高校数学I 対偶と背理法による証明—仮定と結論を分けて論理の筋道をつなぐ｜武蔵野個別指導塾

偶奇と無理数の例で仮定から矛盾までをたどり、循環した議論を直すための対偶と背理法。

よくあるのは、定期テストの復習で、証明したい結論を途中の仮定に使ってしまう場面です。たとえば「nが偶数だと示したい」とき、最初からnを2kと置いては、示すべきことを借りています。式が整っていても、その式を使う権利があるかを確認しなければ証明にはなりません。対偶と背理法では、何を仮に認め、どこへ進むのかを明示します。整数の偶奇と無理数を題材に、筋道をたどります。

どの形で問われるか

証明の問題には、整数nについて「ある式が偶数ならばnは偶数」のように、結論を直接取り出しにくい型があります。結論の否定である「nは奇数」から出発すると、元の仮定の否定が示しやすいことがあります。これが対偶を使う型です。整数の偶数でないものは奇数である、という対象の範囲も必要です。

別の型は「ある数が無理数である」と示すものです。有理数だと仮定し、既約な分数で表したところから分子と分母が両方偶数になるなど、仮定に反する結果を導きます。既約とは分子と分母に1以外の正の公約数がないことです。矛盾が出た場所と、どの仮定を否定できるかまで書きます。

もう一つは、途中の証明を点検し、使ってよい条件とまだ示していない条件を区別する型です。正しい数値例をいくつか挙げても、対象の整数すべてについての証明にはなりません。一方、一般の命題に反する値が1つあれば、元の命題は偽です。証明を探す前に、まず小さい値で命題そのものを点検することも役立ちます。

仮定と結論を置く場所

「PならばQ」という命題では、Pが仮定、Qが結論です。対偶は「QでないならばPでない」です。順序を入れ替え、両方を否定します。元の命題と対偶は同時に真または同時に偽なので、対偶を証明すれば元の命題も証明できます。PとQを単に入れ替えた「QならばP」は逆であり、対偶とは異なります。

図1のように、対偶の出発点は結論の否定です。終点は仮定の否定であって、元の結論ではありません。否定は対象の範囲内で作ります。nを整数に限ったとき、「nは偶数でない」は「nは奇数」と言い換えられますが、実数全体を対象にした場合は同じ言い換えができません。

背理法では、示したい主張が成り立たないと仮定し、すでに認めた条件や定義に反する結論を導きます。PならばQを背理法で示す場合は、Pを満たしながらQを満たさないものがあると仮定します。Qの否定を一時的に置くことは、Qそのものを証明前に使うこととは異なります。矛盾したら、その仮定が成り立たないと結びます。

偶数は整数kを用いて2k、奇数は整数kを用いて2k + 1と表せます。負の整数も含まれます。たとえばkが負でも、2kや2k + 1はそれぞれ偶数、奇数です。計算の最後に括弧内が整数であることを書けば、偶奇の判定がどの定義から出たか伝わります。

基本例題：二乗から元の整数へ

問題：nを整数とします。n²が偶数ならばnも偶数であることを、対偶を使って証明してください。答えは文字式を用いた証明で書きます。

元の仮定は「n²が偶数」、結論は「nが偶数」です。対偶は「nが奇数ならばn²が奇数」です。結論を先に認めるのではなく、結論の否定から始めます。図2のように、奇数の式を二乗して、再び奇数の形にします。

証明：nが奇数であると仮定します。このとき、ある整数kを用いて

n = 2k + 1

と表せます。両辺を二乗して展開すると、

n² = (2k + 1)²

= 4k² + 4k + 1

= 2(2k² + 2k) + 1

です。kは整数なので、2k² + 2kも整数です。したがってn²は奇数です。対偶が示されたので、n²が偶数ならばnは偶数です。

この計算は、奇数の二乗が奇数という一般の事実を示しています。たとえばn = -3を代入すればn² = 9で整合しますが、この1例は一般の証明の代わりにはなりません。また、n²が偶数であるという元の仮定は対偶の計算中に使いません。仮定の否定に到達したことが、対偶の証明を終える条件だからです。

