高校数学III 上下端が動く定積分—合成関数の微分と積分の向きを合わせる｜武蔵野個別指導塾

両端に異なる式が入る積分を、固定した点で分けて微分します。逆向きの区間や元の値への代入を通じて、符号を追う鍵は上下端の連鎖律です。

よくあるのは、下端も動くのに上端だけ微分するという場面です。上端を代入した値に上端の導関数を掛けるところまで正しくても、下端の移動による変化が抜けると、元の積分の増減まで変わります。両端が交差する場合も、積分の向きを含めて式を保つと同じ方法で調べられます。

ここでは被積分関数が積分変数だけの関数である場合を扱います。積分記号の中に、端点とは別に変数を含む場合の微分は扱いません。定積分の基本性質と合成関数の微分を結び、得た答えをもとの積分に戻して照合します。

どこが動くかを先に読む

出方の1つは、上下端がそれぞれ異なる式で与えられ、導関数を求める形です。たとえば上端が2x、下端がx²なら、それぞれの位置に被積分関数を代入し、位置の変化率も掛けます。2つの寄与には、上端が正、下端が負という符号の違いがあります。

もう1つは、動く端点から得た導関数を使い、増減や極値を調べる形です。このとき導関数の符号を調べる範囲は、はじめの積分が定義される範囲と一致させます。端点の大小が入れ替わる点があっても、そこだけで公式が使えなくなるわけではありません。

さらに、微分した後の式から条件を決める形もあります。導関数が同じ関数どうしは定数の違いが残るため、指定されたxの値を元の積分に代入して、その定数を確定します。微分で失われる情報を元の値が補います。

固定点を挟むと両端の役割が見える

fが区間Iで連続で、a(x)、b(x)が考える範囲で微分可能とします。両端a(x)、b(x)とその間がIに入るとき、I内の固定点cを選び、F(u)=∫[c→u] f(t) dtと置きます。積分の基本定理によりF′(u)=f(u)です。積分の加法性から、端点の順序にかかわらず次の式が成り立ちます。

∫[a(x)→b(x)] f(t) dt = F(b(x)) - F(a(x))

右辺を合成関数として微分すると、上端と下端の寄与がそれぞれ現れます。

d/dx ∫[a(x)→b(x)] f(t) dt
= f(b(x))b′(x) - f(a(x))a′(x)

図1のように固定点から両端への積分の差と見ると、下端の項に負号が付く理由が見えます。各端点を代入した値だけでなく、その端点の導関数まで掛けることが連鎖律です。積分変数tは積分の中で使う文字であり、微分する変数xとは別に扱います。

図1の下段は、上端の寄与から下端の寄与を引く対応です。a(x)>b(x)となる場合も、∫[a→b] f(t) dt = -∫[b→a] f(t) dtという向きを含む定義によって差の式はそのままです。両端が等しい点では積分値は0ですが、その点での導関数まで0とは限りません。両端の動く速さが違えば、その直後に積分値が変わるからです。

定義区間にも注意します。たとえばf(t)=1/tでは、両端がともに正ならその間に0はなく、fはその閉区間で連続です。一方、両端が0でなくても、一方が負で他方が正なら間に0を含むため、この公式の連続性の条件を満たしません。端点がともに負の場合も含め、0を含まない1つの区間で考える必要があります。端点の式が定義されることと、端点の間でfが連続であることを別々に確かめます。

基本例題：両端の速さを掛ける

関数G(x)=∫[x→2x] (t²+1) dtについて、G′(x)を整式で求め、x=1でのGの値を分数で求めてください。

被積分関数t²+1は実数全体で連続で、両端xと2xは実数全体で微分可能です。したがって、xの符号によらず両端の公式を使えます。図2のようにx=1では下端が1、上端が2です。

まず上端2xを代入し、その導関数2を掛けます。次に下端xを代入し、その導関数1を掛けて引きます。

G′(x) = ((2x)²+1)・2 - (x²+1)・1
      = 8x²+2-x²-1
      = 7x²+1

値は微分結果に1を代入して求めるのではなく、問題の積分へ戻します。原始関数t³/3+tを使い、上端の値から下端の値を引きます。

G(1) = ∫[1→2] (t²+1) dt
     = (8/3+2) - (1/3+1)
     = 10/3

別の確認として、一般のxについて原始関数の差を取るとG(x)=7x³/3+xです。これを微分すれば7x²+1となり、x=1を代入すると10/3に戻ります。x<0では2x<xなので積分は逆向きですが、この多項式はその向きも含んでいます。図2の矢印はx=1での向きであり、すべてのxで端点の順序が同じという意味ではありません。

