ができます。

図1の物の根元は光軸上にあり、像の根元も光軸上にあります。先の交点から光軸までを像として描くと、上下が逆になっています。光が実際に集まってできる像を実像（じつぞう）と呼び、そこにスクリーンを置くとはっきりした像を受けられます。図は薄いレンズと、光軸近くを通る光を使った標準的な作図です。レンズの厚さを細かく考える必要はありません。

スクリーンを交点より手前や奥に置くと、光は届いても一点に集まりきらず、ぼやけます。レンズに光が通ることだけで、どの位置にも鮮明な像ができるとは言えません。物の先の2本を描いて終わらず、交点にスクリーンを置いたかまで見ることが重要です。

同じ大きさの像ができる配置

次の条件で紙の上に作図します。薄いとつレンズの焦点距離は10 cmです。光軸上のレンズの中心から左へ20 cmの位置に、高さ4 cmの矢印を立てます。矢印の根元は光軸上です。右側にできるはっきりした像の位置をレンズからの距離の整数で、像の高さを整数で答え、向きも答えます。

図2は、横の距離に対して高さを大きく示した模式図です。紙に作図して像の位置と高さを測るときは、横の距離も縦の高さも同じ縮尺でとります。はじめに焦点をレンズの中心から左右へ10 cmずつ離して記します。次に左の20 cmの点から上へ4 cmの矢印を描き、その先を光の出発点とします。

2本は右の焦点より先、レンズから20 cmの位置で交わります。像の先は光軸の下にあり、下向きの実像です。次のように、中心を通る直線が作る三角形を左右で比べると、位置と大きさを確かめられます。

物からレンズまでの距離：20 cm

レンズから像までの距離：20 cm

左右の横の長さの比：20 : 20 = 1 : 1

像の高さ：4 cm × 1 = 4 cm

答えは、レンズの右20 cm、下向き、高さ4 cmです。左右の三角形は形が同じで横の長さも同じなので、高さも同じになります。上下の向きを見落とさないよう、交点が光軸の上か下かを記録します。像の高さは物の先と根元に対応する長さであり、光軸から測ります。

例えばスクリーンを右10 cmの焦点に置くと、平行に入った1本は焦点を通りますが、中心を通るもう1本はそこで交わりません。物の先から来た光がそろう位置を見ていないため、そこを像の先と決めることはできません。焦点と像の位置は同じ意味ではありません。

焦点の内側に物を動かすと

同じ焦点距離10 cmの薄いレンズを使います。今度は高さ4 cmの矢印をレンズの左5 cmに置きます。根元は光軸上です。右側のスクリーンに鮮明な像を受けられるか、またレンズを通して見える像の向きと大きさを考えます。高さは整数で答えます。

物の先から光軸に平行な線をレンズまで引き、そこから右の焦点を通る線を引きます。もう1本は物の先からレンズの中心を通す線です。右へ進む2本は広がり、右側では交わりません。したがって、右のスクリーンをどこに置いても、この物の先からの光を一点に集めた鮮明な像は受けられません。

ここで作図を止めず、レンズから出た2本を左へ点線で延長します。延長線はレンズの左10 cmで交わります。そこから光軸までの高さを、中心を通る線の左右ではなく、左側の大小の三角形で比べます。

物までの距離：5 cm

延長線の交点までの距離：10 cm

距離の比：10 : 5 = 2 : 1

像の高さ：4 cm × 2 = 8 cm

答えは、スクリーンには受けられず、レンズを通して物と同じ側に正立（せいりつ）、つまり上向きの高さ8 cmの像が見えます。光が実際にその場所へ集まったのではなく、レンズを通った光を逆向きに延長すると、そこから来たように見える像です。これを虚像（きょぞう）と呼びます。

分かれ目は物が焦点より外側か内側かです。外側では右へ出た光が交わり、実像をスクリーンに受けられます。内側では右へ出た光が広がり、延長線の交点が虚像になります。焦点より外でも、スクリーンを実像の位置以外に置けば鮮明にはなりません。像ができる条件と、スクリーンの位置が合う条件を分けて読みます。

ちょうど焦点に物の先の真下がある場合は、代表的な2本がレンズの右側で平行になります。限られた距離のところには交点がなく、スクリーンに鮮明な像を受けられません。外側と内側のどちらかに無理に分類せず、焦点上という境界として考えます。

まちがえた線をどう直すか

図3の左では、レンズを出た光がまだ交わっていない位置にスクリーンを置いています。光が当たるので像もはっきりする、と考えるのが誤りです。同じ物の先から出た2本の光がスクリーンの別々の位置に届くため、先の位置が一か所に決まりません。

図3の右のように、物の先からの2本をレンズの後まで延ばし、実際の交点にスクリーンを置き直します。左右の位置だけでなく、交点が光軸の下にあることも確認します。スクリーンを置き直す前に物を動かしてしまうと光路自体が変わるので、どの条件を直したかがわからなくなります。

別の誤りは、虚像の延長線を実際の光の道と見なしてスクリーンを物の側に置くことです。点線は逆向きにたどった補助線です。実線の光が集まる交点か、点線どうしの交点かを線の種類で区別します。スクリーンを置く場所を探す問題では、実際の光が集まるかどうかを先に確かめます。

