共通テスト数学の相関係数・共分散—散布図と数値のどちらを先に見るか｜武蔵野個別指導塾

相関係数と共分散は、計算の前に散布図で点の広がりを確かめると読み違えに気づきやすくなります。模試の答案で見る順番を、数学Iの範囲と過去問に沿って整理し、まず散布図を開くところからです。

散布図を先に見て、そのあとで相関係数と共分散の数値を確かめます。数値は点の並びを1つの数にまとめたもので、同じ値でも点の形はいくつもあり得ます。外れ値が1つあるだけで値が動くこともあります。紙の上で点を打ち、形と広がりを見てから計算に進むと、自分の答案のどこで読み違えたかも説明できます。

この題目で土台にする決まりは、次の5つです。

よくあるのは、模試の返却の帰りに、答案の相関係数の欄だけを見て「0.8だから強い相関だ」と覚えて帰る場面です。散布図の頁は開かないまま、次の模試でも同じ手順で解きます。家に着いて復習を始めると、どの点がその値を作ったのか説明できず、共分散の計算を最初からやり直すことになります。値は覚えているのに、点の形は思い出せない。帰り道の数分で済んだはずの確認が、あとで倍の時間になります。

数学①の枠組みと、データの分析が入る場所

いまの高3が受ける令和9年度試験は2027年1月16日（土）と17日（日）です。いまの高2は令和10年度試験を受け、その本試験は2028年1月15日（土）と16日（日）です。数学①はその2日目の午後にあり、令和9年度の受験案内では13時00分から14時10分まで、70分と書かれています。この70分と100点の中で、散布図を読む時間も計算する時間も一緒に使います。

令和9年度の出題方法等では、数学①は『数学I，数学A』か『数学I』のどちらか1科目を選ぶことになっています。どちらを選んでも数学Iの内容は入るので、データの分析を避けて通ることはできません。数学Aを選ぶ場合は、図形の性質と場合の数と確率の2項目に対応した出題で、全てを解答します。数学IIIは出題科目に入っていません。

範囲の考え方も出題方法等に書かれています。出題科目名に含まれる学習指導要領の科目の内容を総合したものが範囲になる、という考え方です。数学Iのデータの分析はこの枠組みで範囲に入ります。ここで注意したいのは、出題方法等が数学Iの内容を単元名で細かく列挙しているわけではないことです。相関係数と共分散という言葉がそこに載っているかどうかではなく、数学Iの内容として範囲に入ることを土台にして、具体的な問われ方は過去問の正解と問題冊子で確かめます。

令和10年度の出題方法等も公表されていて、数学①の科目名と時間・配点の枠組みは令和9年度と同じ書き方です。ただし、令和10年度の出願の期間や検定料、受験案内はまだ公表されていません。いまの高2は、科目の枠組みだけを先に押さえ、日程の細部は公表を待つ形になります。学校で使っている教科書の数学Iと、出題方法等に書かれた科目名を並べておくと、データの分析が自分の授業のどこにあたるかを早く見つけられます。表やグラフを読む練習は、式の計算だけを別に覚えるのではなく、同じ1問の中で進めます。

図1のように、数学①の2つの選択肢はどちらも数学Iを含みます。データの分析はその数学Iの中にあり、数学Aを選ぶかどうかとは別の層にあります。この層を分けて考えると、自分がどの科目を選んだとしても、散布図と相関係数の準備は同じだけ必要だとわかります。

自分の模試の答案を、点を打つところからたどる

模試の答案が返ってきたら、相関係数の欄より先に、散布図が載っている頁を開きます。点が右上がりに並んでいるか、右下がりか、途中で曲がっていないか、ほかから離れた点がないか。この4つを見るだけで、値の意味がかなり変わります。答案に散布図が印刷されていない場合は、問題冊子の表やグラフを自分で方眼紙に写して点を打ちます。写すときに軸の目盛りを間違えると、形も値も変わります。

次に、自分の計算の跡を上から順にたどります。平均を出したか、平均からの差の符号を取ったか、差の積を足したか、2乗の和を出したか、最後に割ったか。共分散は、xの平均からの差とyの平均からの差を掛けて足し、組の数で割った値です。相関係数は、その共分散を、xの標準偏差とyの標準偏差の積で割った値です。式を暗記するより、どの段階で符号を落としたかを見るほうが、次の1問に効きます。

例として、xとyの5組の数を自分で作ります。xを10、20、30、40、50、yを30、35、55、50、70とします。xの平均は30、yの平均は48です。平均からの差は、xが-20、-10、0、10、20、yが-18、-13、7、2、22になります。差の積は360、130、0、20、440で、合計は950、5で割ると共分散は190です。xの差の2乗の平均は200、yの差の2乗の平均は206なので、標準偏差はそれぞれ約14.14と約14.35です。190を14.14と14.35の積で割ると、相関係数は約0.94になります。

