高校数学I 逆と裏と対偶—否定する条件をそろえて元の命題との関係を調べる｜武蔵野個別指導塾

条件の入れ替えと否定を分けて整理し、反例で真偽を調べます。真偽を結ぶ手がかりは逆と対偶です。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が対偶を作る途中、条件の片方だけに否定を付ける場面です。「ならば」の前後を入れ替えた後、元の結論を否定して安心し、元の仮定をそのまま結論に残してしまいます。どちらも否定する必要があるため、元の2つの条件を別々に書き出してから操作を始めます。

このページで扱うのは、命題から逆・裏・対偶を作り、それぞれの真偽を調べるところまでです。対偶を使って長い証明を進める方法には立ち入りません。まず、変えた文が元の文とどんな関係にあるかを見極めます。

テストで求められる操作

出方の1つは、与えられた命題の逆、裏、対偶を言葉や式で書く問題です。入れ替える操作と否定する操作を混ぜると、裏と対偶を取り違えやすくなります。元の仮定と結論を記号に置き換え、操作後に具体的な条件へ戻すと、書き漏れを見つけやすくなります。

別の型では、元の命題と逆などの真偽を判定し、偽の場合には反例を挙げます。このとき反例は、調べている命題の仮定を満たし、結論を満たさない対象です。元の命題の仮定を満たすかどうかだけを調べても、逆の反例として十分とは限りません。

さらに、条件に不等号や「かつ」が含まれる型もあります。境界の値を否定のどちら側に入れるか、2つの条件の両方が必要なのかを確かめます。真偽を判断する前に文を正確に作ることが、採点される答えへの最初の一歩です。

4つの文を並べる

対象となる範囲を決め、条件をそれぞれ p、q とします。元の命題を「p ならば q」とすると、p が仮定、q が結論です。「p でない」を p の否定、「q でない」を q の否定と呼びます。否定は、決めた範囲の中で元の条件を満たさない場合を過不足なく表します。

図1のように、逆は前後を入れ替え、裏は前後を入れ替えずに両方を否定します。対偶は入れ替えと両方の否定を行います。どの文でも、矢印の左を新しい仮定、右を新しい結論として読み直します。

図1では「非p」を p の否定、「非q」を q の否定と表しています。否定は符号を機械的に変えるだけではありません。例えば実数 x について「x > 2」の否定は「x ≤ 2」です。2 自身は元の条件に入らないため、その否定には入ります。「x < 2」では境界の 2 がどちらにも入らず、不足します。

元の命題と対偶の真偽は必ず一致します。逆と裏の真偽も必ず一致します。一方、元の命題と逆の真偽が同じとは限りません。この対応を丸暗記する前に、命題が偽になる場面を確かめます。

「p ならば q」が偽になるのは、p を満たすのに q を満たさない対象がある場合です。その同じ対象は「q でない」を満たし、「p でない」を満たしません。つまり対偶も偽にします。逆向きに読めば、対偶を偽にする対象も元の命題を偽にします。したがって、一方に反例があることと他方に反例があることは同じです。逆と裏についても、逆の対偶が裏なので同様に考えられます。

範囲を明記する理由は、否定の対象を定めるためです。整数に限る命題なら、整数でない数はその命題の反例になりません。また、仮定を満たす対象が範囲にない場合、仮定を満たして結論を満たさない対象も存在しません。その命題は真として扱います。該当する例が見つからないことと、探し方が足りないことは区別します。

基本例題：倍数の条件を入れ替える

整数 n について、次の命題の逆、裏、対偶をそれぞれ書き、元の命題を含む4つの真偽を判定してください。偽のものには整数の反例を1つずつ挙げます。

元の命題：n が 6 の倍数ならば、n は 3 の倍数である。

まず、p を「n は 6 の倍数」、q を「n は 3 の倍数」と置きます。図2のように、2つの条件とその否定を対応させてから、文を組み直します。倍数でない整数にも負の数や 0 を含む範囲を忘れません。

図2の矢印の向きを文章に戻すと、4つの文は次のようになります。

• 元：n が 6 の倍数ならば、n は 3 の倍数である。
• 逆：n が 3 の倍数ならば、n は 6 の倍数である。
• 裏：n が 6 の倍数でないならば、n は 3 の倍数でない。
• 対偶：n が 3 の倍数でないならば、n は 6 の倍数でない。