標準例題：交差する端点と増減

H(x)=∫[x²→x] (t+2) dtについて、実数全体での増減と極値を求めてください。2α³+3α-2=0の唯一の実数解をαとし、極値はαを用いた正確な式で表します。

被積分関数と両端の式は実数全体で必要な連続性と微分可能性を満たします。両端の公式から、

H′(x) = (x+2) - 2x(x²+2)
      = -2x³-3x+2
H″(x) = -6x²-3 < 0

となります。H′は実数全体で狭義単調減少です。H′(0)=2、H′(1)=-3なので、中間値の定理より0と1の間に零点αがただ1つあります。x<αではH′(x)>0、x>αではH′(x)<0です。したがってHはαまで増加し、その後減少して、x=αで極大値を取ります。極小値はありません。

元の積分を計算すると、

H(x) = (x²/2+2x) - (x⁴/2+2x²)
     = -x⁴/2-3x²/2+2x
H(α) = -α⁴/2-3α²/2+2α

です。この多項式を微分すれば上のH′に戻り、αを元の上下端に代入した積分値とも一致します。数値で点検するとαは約0.553574、極大値は約0.600528です。これらの近似は証明や正確な答えの代わりにはしません。

端点が等しいx=0とx=1ではHの値はともに0ですが、H′(0)=2、H′(1)=-3であり、停留点ではありません。またH′(1/2)=1/4なので、x=1/2も極大点ではありません。

発展例題：微分で残った定数を拾う

P(x)=∫[x→x+1] (t²+pt+q) dtが、すべての実数xについてx²+4x+5に等しいとします。p、qがともに整数となる組が存在するか判定してください。存在しない場合は、実数としてのp、qを分数または整数で示し、その理由を説明してください。

積分の中身は任意のp、qについて実数全体で連続で、両端も微分可能です。等式が成り立つなら、両辺を微分した式も成り立ちます。端点の導関数はいずれも1です。

P′(x) = ((x+1)²+p(x+1)+q) - (x²+px+q)
      = 2x+1+p

一方、指定された右辺の導関数は2x+4です。係数を比べて1+p=4、すなわちp=3です。この段階ではqが消えるため、微分の式だけからqを決めることはできません。

そこで元の条件にx=0を代入します。右辺は5で、積分の端点は0と1です。

5 = ∫[0→1] (t²+3t+q) dt
  = 1/3+3/2+q
q = 19/6

ここで問題が整数を指定していた場合、q=19/6は整数ではありません。したがって条件を満たす整数の組は存在しません。整数に丸めたり、pの値だけを答えたりすると元の条件を満たしません。実数の組としてはp=3、q=19/6が候補です。

この候補について、原始関数の差を計算するとP(x)=x²+4x+5となり、すべての実数で条件を満たします。候補を代入して成立も調べたうえで、整数という指定に戻すことが必要です。もし答えの形を指定しなければ実数の組を答えられますが、指定がある場合は存在しないという結論まで書きます。

下端の項が消えた答案を直す

K(x)=∫[x→3x] (t+1) dtを微分するとき、誤ってK′(x)=3(3x+1)と書いたとします。上端の寄与は正しいものの、下端xが動く寄与を落としています。図3のように下端にも変化率1があり、その項を引く必要があります。

図3の対応を式に戻すと、正しくは次のようになります。

K′(x) = 3(3x+1) - (x+1)
      = 8x+2

確かめるには、先に積分してK(x)=4x²+2xとし、これを微分します。誤答は9x+3となり、この結果と一致しません。x=0では両端が0でK(0)=0ですが、導関数は2です。値が0であることを根拠に、変化率まで0とする誤りも避けられます。

下端の導関数が負になる場合にも注意します。公式の下端には引き算があり、さらにその端点の導関数が負なら、結果として加算になります。負号を先に1つ消すのではなく、括弧に代入してから符号を整理すると、二重の負号を追えます。

練習：式を立ててから元に戻す

次の5問では、いずれも実数の範囲で考えます。微分を求める問題は答えを整式または指定された式で表し、値は分数で表してください。

1. A(x)=∫[2x→x+3] (t+4) dtの導関数を整式で求めてください。
2. B(x)=∫[1-x→1+x] t² dtの導関数を整式で求め、B(2)を分数で求めてください。
3. C(x)=∫[x→x²] 1 dtの増減と極値を求めてください。極値は分数で表してください。
4. D(x)=∫[x→2x+1] (3t²+2) dtについて、D′(x)=0となる実数を根号を使わずに求めてください。
5. E(x)=∫[x→x+2] (t+r) dtがE(1)=10を満たすとき、定数rを整数で求め、E(x)を整式で表してください。