物が焦点の外にあるのに、中心を通る線をレンズで折り曲げる間違いもあります。薄いレンズの標準的な作図では中心を通る線は直進です。平行な光の方を焦点へ曲げ、2本の役割を交換しないようにします。線が交わらないときは、焦点の側、物の位置、直線の引き方の順に点検します。

物を動かすときの読み取り方

焦点より外側にある物をレンズへ近づけると、実像はレンズから遠ざかり、大きくなります。物を遠ざけると、実像はレンズに近づき、小さくなります。ただし実像の位置は焦点より外側です。これは同じレンズを使い、物を焦点の外側に置いたまま比べる場合の説明です。焦点をまたいで動かすと、実像と虚像の区別から考え直します。

位置の変化を問う問題では、最初の物と像の組を図に残し、新しい物の先から改めて2本の光を引きます。焦点もレンズも動かさないなら、目印の位置はそのままです。新しい交点を前の交点と比べれば、スクリーンをどちらへ動かす必要があるかを判断できます。物と像を対応させると途中の判断を落ち着いて見直せます。

もし図の線が交わる位置まで紙に入りきらないときは、線の向きを勝手に変えず、縮尺を小さくして描き直します。左右の距離と高さを同じ割合で縮めれば、交点の位置関係は保たれます。物を焦点に近づけるほど交点は遠くなり、紙の外になる場合があります。交点が見えないことだけを理由に、虚像だと決めてはいけません。

また、実像の大きさを答えるとき、光の線の長さを測るのではありません。像の根元は光軸上、先は2本の交点です。この2点の間を測ります。物の高さも根元から先までなので、同じ方向の長さどうしを比べられます。像の向きと大きさを別々に書いてから答えにまとめると、下向きという特徴を落としにくくなります。

自分で確かめる問題

どの問題も薄いとつレンズを使い、物の根元は光軸上にあります。距離と高さを問うときは整数で答えます。作図は同じ縮尺で行い、光軸近くを通る代表的な光線を使って考えます。

1. 焦点距離が6 cmのレンズの左12 cmに、高さ3 cmの矢印があります。右側の実像の位置、向き、高さを答えます。
2. 焦点距離が8 cmのレンズの左24 cmに、高さ6 cmの矢印があります。右側の実像の位置と高さ、向きを答えます。光軸に平行な線と中心を通る線を描きます。
3. 焦点距離が12 cmのレンズの左4 cmに物があります。レンズの右側にスクリーンを動かしても鮮明な像を受けられるでしょうか。レンズを通して見える像の種類と向きも答えます。
4. 焦点距離が7 cmのレンズの左7 cmに物があります。右側の限られた距離にあるスクリーンに鮮明な像ができるか、2本の光線を使って説明します。

答えと道筋

1. 右12 cmに、下向き、高さ3 cmの実像です。物は焦点距離の2倍の位置にあります。平行な光を右の焦点へ、もう1本を中心へ通すと、右12 cmで交わります。中心を通る線で作る左右の三角形は横の長さが等しいため、像の高さも3 cmです。

2. 右12 cmに、下向き、高さ3 cmの実像です。左24 cmの物の先から平行に引いた線は右の焦点を通り、中心を通る線と右12 cmで交わります。中心をはさむ三角形の横の長さの比は12 : 24 = 1 : 2です。高さも同じ比なので、6 cm ÷ 2 = 3 cmです。交点が光軸の下にあるため、向きは下です。

3. 受けられません。物は焦点の内側にあり、レンズから右へ進む2本の光は広がります。逆に延ばした線は物と同じ側で交わり、正立の虚像が見えます。虚像の位置に光が実際に集まるわけではないので、その位置にスクリーンを置くという答えにはなりません。

4. できません。物の先から中心へ向かう光と、光軸に平行に進んで右の焦点を通る光は、レンズの右側で平行になります。有限の場所では交わらないため、スクリーンを動かしても物の先からの光を一点に集められません。焦点の内側の虚像とも、外側の実像とも区別します。

覚えておくこと

• 焦点は、光軸に平行な光がレンズを通って集まる点です。
• 薄いレンズでは、中心を通る光を直進として描きます。
• 焦点の外側の物は実像を作り、その位置でスクリーンに映ります。
• 焦点の内側では正立の虚像が見え、スクリーンには受けられません。
• 焦点上では右側の光が平行になり、限られた位置に実像を結びません。

お子さまと図を見直すとき

お子さまがスクリーンの位置を答えられないときは、すぐに数を教えるより、まず物の先から出た2本の線を指でたどってもらいます。焦点を通すのはどちらか、レンズの中心を通すのはどちらかを尋ねると、線の役割が混ざっているのか、交点を読み違えているのかが見えます。

次に、交点が実線上か延長した点線上かを確かめます。実線が交わるなら実像、点線を戻して交わるなら虚像です。焦点上では線が平行になることも、紙の上で確かめられます。距離の計算が合わないときは、比の両方をレンズの中心から測り、像の高さを光軸から測り直します。光の交点を確かめる一手が、像の答えを支えます。