この計算で大事なのは、最後の割り算より前の、差の積の符号です。xの平均より上でyも平均より上なら積は正、片方だけ上なら負になります。共分散が正なら、右上がりの点が多いということです。ただ、5組のうち1組を動かすだけで値は変わります。0.94という数字だけを見て「強い」と決めるのではなく、元の点の並びに戻って、どの点がその値を作ったのかを指させるようにしておきます。

自分の出願内容とも照らします。数学①で『数学I，数学A』を選んだ人も、『数学I』だけを選んだ人も、数学Iのデータの分析は範囲に入ります。志望校の募集要項では「試験科目」の欄を開き、数学①をどの科目名で指定しているかを見ます。配点や比率、ほかの教科との組み合わせは別の欄に書かれているので、科目名の欄と混ぜずに読みます。大学ごとの数字はこの場では作りません。

過去問は、令和8年度の本試験の正解と問題冊子を開き、数学I，数学Aの中でデータの分析がどの大問に置かれていたかを自分で確かめます。問題文を写すのではなく、散布図の形、選択肢の数、問われている用語を自分の言葉でメモします。令和9年度も同じ形で出るとは言えませんが、自分が使う用語と計算の順番を確かめる材料にはなります。

今日からできる、散布図から数値へ進む手順

ここからは、今日の1問を40分ほどで回す手順です。試験の70分とは別に、復習の場で使う時間として組みます。長い手順に見えますが、1つずつは短く、同じ1問を2回解くより頭に残ります。

1つ目は、出題範囲と自分の科目を紙に書くことです。数学①で『数学I，数学A』と『数学I』のどちらを選んだか、データの分析が数学Iの内容として範囲に入ることを、それぞれ1行で書きます。5分もかかりません。この1行があると、問題を解いている途中で「この単元は範囲外かもしれない」と不安になったときに、戻る場所がはっきりします。

2つ目は、問題を1問選び、方眼紙に点を打つことです。10分を目安にします。x軸とy軸の名前を書き、目盛りを問題の表と同じ間隔で取ります。点を打つときは、1つ打つたびに表の値と見比べます。打ち終えたら、点の数を数えます。表の行数と点の数が合わないときは、写し間違いが先に疑われます。

3つ目は、形と広がりを見ることです。5分です。右上がりか、右下がりか、一直線に近いか、途中で曲がっているか、点が2つの群れに分かれていないか。この5つを声に出して言います。言い淀んだところが、その問題で自分が見えていなかったところです。

4つ目は、外れ値に印を付けることです。3分です。ほかの点から極端に離れた点があれば、鉛筆で丸を付けます。丸を付けたら、除く前に「なぜ離れていると思うか」を1行書きます。測定の誤りかもしれないし、本当に特別な1組かもしれません。理由を書かずに除くと、都合のよい値を作ることになります。

5つ目は、共分散と相関係数を計算することです。12分を目安にします。平均、平均からの差、差の積、2乗の和、割り算の順に、式を省略せずに書きます。電卓を使ってよいですが、途中の式は残します。最後の値だけでなく、どの段階でどの数を出したかが、あとで自分を助けます。

6つ目は、数値と形を照合することです。5分です。相関係数の符号が、散布図の右上がり・右下がりと合っているかを見ます。値の大きさが、点の散らばり具合や直線らしさと合っているかも見ます。合わないときは、計算をやり直す前に、点の写し間違いと軸の目盛りを疑います。

7つ目は、記録を1行残すことです。3分です。日付、問題の種類、自分が出した相関係数、外れ値を除いたかどうか、次に見る場所を書きます。次の模試の前にこの1行を読むと、同じ手順を思い出せます。

図2のように、手順は散布図から始まり、数値の計算を経て、最後に形へ戻ります。計算だけを先に始めると、最後の照合で戻る先がなくなります。試験中も同じで、設問の散布図を読んでから、選択肢の値を計算で確かめる順番にしておくと、計算が重い問題で時間を取られにくくなります。

保護者の方は、お子さまが模試の答案を返してきたときに、点数より先に散布図の頁を開いているかを見てください。点を打った跡、外れ値の丸、計算の途中式が残っていれば、その1問は復習の材料になっています。答えだけが合っていて跡が何もない場合は、次の1問で同じ手順を一緒にたどるのが確実です。

相関係数と散布図をめぐる3つの思い込み

1つ目の思い込みは、相関係数が高いと原因と結果までわかる、というものです。相関係数は2つの量が一緒に動く向きと強さを表すもので、どちらが原因かは言いません。数学の答案では、まず「一緒に動いているか」を答え、原因の話は別の確かめとして扱います。問題文が原因を聞いていないのに、原因の説明を書き始めると、聞かれていないことに時間を使うことになります。