途中でn = 2kと置くと、nが偶数であることを初めから認めることになります。結論を使わずに始めるため、元の命題と対偶をそれぞれ一行で書き、その下に使ってよい出発点を記すと点検しやすくなります。n²が奇数ならnが奇数、という別の命題と取り違えないよう、矢印の両端も見比べます。

少し難しい例題：分数にしたときの矛盾

問題：√2が無理数であることを、背理法で証明してください。答えは整数の偶奇を用いた文章で書きます。

証明：√2が有理数であると仮定します。有理数は整数を分子、0でない整数を分母とする分数で表せ、約分を尽くすことができます。よって互いに素な整数a、bを用いて、b > 0として

√2 = a/b

と表せます。両辺を二乗し、b²を掛けると

2 = a²/b²

a² = 2b²

です。bは整数なので、右辺は偶数です。したがってa²は偶数であり、基本例題の結果からaも偶数です。ある整数cを用いてa = 2cと置き、元の等式a² = 2b²に代入すると

4c² = 2b²

b² = 2c²

となります。よってb²は偶数です。同じ結果からbも偶数です。するとaとbはともに2で割れるため、互いに素であることに矛盾します。したがって√2が有理数という仮定は誤りで、√2は無理数です。

ここで必要なのは、単に分子と分母がともに偶数だと得ることではなく、最初に互いに素な形を選ぶことです。約分前の分数なら分子と分母がともに偶数でも矛盾しません。また、a²が偶数からaが偶数への移行には、基本例題で証明した事実を使っています。bにも同じ事実を適用できます。分母が0でない条件は、分数の意味を保つために最初に置いています。

背理法では矛盾を「不自然な値になった」と曖昧にせず、互いに素という条件と共通因数2があるという結果のように、両立しない2つの内容で示します。たとえば√2が小数で終わらないように見えることだけでは、循環小数の可能性を除けず、有理数でない証明にはなりません。

誤答のどこで筋道が止まるか

同じ基本例題に対し、次の答案を考えます。「nは偶数だからn = 2kと置く。するとn² = 4k²で偶数。よってnは偶数」。計算自体は正しいものの、出発点に結論を使っています。実際に導いたのは「nが偶数ならばn²が偶数」という逆向きの命題です。

図3のように、元の問題の矢印と答案が示した矢印を並べると、向きが逆だと見えます。原因は、書きたい終点と使ってよい出発点を区別しなかったことです。修正するときは、nを奇数と仮定し、n²が奇数だと示す対偶へ移ります。証明の最後に元の命題へ戻る一文も添えます。

別の誤りとして、√2 = a/bからaとbが両方偶数になった時点で、分数として存在しないと結論する答案があります。たとえば2/4のように両方偶数の分数は存在します。矛盾するのは、互いに素と選んだことです。条件を最初に書いてから、そこに反することを最後に示します。

また、背理法で「Qでない」と置いた後、矛盾が出る前にQを使ってはいけません。仮定の中で正当化されていない結論を持ち込むと、矛盾を作れても元の主張の証明にはなりません。どの行が定義、問題の条件、すでに示した事実のどれに基づくか、各行の横に印を付けて追うと原因を探せます。

練習：まず命題を分ける

次の4問は、いずれも整数の範囲とします。答えは求められた命題または文字式を用いた証明を、日本語で書いてください。平方根の問題では正の平方根を扱います。

1. 整数mについて「m²が奇数ならばmは奇数」の対偶を作り、その対偶を証明してください。
2. 整数tについて「t² + tが偶数である」ことを、tの偶奇に分けて証明してください。
3. √3が無理数であることを背理法で証明してください。ただし、整数の二乗が3の倍数ならその整数も3の倍数であることは、整数を3で割った余りを調べて示してください。
4. 整数rについて「r²が4の倍数ならばrは4の倍数である」という命題の真偽を調べ、偽なら整数の反例を1つ挙げてください。

