高校数学I 命題と否定—真偽を調べる範囲を定めて反例の役割をつかむ｜武蔵野個別指導塾

成功例と反例の違い、条件を組み合わせた文や「すべて」の否定を、整数の具体例で判断する鍵は命題の否定です。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が一つの成功例だけを見て命題が真だと判断する場面です。確かに成り立つ数が見つかっても、別の数で崩れるかもしれません。まず対象の範囲と、何が成り立つと言っているかを分けましょう。反例は当てずっぽうの数字ではなく、元の主張が要求する条件を満たしながら、結論を満たさない対象です。

問われる文を読みほどく

定期テストでは、例えば次のような型が出ます。対象を決めた文の真偽を判定し、偽なら反例を挙げる型があります。また、2つの条件を「かつ」「または」で結んだ文を否定する型があります。さらに「すべて」「ある」を含む文を否定し、その文の真偽まで調べる型もあります。

最初の型では、試した数について成り立った事実と、範囲全体について成り立つ主張を区別します。偽を示すには、対象に含まれる反例を1つ見つければ十分です。一方、真だと示すには、対象の全体を扱う理由が必要です。有限個なら漏れなく調べる方法もありますが、整数全体のように限りなく続く範囲では、いくつか試すだけでは足りません。

否定を作る型では、元の文と否定が同時に成り立たず、どちらか一方が必ず成り立つようにします。言葉の印象が反対らしいだけでは不十分です。境界を含むかどうか、「かつ」と「または」が入れ替わっているかを点検します。

対象と条件を先に置く

真か偽かが定まる文を命題といいます。「7は奇数である」は真、「7は偶数である」は偽です。「xは奇数である」のように、文字の値によって成り立つかどうかが変わる文を条件といいます。xに値を指定したり、対象の範囲と「すべて」などを添えたりすると、真偽を調べられます。

例えば対象を整数とし、条件Pを「xは偶数である」、条件Qを「xは3の倍数である」とします。「PかつQ」は両方を満たすことです。6は両方を満たしますが、2はPを満たしてもQを満たしません。「PまたはQ」は少なくとも一方を満たすことです。6のように両方を満たす場合も含みます。日常の「どちらか一方」という使い方に引きずられないようにします。

図1のように、元の条件を満たさない場合を集めると否定になります。「PかつQ」の否定は「Pでない、またはQでない」です。どちらかが欠ければ両方はそろいません。「PまたはQ」の否定は「Pでなく、かつQでない」です。一方でも満たす場合は元の「または」が成立するので、否定には両方を外す必要があります。

図1のそれぞれの行では、左の文と右の文のどちらか一方が成り立ちます。PとQがともに成り立つ場合、Pだけの場合、Qだけの場合、どちらも成り立たない場合を順に試すと、この対応を確認できます。

数の条件では、等号を境目に置くことも大切です。実数xについて「xが4より大きい」の否定は「xが4以下」です。4そのものは元の条件を満たさないため、否定に入ります。「4より小さい」とすると4がどちらにも入らず、否定として欠けます。

条件をつないだ文の否定は、具体的な値で点検すると整理できます。例えば先ほどのPとQに対し、x = 2ならPは成り立ちQは成り立ちません。このとき「PかつQ」は偽で、「Pでない、またはQでない」は真です。x = 6ならPもQも成り立つため、前者は真、後者は偽です。片方だけでなく、両方が成り立つ場合も調べると「または」の意味を取り違えにくくなります。

「ある」という言葉は、条件を満たす対象が少なくとも1つ存在するという意味です。その文が真なら、実際に1つ示すことで理由になります。逆に存在しないと示すには、候補の範囲全体に条件を満たすものがないと説明しなければなりません。「すべて」の場合と、1つの例が果たす役割が入れ替わります。対象が有限個なら一覧にして確かめられますが、無限にある場合は共通する性質を使います。

