中学受験理科の密度—重さと体積の表から同じ物質かを見分ける手順｜武蔵野個別指導塾

体積の異なる物を1 cm³にそろえて比べると、表から見えてくるのが密度です。

よくあるのは、体積の大きい物を見ると「こちらの密度（みつど）も大きい」と考える小4の場面です。大きなかたまりは同じ物質の小さなかたまりより重くなりますが、それだけでは密度が大きいとは言えません。比べる体積をそろえたとき、どちらが重いかを見ます。

密度の問題では、表に書かれた重さと体積を1組ずつ対応させ、同じ体積あたりの重さに直します。答えの見通しは、まず1 cm³あたりを求め、その値や表の増え方を比べることです。物の大きさと、同じ大きさにしたときの重さを別々に考えましょう。

問われ方には、体積と重さから密度を求める型、密度と体積から重さを求める型、複数の表から同じ物質の可能性を考える型があります。どの型でも、数字だけを急いで計算せず、何の重さと何の体積かをそろえることが出発点です。次に、比べるための物差しを用意します。

1 cm³を物差しにする

体積（たいせき）は、物が占める空間の大きさです。1辺が1 cmの立方体の体積を1 cm³と表します。cm³は「立方センチメートル」と読み、長さのcmとは別の単位です。重さの単位にはgを使います。理科でgやkgで表す量は質量（しつりょう）とも呼びますが、ここでは重さと呼びます。

密度は、物質1 cm³あたりの重さです。たとえば、同じ物質がすき間なく一様につまったかたまりを小さな1 cm³ずつに分けるとします。その1つ分の重さが、g/cm³で表した密度です。g/cm³は「1 cm³あたり何g」という意味で、かたまり全体の重さの単位gとは違います。

図1のように、体積が異なる2つのかたまりも、同じ大きさの小さな区画に分けて考えれば比べる基準がそろいます。図は同じ物質の区画を表し、形の大きさそのものが密度を表すわけではありません。

図1では大きいかたまりに小さい区画が2つあります。温度や状態が同じで、すき間がない同じ物質なら、区画を2つにすると体積も重さも2倍ですが、1つあたりの重さは変わりません。体積が2倍だから密度も2倍、とは考えないのが要点です。

重さがg、体積がcm³で示されたら、密度は「重さ ÷ 体積」で求めます。重さをその体積の1 cm³分ずつに等しく分ける計算です。逆に、密度がわかっていれば「密度 × 体積」で全体の重さが出ます。数字に付いた単位も残しておくと、何を求めたのか確認できます。

表の1組を1 cm³に直す

次の表は、同じ温度で、すき間のない物質Aのかたまりを調べたという問題の条件です。数値は問題のために与えたもので、実在する物質の測定値ではありません。

問いは、物質Aの密度と、同じ条件で体積が20 cm³のかたまりの重さです。まずアの体積と重さを使い、1 cm³あたりに直します。図2のように、4 cm³の重さを4等分すると1 cm³分になります。

順番を追って計算します。

12 ÷ 4 = 3

よって、物質Aの密度は3 g/cm³です。4 cm³全体が12 gであることと、1 cm³あたりが3 gであることを区別します。次に、20 cm³には1 cm³が20個分あります。1個分の重さを20個分にします。

3 × 20 = 60

答えは60 gです。図2の右側のように、密度に体積をかけると、求まるのはかたまり全体の重さです。60 g/cm³と書くと密度になってしまうので、問いの単位を確かめます。

表のほかの行でも確かめます。イは24 ÷ 8 = 3、ウは36 ÷ 12 = 3です。どの行も1 cm³あたり3 gになり、表は同じ物質の条件と合っています。体積が4 cm³から8 cm³へ2倍になると、重さも12 gから24 gへ2倍です。12 cm³の行は4 cm³の3倍で、重さも3倍になっています。

ここで、表の数字をたてに足す必要はありません。まず同じ行の重さと体積を組にして割ります。別の行の重さと体積を組み合わせると、実際にはないかたまりの密度を計算してしまいます。表の行を指でたどり、対になる2つの値を見失わないようにします。