2つ目の思い込みは、相関係数が同じなら散布図の形も同じ、というものです。同じ値でも、一直線に近い点、途中で曲がる点、片方に固まった点、離れた点が1つある形では、点の並びは違います。値は形を1つの数に要約したものなので、要約から元の形は1つに決まりません。答案では、値の説明の前に、散布図の形を自分の言葉で1行書いておきます。

3つ目の思い込みは、外れ値は計算から除いてよい、というものです。除くこと自体が悪いのではなく、理由を書かずに除くことが問題です。除いた場合と除かない場合の両方を計算し、どちらを答案に使うかを決めます。片方だけを出すと、その値がなぜ選ばれたのかを説明できません。

図3のように、外れ値があるかどうかで、そのあとの作業が分かれます。外れ値があるなら、除いた場合も計算する。ないなら、そのまま読む。どちらの道でも、散布図を見たという事実は変わりません。

確かめる問題

4組の数があります。xが1、2、3、4、yが4、3、2、10です。4組全部で相関係数を計算し、次に最後の1組を除いた3組で計算してください。2つの値と、散布図の形からわかることを説明しなさい。

答えと理由です。4組全部では相関係数は約0.61、前の3組だけでは-1になります。前の3組は、xが増えるとyが減る一直線なので、相関係数は-1です。4組目の点は右上に離れていて、これが加わると全体は右上がりの傾向に変わり、相関係数は正の約0.61になります。1つの点で符号が変わるので、外れ値を除いた計算と除かない計算を並べ、どちらを答案に書くかを決めます。符号が変わるところで迷ったら、この節の3つ目の思い込みに戻り、外れ値を除く前と後の並べ方を読み直してください。

確かめる先と聞き方

相関係数と共分散の範囲と出題の形は、次の場所で確かめられます。数字を決めるのは自分ではなく、文書と過去問です。読む欄を先に決めてから開くと、探す時間が短くなります。

1つ目は、令和9年度の出題方法等です。数学①の科目名、70分100点、範囲の考え方が載っています。「出題教科・科目」と「出題方法」の欄を開き、数学Iの内容が範囲に入ることを確かめます。令和10年度の出題方法等も同じ枠組みかを見比べます。

2つ目は、学習指導要領の数学Iです。データの分析がどの内容に置かれ、相関係数と共分散がその中でどう扱われているかを見ます。出題方法等だけでは単元の細部まで列挙されていないので、学習指導要領と教科書を並べます。

3つ目は、令和9年度の受験案内です。2日目の数学①が13時00分から14時10分までであることを確かめます。入室終了の時刻は12月上旬に掲載される令和9年度の受験上の注意で確かめる項目です。記事の時点ではまだ公表されていません。

4つ目は、過去問の正解と問題冊子です。令和8年度の本試験の数学I，数学Aで、データの分析がどの大問に置かれていたか、散布図や表がどう示されていたかを見ます。問題文を写さず、問われた用語と選択肢の作り方だけをメモします。

5つ目は、志望校の募集要項です。「試験科目」の欄で数学①の指定を読み、配点や比率は別の欄で確かめます。大学ごとに科目名の書き方が違うので、自分が受ける科目名と一字ずつ照らします。

6つ目は、高校の先生です。自分の答案の散布図の書き方、平均からの差の符号、外れ値を除いた理由を見てもらいます。答えが合っているかより、説明の順番が抜けていないかを見てもらうと、次の1問で直す場所が決まります。

7つ目は、大学入試センターの問い合わせ窓口です。出題範囲の文書について読み方がわからないときに聞きます。自分の答案の点数や合否の見込みは、ここで聞く話ではありません。

個別指導で確かめること

塾では、模試の答案の散布図の頁、共分散の計算の跡、外れ値に印を付けた場所、試験当日に解答科目欄へマークする数学①の科目のメモを一緒に開きます。値が合っているかどうかより、点を打つ順番、平均からの差の符号、外れ値を除いた理由を、自分の言葉で説明できるかを見ます。説明が詰まったところが、次の1問を選ぶ目印になります。答案を持ってくる前に散布図の頁へ付箋を付けておくと、見る場所が決まり、計算の跡も消さずに残せます。机の上では、その場で1問だけ言い直してもらいます。

まとめ

散布図を開かずに相関係数だけを覚えると、次の模試でも同じ所で止まります。点の形を見てから数値を受け取る順番を、今日の1問で決めてください。数値は最後に確認するものになり、形の説明が先に立てば、外れ値が1つあっても自分の言葉で答案を組み立てられます。計算の速さより、見る順番のほうが先に身についていきます。