基本例題：反例を条件に戻す

対象を整数とします。次の命題の真偽を判定し、偽なら整数の反例を1つ挙げて理由を説明してください。

「すべての整数nについて、n² + nは4の倍数である。」

まず、主張の対象は整数全体です。nに0を入れると、0² + 0 = 0で、0は4に整数0を掛けた数です。したがって、この値では主張が成り立ちます。しかし0は整数の一部なので、これだけでは命題全体を真と判定できません。

次にn = 1を試すと、途中の計算は次のようになります。

n² + n = 1² + 1

= 1 + 1

= 2

2は4に整数を掛けた形にはならず、4の倍数ではありません。しかも1は指定された整数です。したがってn = 1は反例であり、命題は偽です。図2のように、反例では「対象に入る」と「結論が崩れる」の両方を確かめます。

図2の0は成功例で、元の文を否定する材料にはなりません。1は対象の条件を満たし、計算結果が要求を満たさないので反例です。仮に整数という指定があるところに1/2を入れ、結果が4の倍数でないことを示しても、対象外なので反例には使えません。

元の主張の否定は「ある整数nについて、n² + nは4の倍数ではない」です。1がこの否定を満たすので、元の命題が偽であることと整合します。「すべて」の否定は「どれも成り立たない」ではありません。実際に0では成り立つので、すべてが失敗するという文はこの例では偽です。それでも1つ失敗があるため、元の全称の命題は偽になります。

少し難しい例題：否定の順序を保つ

対象を整数とします。次の命題を否定し、元の命題の真偽を判定してください。偽なら整数の反例を1つ示してください。

「すべての整数xについて、xが偶数かつ3の倍数ならば、xは12の倍数である。」

ここでは、各整数について「条件を満たすなら結論を満たす」と主張しています。元の命題が崩れるのは、前の条件を満たしているのに、後ろの結論を満たさない整数がある場合です。したがって否定は次の文です。

「ある整数xについて、xは偶数かつ3の倍数であり、12の倍数ではない。」

x = 6とすると、6 = 2 × 3なので偶数であり、6 = 3 × 2なので3の倍数でもあります。一方、6は12に整数を掛けた数ではありません。対象は整数で、前の2条件を両方満たし、結論を満たさないため、6は反例です。元の命題は偽です。

例えばx = 4は偶数ですが3の倍数ではありません。12の倍数でもないものの、前の条件を両方満たしていないため反例にはなりません。またx = 12は前の条件を満たし、結論も満たすので反例ではありません。失敗を示すには、前の条件と結論を同じ値で順に確認します。

「すべて」を「ある」に変えた後、文全体が成り立たない場合を書きます。前の条件の「かつ」を機械的に「または」に変えてしまうと、4のように前の条件を満たさない値まで拾います。前の条件そのものを否定しているわけではないからです。条件の中の一部だけでなく、文全体のどこを否定するかを先に囲んで考えます。

誤答から修正する

整数xについて「xは5以上かつ8以下である」の否定を「xは5未満かつ8より大きい」とする誤答を考えます。元の条件は5、6、7、8に当てはまります。例えば4は元の条件を満たさないのに、4は8より大きくないため、誤答にも当てはまりません。元の文とその否定のどちらにも入らない数ができています。

原因は、2つの不等号を反対側にした後も「かつ」を残したことです。正しい否定は「xは5未満または8より大きい」です。図3のように4は左側、9は右側に入り、5と8は元の条件に入るため否定には入りません。整数という範囲でなく実数を対象としても、この否定の形は同じです。

図3の白い丸は否定の側に端の数を含めないことを表します。端点を試すと、5以上の否定は5未満、8以下の否定は8より大きいと確かめられます。さらに両側のどちらかに入れば元の条件を外れるため、「または」でつなぎます。