条件を読み替えるときの分かれ目

次は、同じ温度でそれぞれ一様な物質B、C、Dのかたまりを比べます。Bは体積15 cm³で重さ30 g、Cは体積10 cm³で重さ20 g、Dは体積6 cm³で重さ18 gです。問題ではB、C、Dはそれぞれ1種類の物質からなり、内部にすき間はないものとします。この数字を条件として、同じ物質である可能性を考えます。

Bは30 ÷ 15 = 2で、密度は2 g/cm³です。Cは20 ÷ 10 = 2で、密度は2 g/cm³です。Dは18 ÷ 6 = 3で、密度は3 g/cm³です。BとCは体積も全体の重さも違いますが、同じ体積あたりの重さは一致します。したがってBとCは同じ物質である可能性があります。一方、Dは同じ条件で密度が異なるため、BやCと同じ物質ではありません。

ここでの分かれ目は、密度が一致したことを、同じ物質だと必ず決まったことと取り違えない点です。同じ密度の別の物質も考えられるため、密度だけでは物質を確定できません。問題に「候補の密度は互いに異なる」などの追加条件がある場合は、その候補の中で判断できます。条件がないときは「可能性がある」と答えます。

単位が違う表も同じ考えです。1 kgは1000 g、1 Lは1000 cm³です。重さがkg、体積がLで与えられ、答えをg/cm³で求めるなら、両方を直してから割ります。たとえば重さ2 kg、体積500 cm³なら、2 kgを2000 gに直して2000 ÷ 500 = 4となり、密度は4 g/cm³です。kgのままの2をgとして計算すると、1000倍の違いを見落とします。

同じ問題で、体積が0.5 Lと書かれていれば500 cm³に直します。0.5という数字が小さいからといって、単位を付けずに重さの数字と比べることはできません。単位をそろえた後に同じ行の重さを体積で割る、という順を守ります。

間違えた答えを戻して直す

図3のように、同じ物質の体積が2倍になった表で、密度も2倍と答える誤りがあります。たとえば体積3 cm³、重さ6 gのかたまりと、体積6 cm³、重さ12 gのかたまりを比べます。前者の密度は6 ÷ 3 = 2 g/cm³です。後者について4 g/cm³とすると、全体の重さが増えたことを、そのまま1 cm³あたりの増加と取り違えています。

図3の右側では12 ÷ 6 = 2と計算し直しています。体積が2倍なら、同じ物質の重さも2倍です。分ける数と分けられる重さが両方2倍なので、1 cm³分の重さは変わりません。答えを直したら、2 g/cm³に6 cm³をかけて12 gに戻ることも確かめます。

逆の割り算をする間違いにも気をつけます。体積 ÷ 重さでは、1 gあたりの体積を求めることになり、密度の意味と違います。どちらを割るか迷ったら「1 cm³あたりの重さ」と言葉で書き、全体の重さを体積の数で等分します。

もう1つの落とし穴は、容器を含む重さをそのまま使うことです。容器の重さと、容器に物を入れた重さが別々に与えられたなら、先に引き算して中身の重さを求めます。引いた値が中身の体積に対応します。容器の重さまで含めると、同じ体積あたりの中身の重さではなくなります。

表の空らんをどう埋めるか

表の途中に空らんがあるときは、まず同じ行に重さと体積が両方あるか探します。両方がわかる行があれば、そこから1 cm³あたりの重さを求められます。その値を使って空らんの行を考えると、表の中で何が一定なのか見失いにくくなります。

たとえば、ある一様な物質の表で、体積5 cm³の重さが10 g、体積35 cm³の重さが空らんとします。どちらも同じ温度で同じ物質です。10 ÷ 5 = 2なので、1 cm³あたり2 gです。空らんは2 × 35 = 70で70 gになります。体積が5 cm³の7倍なので、重さも10 gの7倍です。2通りの見方で同じ値になります。

一方、重さが70 gで体積が空らんなら、1 cm³あたり2 gずつ何個分あるかを考えます。70 ÷ 2 = 35ですから体積は35 cm³です。かけ算をいつも使うのではなく、表でわかっている量と求める量の組み合わせで選びます。

