高校数学II 正接の不等式—未定義点で区間を分けて不等号を満たす角を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

tan θの未定義点で枝を分け、境界の角から解の区間を選びます。cos θを掛ける際に不等号の向きが変わる理由も追えます。

よくあるのは、高2がtanの不等式の両辺にcosを、符号を確かめずに掛ける場面です。正の数を掛けるときは不等号の向きは変わりませんが、負の数なら逆向きです。さらにcosが0の角では、もとのtan自体が定義されません。式の形だけを追うと、境界を含めるかどうか以前に、別の条件を解いてしまうことがあります。

正接の値を比べるときは、まず角の範囲に未定義点を記し、その点で区間を切ります。そのうえで、各区間の値の変化と等号を満たす角を照らします。図と式の両方から端点を点検すると、複数周期にわたる問題も整理できます。

どの範囲を読むか

第一の型は、1周期の中でtan θと定数を比べる問題です。等号を満たす角を見つけ、その角の左右のどちらで条件を満たすかを調べます。ただし、左右の端がcos θ = 0に当たる場合、そこは等号の有無に関係なく解に入りません。

第二の型は、指定範囲が複数の枝にまたがる問題です。未定義点を境に枝を分け、各枝で等号の角を探します。最後に元の範囲と共通部分を取ります。指定範囲の端が含まれていても、そこでtanが定義されるか、条件を満たすかは別に調べます。

第三の型は、tan θをsin θとcos θの比で扱う問題です。分母に文字を含む不等式では、その符号によって掛け算後の向きが変わります。分母が0の角も別に除きます。分母を払う操作は便利ですが、符号を分ける前に行うと解が変わります。

1本の枝の中で値を比べる

単位円上の角θに対応する点を(cos θ, sin θ)とします。cos θが0でないとき、tan θ = sin θ/cos θです。cos θ = 0となるθ = π/2 + nπでは定義されません。ここでnは整数です。正接はπを加えても値が変わらないので、未定義点の間の枝をπずつ移して考えられます。

図1のように、1本の枝の内部では角が大きくなるにつれtanの値も大きくなります。これは単に絵の印象ではなく、同じ枝の2角をα < βとすると、β − αは0より大きくπより小さく、cos αとcos βは同符号なので、加法定理から次が正になることでも確かめられます。

tan β - tan α = (sin β cos α - sin α cos β)/(cos α cos β)
                 = sin(β - α)/(cos α cos β)
                 > 0

分母は同符号の積なので正、分子も0 < β − α < πだから正です。未定義点を挟んだ2角にはこの議論をそのまま使えません。そこではcosの符号が変わり、グラフも切れます。

図1の両側の縦の破線は、値が入らない角を表します。真ん中の0ではtan θ = 0です。例えばtan θ > 0なら、この枝では0より右を選びます。0は等号がないので除き、右の未定義点も除きます。tan θ ≥ 0なら0は入りますが、未定義点はやはり入りません。

等号を満たす境界と、式が存在しない境界は役割が異なります。前者は不等号が≥または≤なら候補に入り、後者はどの不等号でも除かれます。両方を同じ白丸で描けても、その理由を区別しておくことが大切です。

基本例題：1周期で境界を選ぶ

問題：-π/2 < θ < π/2において、tan θ ≥ 1を解きなさい。答えはπを含む角の範囲で表しなさい。

指定範囲の内部にcos θ = 0となる角はなく、両端は指定範囲から除かれています。この範囲は正接の1本の枝です。等号を満たす角はθ = π/4で、tan(π/4) = 1です。枝の中で値は増加するので、求める角はこの位置から右側です。

図2のようにπ/4は等号を許すため黒丸で示します。右端のπ/2はtanが定義されず、白丸で示します。したがって答えは次のとおりです。

π/4 ≤ θ < π/2

元の条件へ戻すと、左端ではtan θ = 1で等号が成立します。左端より少し小さい角では値が1より小さく、選んだ範囲内では1以上です。右端は指定範囲の外であり、同時に正接の未定義点です。たとえ問題の範囲が右端を含む形で書かれていても、この点を解に入れることはできません。