元の命題は真です。実際、仮定より、ある整数 k を使って n = 6k と書けます。ここで n = 3(2k) です。2k は整数なので、n は 3 の倍数です。0 や負の倍数も、この式に含まれます。

逆は偽です。n = 3 は 3 の倍数ですが、整数を 6 倍して 3 にはならないため、6 の倍数ではありません。逆の仮定を満たし結論を満たさないので、3 は反例です。元の命題には反していないことも確かめます。元の仮定である 6 の倍数を満たしていないからです。

裏も偽です。n = 3 は 6 の倍数でないので裏の仮定を満たします。しかし 3 の倍数なので、裏の結論を満たしません。同じ 3 が裏の反例にもなります。逆と裏は対偶の関係にあるため、この一致は偶然ではありません。

対偶は真です。元の命題が真なので対偶も真と判定できます。直接確かめるなら、3 の倍数でない n が 6 の倍数だとすると、元の命題から 3 の倍数になってしまいます。これは仮定に反するので、n は 6 の倍数ではありません。答えを元の場面に戻すと、6 の倍数の 12 は 3 の倍数でもあり、反例に使った 3 は 3 の倍数ですが 6 の倍数ではありません。個々の代入は計算の点検であり、元の命題全体の証明は整数 k を用いた説明です。

境界を含む条件ではどう分かれるか

実数 x について、命題「x > 4 ならば x ≥ 4」の逆、裏、対偶を書き、それぞれの真偽を判定してください。偽の場合は実数の反例を1つ挙げます。

p は「x > 4」、q は「x ≥ 4」です。p の否定は「x ≤ 4」、q の否定は「x < 4」です。等号が片方に付くかどうかを、4 自身を代入して確かめます。4 は p を満たさず、その否定を満たします。一方で q を満たし、その否定を満たしません。

逆は「x ≥ 4 ならば x > 4」です。x = 4 は仮定を満たしますが結論を満たさないため偽です。裏は「x ≤ 4 ならば x < 4」で、同じ x = 4 が反例です。対偶は「x < 4 ならば x ≤ 4」で、真です。元の命題も、4 より大きければ 4 以上なので真です。

この例の分かれ目は 4 を含めるかどうかです。3 は裏の仮定も結論も満たすため、裏の反例にはなりません。5 は裏の仮定を満たさないため、裏の結論を調べても反例にはなりません。反例の候補を選んだら、対象の範囲、仮定、結論の順に戻して確認します。元の命題が真だからといって、逆まで真と決めることはできません。

片方だけ否定した答えを直す

元の命題を「整数 n が 10 の倍数ならば n は偶数」とします。対偶を「n が偶数でないならば n は 10 の倍数」と書くのは誤りです。入れ替え後の仮定には否定がありますが、結論には否定がありません。

図3のように、元の2条件をそれぞれ否定してから位置を交換します。正しい対偶は「n が偶数でないならば n は 10 の倍数でない」です。n = 5 を入れると、誤った文は仮定が真、結論が偽です。正しい文では 5 は偶数でも 10 の倍数でもないため、仮定と結論の両方を満たします。

図3の修正では、否定の数だけを見るのではなく、どの条件に付いたかも確認します。「偶数でない」は整数の範囲では奇数と同じですが、対象の範囲を実数に広げたら「奇数」とは言い換えられません。また、正しい対偶に1つの数を代入して成立しても、その1例だけで真とは言えません。元の命題が真であることは、10 の倍数を 10k = 2(5k) と表して確かめられます。

別の誤りは、偽を示す数として仮定を満たさない数を挙げることです。例えば上の誤った文に n = 10 を入れると、結論は満たしますが仮定を満たしません。反例として必要な「仮定は真、結論は偽」の組ではないため、偽の根拠に使えません。答えの文の矢印を見て、その左側から確認し直します。

条件が複数あるときは、否定を作る途中も1段ずつ書いてみます。「A かつ B」でないとは、A と B が同時には成り立たないということです。A が成り立たない場合、B が成り立たない場合、その両方が成り立たない場合を含みます。したがって「A でない、または B でない」と表します。「または」は片方だけが成り立つ場合に限定せず、両方が成り立つ場合も含みます。