否定の確認では、元の条件を満たす側と満たさない側をそれぞれ試します。元の範囲の内側にある6は否定に入ってはいけません。外側の4と9は否定に入る必要があります。この3つと両端の5、8を確認すると、左右の取り違えや等号の漏れを発見できます。ただし、これらの値を試すことは、実数全体についての説明の代わりにはなりません。実数が5未満、5以上8以下、8より大きいのいずれかに入ることを使って、範囲全体を説明します。

自分で試す4問

各問の真偽は真または偽で答え、反例を求められたときは対象内の整数を1つ挙げてください。否定は日本語の文で表してください。

1. 対象を整数とします。「すべての整数kについて、k² − kは偶数である」の真偽を判定し、理由を示してください。
2. 対象を整数とします。「すべての整数mについて、mが奇数ならばm + 1は4の倍数である」の真偽を判定し、偽なら反例を挙げてください。
3. 対象を整数とします。「ある整数tは、tが2の倍数または7の倍数である」を否定し、元の文の真偽を判定してください。
4. 対象を実数とします。「すべての実数yについて、yが-2以上かつ3未満である」を否定し、元の文の真偽を判定してください。偽なら整数の反例を1つ挙げてください。

解答と考え方

1. 真です。任意の整数kは偶数または奇数です。kが偶数なら、整数aを用いてk = 2aと書けます。このときk² − k = k(k − 1) = 2a(2a − 1)であり、整数の2倍なので偶数です。kが奇数ならk = 2a + 1と書けます。このときk² − k = (2a + 1)2a = 2a(2a + 1)で、やはり偶数です。どちらの場合も元の対象である整数に戻して確認できました。偶数と奇数の2つの場合で整数全体を尽くしているため、数例の確認より広い結論が得られます。

2. 偽です。m = 5は整数で、5 = 2 × 2 + 1なので奇数です。しかしm + 1 = 5 + 1 = 6は4の倍数ではありません。前の条件と結論を元の文に戻して確かめると、5は反例です。例えばm = 3ではm + 1 = 4となって結論が成り立ちますが、それは命題全体を真にする根拠にはなりません。

3. 否定は「すべての整数tについて、tは2の倍数でなく、かつ7の倍数でもない」です。「ある」を「すべて」に変え、後ろの「または」を含む条件全体を否定します。元の文は真です。例えばt = 14は整数であり、14 = 2 × 7、14 = 7 × 2なので両方の倍数です。「または」は両方を満たす場合も含むため、この1つの整数で存在が示されます。否定の文はこの14について成り立たないので偽です。

4. 否定は「ある実数yについて、yは-2未満または3以上である」です。元の文は偽です。例えばy = 3は実数ですが、3は3未満ではないため、元の「かつ」で結ばれた条件を満たしません。3は否定の後半に入るので、元の文に戻した確認とも一致します。-2は元の範囲に含まれ、否定の範囲には含まれません。両端を代入して等号の位置を点検できます。

手元に残す要点

対象の範囲を決めてから、主張と条件を読む。 全体への主張は、対象内の反例1つで偽になる。 「かつ」の否定は「または」、「または」の否定は「かつ」で結ぶ。 「すべて」と「ある」を入れ替え、後ろの条件も否定する。 境界の値を元の条件と否定の両方に戻す。

答えが止まる場所を見つける

反例が思いつかないときは、まず前提を満たす数をいくつか書き、その中で結論を外れる数を探します。対象外の数ばかり試しているなら、最初に範囲へ印を付けてから選び直します。真と考えた場合は、調べた値の列から、範囲全体を扱う理由へ移れているかを確かめます。

否定が書けても確信が持てないときは、元の文と否定の両方に入る値や、どちらにも入らない値を探します。見つかれば否定の作り直しが必要です。個別指導で確認するなら、条件のまとまりに線を引くところ、境界を含むか答えるところ、候補が前提と結論のどちらを満たすか説明するところを見ると、止まった箇所を特定できます。反例は、主張の範囲と結論を結び直す手掛かりです。