例えばθ = π/3ではtan θ = √3で、√3 > 1です。一方θ = 0では値が0なので条件を満たしません。これらの代入は選んだ向きの点検になりますが、全体の解を保証する理由は、未定義点の間で値が増加することにあります。

標準例題：複数の枝を範囲で切る

問題：0 ≤ θ ≤ 2πにおいて、tan θ < -√3を解きなさい。答えはπを含む角の範囲で表しなさい。

まず、範囲内の未定義点はπ/2と3π/2です。これらを境に範囲を分けます。等号tan θ = -√3を満たすのは、この範囲では2π/3と5π/3です。どちらもcos θは0ではありません。正接は各枝で増加するので、等号の角より左側が求める部分です。

π/2 < θ < 2π/3
3π/2 < θ < 5π/3

2つの範囲を合わせたものが答えです。未定義点は除き、等号の角も不等号が厳密な不等号なので除きます。指定範囲の端0と2πではtan θ = 0であり、-√3より小さくありません。最初の枝の0からπ/2の部分は値が0以上なので、解を含みません。

答えをもとの範囲に戻して確かめます。たとえばθ = 7π/12はπ/2と2π/3の間にあります。1本の枝で増加し、右端の値が-√3ですから、この角の値はそれより小さくなります。πを足した19π/12も2つ目の範囲に入り、周期により同じ値です。等号点の直後は値が-√3より大きいため、そこから先を塗ることはできません。

発展例題：符号で場合を分ける

問題：0 ≤ θ < 2πで、tan θ < sin θを解きなさい。答えはπを含む角の範囲で表しなさい。

正接があるので、最初にθ = π/2, 3π/2を除きます。残った範囲ではcos θは0ではありません。比を移項して次の形にします。

sin θ/cos θ < sin θ
sin θ/cos θ - sin θ < 0
sin θ(1 - cos θ)/cos θ < 0

ここで1 − cos θは0以上です。指定範囲ではθ = 0のとき0、それ以外では正です。θ = 0は元の式で0 < 0とならず、解ではありません。残りは正の因子1 − cos θを除いてよく、sin θ/cos θ < 0と同じ条件になります。

第1象限ではsinとcosがともに正、第2象限ではsinが正でcosが負、第3象限ではともに負、第4象限ではsinが負でcosが正です。軸上ではsinが0となるθ = πも厳密な不等号を満たしません。したがって答えは次です。

π/2 < θ < π
3π/2 < θ < 2π

確認としてθ = 3π/4ではtan θ = -1、sin θ = √2/2なので条件を満たします。θ = 5π/4ではtan θ = 1、sin θ = -√2/2なので満たしません。θ = 7π/4ではtan θ = -1、sin θ = -√2/2となり、再び満たします。点の代入で各象限の向きを確かめた後、符号の議論で各区間全体を説明しています。

同じ式をcos θで払う方法もありますが、cos θ > 0なら不等号はそのまま、cos θ < 0なら逆にします。cos θ = 0では元の式が定義されないので、等号の場合として混ぜません。分母を払う前に符号表を作れば、操作ごとの条件を追えます。

誤答を直す：負の数を掛けたとき

tan θ > 1をsin θ > cos θと一律に直すのは誤りです。たとえばθ = 5π/4では、tan θ = 1なので元の厳密な不等式は成立しません。この角ではsin θとcos θが等しいため、誤った変形でも成立しませんが、それだけでは変形の正しさを判定できません。

θ = 2π/3ならtan θ = -√3で、tan θ > 1は偽です。一方、sin θ = √3/2、cos θ = -1/2なのでsin θ > cos θは真です。元の条件と変形後の条件の真偽が食い違うため、この変形は同値ではありません。

図3のようにcos θが正ならsin θ > cos θ、負ならsin θ < cos θとします。原因は、分母のcos θが負にもなり得るのに、正であるかのように掛けたことです。cos θ = 0は、掛けた後の式が意味を持っていても元のtanが存在しないため、必ず除外します。

修正するときは、まず定義域を記し、cos θの正負で範囲を分割します。それぞれ正しい向きの不等式を解き、最後に分割した範囲との共通部分を取ります。等号がある問題でも、未定義点が答えに入らないことは変わりません。式変形の後に分母が消えても、最初の除外条件は消えないからです。