表の中の別の行が、同じ温度の同じ物質という条件に合わないこともあります。たとえば上の物質に、体積10 cm³で重さ30 gという行が加わったとします。この行は30 ÷ 10 = 3 g/cm³で、先ほどの2 g/cm³と一致しません。与えられた数値が正確だという条件なら、全行が同じ物質を表しているとは言えません。どの行が正しいかまで決める情報はないため、勝手にどちらかを書き換えず、食い違いを答えます。

表の比が途中の行で合わなくても、計算の間違いとは限りません。温度や物質の種類が違うという条件が隠れていないかも読み直します。同じ物質であるという条件と表が合うかを判断する問題では、表を都合よく直すのではなく、条件と数値を照らして説明します。

自分で考える4問

それぞれの数値は問題の条件です。各物質は示された温度で一様で、すき間がないとします。答えを見る前に、重さと体積を対応させて書き出しましょう。

1. 物質Pの小片は体積7 cm³、重さ28 gです。Pの密度は何g/cm³ですか。また、同じ温度のPで体積9 cm³の小片は何gですか。
2. 容器だけの重さは40 g、中に液体Qを入れたときは190 gです。液体Qの体積が50 cm³のとき、Qの密度は何g/cm³ですか。
3. 同じ温度で、物質Rは体積25 cm³、重さ50 g、物質Sは体積30 cm³、重さ90 gです。RとSは同じ物質ですか。理由も書きます。
4. ある物質Tの表には、体積0.2 Lのとき重さ600 g、体積0.4 Lのとき重さ1200 gとあります。密度をg/cm³で求め、表が同じ物質の条件に合うか考えます。

4問の答えと考え方

1. 密度は4 g/cm³、9 cm³の重さは36 gです。28 ÷ 7 = 4で1 cm³あたりを求め、4 × 9 = 36とします。9 cm³の全体の重さを聞かれているので、答えの単位はgです。28 gをそのまま9倍すると、7 cm³分を9個集めた重さになり、求める体積に合いません。

2. 密度は3 g/cm³です。まず190 − 40 = 150で液体だけの重さを出し、150 ÷ 50 = 3とします。容器を含む190 gを割っても、中身の密度にはなりません。最後に3 × 50 = 150で液体の重さに戻ることを確かめます。

3. RとSは同じ物質ではありません。Rは50 ÷ 25 = 2 g/cm³、Sは90 ÷ 30 = 3 g/cm³です。同じ温度の一様な同じ物質なら密度は等しいので、異なる値から区別できます。全体の重さや体積だけで比べず、それぞれの行から1 cm³あたりを出します。

4. 密度は3 g/cm³で、2行は同じ物質の条件に合います。0.2 Lは200 cm³なので、600 ÷ 200 = 3です。0.4 Lは400 cm³なので、1200 ÷ 400 = 3です。体積が2倍の行では重さも2倍になり、1 cm³あたりは変わりません。ただし表が合うことだけで、他の物質との区別がすべて終わるわけではありません。

解く前に残したい目印

• 密度は1 cm³あたりの重さで、重さ ÷ 体積で求めます。
• 同じ温度・状態の一様な同じ物質なら、体積と重さは同じ割合で増えます。
• gとcm³に単位をそろえ、容器の重さは中身から除きます。
• 密度が違えば同じ物質ではありませんが、一致だけでは物質を確定できません。

横で教える方へ

お子さまが「大きいから密度も大きい」と答えたら、すぐに割り算の式を示す前に、表のどの2つの数字を比べたか尋ねてみてください。体積だけを指した場合は、同じ体積にそろえて重さを見ようと伝えます。重さだけを指した場合も、かたまりの大きさが同じかを表に戻って確かめます。

計算を迷うときは、1 cm³が何個分あるかを図にし、全体の重さをその数で分ける順にたどります。答えにgとg/cm³のどちらを付けるかも、問いに戻って選びます。式を覚えたかより、1 cm³分という比べる基準を指し示せるかが、次の表を読む手がかりです。