例えば実数 z が「z > 1 かつ z < 3」を満たす場合を考えます。z = 2 は両方を満たすため、その否定には入りません。z = 1 は前の条件を満たさず、z = 3 は後の条件を満たしません。いずれも否定に入ります。両端を含めるかを確認すると、否定が「z ≤ 1 または z ≥ 3」となることを点検できます。これは条件の作り方の例であり、次の練習では別の条件を扱います。

練習：先に4問を考える

どの問題も指定された範囲で考え、偽の場合は範囲内の数を反例として1つ挙げてください。条件の文章は省略せずに書きます。

1. 整数 a について「a が 8 の倍数ならば a は 4 の倍数」という命題の逆、裏、対偶を書き、4つの真偽を判定してください。
2. 実数 y について「y ≥ -1 ならば y > -1」という命題の逆、裏、対偶を書き、4つの真偽を判定してください。
3. 整数 b について「b が奇数ならば b は 3 の倍数でない」という命題の対偶を書き、元の命題と対偶の真偽を判定してください。
4. 実数 t について「t > 0 かつ t < 5 ならば t < 7」という命題の対偶を書き、元の命題と対偶の真偽を判定してください。「かつ」を含む条件の否定は、不等号を用いて表します。

練習の答えと確かめ方

1. 逆は「a が 4 の倍数ならば a は 8 の倍数」、裏は「a が 8 の倍数でないならば a は 4 の倍数でない」、対偶は「a が 4 の倍数でないならば a は 8 の倍数でない」です。元と対偶は真、逆と裏は偽です。元は a = 8k = 4(2k) と表せるので真です。a = 4 は 4 の倍数で 8 の倍数ではなく、逆と裏の反例です。例えば a = 16 は元の仮定と結論を満たし、a = 4 は逆の仮定を満たして結論を満たさないことを元の条件に戻して確かめられます。

2. 逆は「y > -1 ならば y ≥ -1」、裏は「y < -1 ならば y ≤ -1」、対偶は「y ≤ -1 ならば y < -1」です。元と対偶は偽、逆と裏は真です。y = -1 は元の仮定を満たしますが結論を満たさず、対偶の仮定も満たしますが結論を満たしません。y = -2 は裏の両条件を満たします。境界 -1 がどの否定に含まれるかを確認すると、対偶の不等号を点検できます。

3. 対偶は「b が 3 の倍数ならば b は奇数でない」です。元と対偶は偽です。b = 3 は奇数であり 3 の倍数なので、元の仮定を満たして結論を満たしません。同じ 3 は対偶の仮定を満たし、奇数でないという結論を満たしません。整数という範囲と、3 を割った商が整数であることに戻して、両方の反例として使えることを確かめます。

4. 対偶は「t ≥ 7 ならば、t ≤ 0 または t ≥ 5」です。元と対偶はいずれも真です。元では t < 5 かつ 5 < 7 より t < 7 です。対偶では t ≥ 7 なら t ≥ 5 なので、結論の「または」の少なくとも一方が成り立ちます。元の仮定の否定では、2条件が両方成り立つ場合を除くため、どちらか一方が成り立たない場合を集めます。例えば t = 7 は対偶の仮定を満たし、t ≥ 5 も満たします。t = 5 は元の仮定を満たさず、否定の側に入る境界です。これらの代入は境界の点検であり、真である理由は上の不等式の関係です。

持ち帰る4行

元の仮定と結論を切り分けます。
逆は入れ替え、裏は両方を否定します。
対偶は入れ替えて両方を否定します。
元と対偶、逆と裏はそれぞれ真偽が一致します。

どこで手が止まるかを見分ける

文を作る段階で止まるなら、元の仮定と結論に線を引き、否定を別の行に書きます。対偶の文を作った後に、元の結論の否定が前、元の仮定の否定が後にあるか指で追います。不等号の場合は、境界を代入し、元の条件と否定のどちらに入るかを言葉にします。

真偽の判定で止まるなら、対象となる範囲を書き直し、仮定を満たす数から候補を探します。見つけた数が結論を満たさないことまで示せれば反例です。個別指導で確かめるときも、答えの真偽だけでなく、どの文の仮定に代入したのかを説明できるかを見ると、変形の誤りと反例の選び間違いを区別できます。2つの条件の役割を戻して読めれば、対偶の矢印を自分で点検できます。