練習の解答と確かめ

1. 対偶は「mが偶数ならばm²は偶数」です。mが偶数なら、ある整数kでm = 2kと表せます。するとm² = 4k² = 2(2k²)です。2k²は整数なのでm²は偶数です。よって対偶が真であり、元の命題も真です。元の命題の条件に戻ると、奇数の二乗を持つ整数は偶数ではないので、整数の偶奇の分類から奇数です。結論の否定を奇数のままにしないことが要点です。

2. tが偶数なら、ある整数kでt = 2kです。このときt² + t = 4k² + 2k = 2(2k² + k)で偶数です。tが奇数ならt = 2k + 1と書けるので、t² + t = 4k² + 4k + 1 + 2k + 1 = 2(2k² + 3k + 1)で偶数です。括弧内はいずれも整数です。整数は偶数か奇数なので両方の場合で示せました。元の式でもt(t + 1)と表せ、連続する2整数の一方が偶数であることと一致します。負の整数にもこの場合分けは適用できます。

3. まず整数xの3による余りは0、1、2のいずれかです。x = 3k + 1ならx² = 3(3k² + 2k) + 1、x = 3k + 2ならx² = 3(3k² + 4k + 1) + 1です。どちらも3の倍数ではありません。したがって、x²が3の倍数ならxは3の倍数です。

√3が有理数だと仮定し、互いに素な整数a、bでb > 0として√3 = a/bと書きます。二乗するとa² = 3b²なのでaは3の倍数です。a = 3cと置いて戻すと9c² = 3b²、したがってb² = 3c²です。ゆえにbも3の倍数です。aとbがともに3で割れることは互いに素という条件に反します。よって仮定は誤りで、√3は無理数です。a = 3cを最初の等式へ戻してからbの性質を導くため、分子の性質を分母へ勝手に移していません。

4. 偽です。r = 2とするとr² = 4は4の倍数ですが、r = 2は4の倍数ではありません。反例は整数という範囲を満たし、仮定を満たす一方で結論を満たしません。r = 1のように仮定自体を満たさない値は、この命題の反例にはなりません。2² = 4を元の条件に戻して両方を点検します。

証明を読み返す順番

答案を仕上げる前に、最初と最後をつなぎ直します。対偶なら「元の結論でない」から始まり「元の仮定でない」で終わっているかを調べます。途中に計算が並んでいても、終点が別の文なら目的の証明には届いていません。背理法なら、否定したい主張と矛盾の相手をそれぞれ示します。共通因数が見つかったことだけでなく、互いに素という出発条件に反することまで書きます。

文字の範囲も最後に見直します。偶数と奇数に分ける操作は整数に対して使いました。有理数を分数に直す際は分母が0でないことを確保しました。練習4のように命題が偽の場合には、証明を無理に続けず、仮定を満たして結論を満たさない具体例に戻ります。数を試すことは誤りを発見する助けになりますが、真であることを一般に示すには文字を使った論理が必要です。

手元に残す要点

• 対偶は結論を否定して出発し、仮定の否定へ進みます。
• 背理法は否定を仮定し、既知の条件と両立しない結果を示します。
• 偶奇や既約の定義に戻り、文字が整数であることを確かめます。
• 一例は一般の証明になりませんが、条件を満たす反例は命題を否定します。

書き始めで迷ったとき

答案が止まったら、まず問題の対象に丸を付け、仮定と結論を別々に書きます。次に、各式の根拠を声に出してみます。「n = 2kはなぜ置けるか」に答えられなければ、証明したいことを先取りしていないか確認します。対偶に直す場合は、否定した2つの文の順番まで読み上げます。

個別指導で確かめるなら、途中式の正誤だけでなく、どの仮定を置いた行からどの矛盾に到達したかを本人の言葉で説明できるかを見ます。特に既約分数の例では、共通因数があることと最初の条件が衝突する箇所を指でたどります。証明は、使える条件から結論までの矢印を切らずにつなぐ文章です。