練習問題

いずれも答えをπを含む角の範囲で表しなさい。tanが定義されない角も点検してください。

1. -π/2 < θ < π/2で、tan θ > -1を解きなさい。
2. 0 ≤ θ < 2πで、tan θ ≤ 0を解きなさい。
3. -π ≤ θ ≤ πで、tan θ ≥ √3を解きなさい。
4. 0 ≤ θ ≤ 3π/2で、tan θ < 1/√3を解きなさい。
5. 0 ≤ θ < 2πで、tan θ ≥ -tan θを解きなさい。

練習の答えと解き方

1

範囲の内部に未定義点はなく、等号の角は-π/4です。この枝では値が増加するので、その右側を取ります。等号がないため-π/4は除き、右端も未定義なので除きます。

-π/4 < θ < π/2

θ = 0では値が0で、-1より大きくなります。境界の-π/4では値が-1なので条件を満たしません。指定範囲の左端ももともと含まれていません。

2

未定義点はπ/2と3π/2です。正接が0となるのは指定範囲内では0とπです。第2象限と第4象限で正接は負、残る象限では正です。等号があるため0とπを含めます。

θ = 0
π/2 < θ ≤ π
3π/2 < θ < 2π

2πは指定範囲から除かれます。θ = 3π/4と7π/4では値がともに-1となり、元の条件に合います。軸上のπでは0なので、厳密な不等号ではないことを確かめて含めます。

3

指定範囲内の未定義点は-π/2とπ/2です。tan θ = √3となる角は-2π/3とπ/3です。各枝では増加するため、それぞれの角から右の未定義点までを選びます。

-2π/3 ≤ θ < -π/2
π/3 ≤ θ < π/2

両方の左端で値は√3なので含めます。-πとπでは値が0で、条件を満たしません。例えば-7π/12は最初の区間にあり、πを足すと5π/12となるので、周期によって2つ目の枝と同じ値を示します。

4

未定義点はπ/2と3π/2です。等号の角はπ/6と7π/6です。各枝の左側を取り、指定範囲との共通部分を考えます。

0 ≤ θ < π/6
π/2 < θ < 7π/6

0ではtan θ = 0で条件を満たすため、指定範囲の端を含めます。π/6と7π/6は等号なので除きます。3π/2は指定範囲の端としては含まれていますが、tanが未定義なので解には入りません。πでは値が0となり、2つ目の区間に含まれることと一致します。

5

元の両辺にtan θがあるので、π/2と3π/2を除きます。残った角で同じ項を両辺に加え、正の数2で割ります。

tan θ + tan θ ≥ 0
2 tan θ ≥ 0
tan θ ≥ 0

第1象限と第3象限では値が正、0とπでは値が0です。したがって答えは次です。

0 ≤ θ < π/2
π ≤ θ < 3π/2

例えばθ = 5π/4では左辺が1、右辺が-1となり、元の条件を満たします。θ = 3π/4では左辺が-1、右辺が1となり満たしません。πでは両辺とも0で、等号が成立します。

覚えておくこと

• cos θ = 0の角は、正接の未定義点として先に除きます。
• 未定義点で枝を分け、それぞれで正接の増加を使います。
• 等号の角は不等号に応じて選び、指定範囲の端も確認します。
• cos θを掛けるときは、正負で不等号の向きを分けます。

つまずきの位置を見分ける

答えの区間が違うときは、まず数直線に未定義点を置けるかを確かめます。置けるのに枝をまたいで塗っているなら、各枝で値が増えることと、枝の間を連続して比較できないことを説明してみます。境界の角は見つかるのに端点を間違えるなら、等号の角、未定義点、指定範囲の端を別々の理由で含むかどうか言葉にします。

個別指導で確かめる場面では、途中式のどこでcos θの符号を使ったか、負の場合になぜ向きが逆になるかを本人の言葉でたどります。最後に、選んだ区間の内側と外側から1点ずつ原式へ戻し、解の根拠と照合します。境界の性質を区別することで、正接の不等式の答えは明確になります。