練習の解答と考え方

1. 異なる速さの端点

t+4は実数全体で連続で、両端も微分可能です。上端x+3の導関数は1、下端2xの導関数は2です。

A′(x) = (x+3+4)・1 - (2x+4)・2
      = -3x-1

原始関数t²/2+4tの差を取るとA(x)=-3x²/2-x+33/2です。これを微分すると-3x-1に戻ります。端点が一致するx=3でも元の積分は0になり、この式も0です。積分値の確認と導関数の確認を両方行えます。

2. 下端が逆向きに動く

t²は実数全体で連続で、両端は微分可能です。下端1-xの導関数は-1なので、下端の項を引くと加算になります。

B′(x) = (1+x)²・1 - (1-x)²・(-1)
      = 2x²+2

値を求めるときは元の端点にx=2を代入します。下端は-1、上端は3です。

B(2) = ∫[-1→3] t² dt
     = 3³/3 - (-1)³/3
     = 28/3

一般のxについてB(x)=2x+2x³/3です。これを微分すれば2+2x²で、x=2を代入すれば28/3に戻ります。負の下端を代入するとき、立方の符号を保つことも確かめます。

3. 積分値が0でも停留点とは限らない

定数関数1は連続で、端点xとx²は微分可能です。下端の導関数を引いて符号を調べます。

C′(x) = 1・2x - 1・1
      = 2x-1

x<1/2では負、x>1/2では正です。したがってCは1/2まで減少し、その後増加して、x=1/2で極小値を取ります。元の積分の下端は1/2、上端は1/4なので、向きに注意すると次の値です。

C(1/2) = ∫[1/2→1/4] 1 dt
       = 1/4-1/2
       = -1/4

一般にC(x)=x²-xであり、微分すれば2x-1です。端点が一致する0と1でCは0ですが、その間の値は負になり、極小値と矛盾しません。極大値はありません。

4. 平方の和を使って解の有無を調べる

3t²+2は連続で、両端は微分可能です。公式に代入して整理します。

D′(x) = 2(3(2x+1)²+2) - (3x²+2)
       = 21x²+24x+8
       = 21(x+4/7)²+8/7

平方は0以上で、8/7は正です。よってD′(x)>0が実数全体で成り立ち、D′(x)=0となる実数はありません。解の公式で近似値を探す必要はなく、平方完成から実数解が存在しないことまで示せます。

元の積分を計算するとD(x)=(2x+1)³+2(2x+1)-x³-2xです。これを微分すると21x²+24x+8に戻ります。定数項を含めた端点の代入によって、上の判断を照合できます。

5. 元の値で定数を定める

t+rは任意の実数rについて連続で、両端も微分可能です。まず指定されたx=1では下端が1、上端が3になることを使います。

10 = ∫[1→3] (t+r) dt
   = (9/2+3r) - (1/2+r)
   = 4+2r
r = 3

求めたrを元の積分に戻して一般のxで計算します。

E(x) = ∫[x→x+2] (t+3) dt
     = ((x+2)²/2+3(x+2)) - (x²/2+3x)
     = 2x+8

x=1を代入すると10で、与えられた値に戻ります。また両端の公式からE′(x)=(x+5)-(x+3)=2となり、得た式の導関数とも一致します。値と変化率の両方を点検すると、積分定数に当たる部分のずれも見つけられます。

手元に残す要点

• 固定点からの積分の差に直すと、下端の項に負号が付く理由が見えます。
• 上端と下端のそれぞれに被積分関数を代入し、それぞれの導関数を掛けます。
• 端点の間の連続性と端点の微分可能性を確かめ、逆向きの積分も保ちます。
• 値や定数は元の積分に指定値を代入して決めます。

途中式から見分けるつまずき

上端の式だけが書かれた答案なら、下端の位置とその導関数を別の行に書けるかを確かめます。下端の導関数が負の例では、公式の引き算と端点の負号を括弧で区別できるかが手掛かりです。端点が等しい点で導関数を0とした場合は、両端の変化率を比較して、値と変化率の違いを確かめます。

個別指導では、連続性をどの区間で調べたか、微分後に元の値をどこへ代入したかも答案上で追います。原始関数の差による別計算が一致しないときは、端点の代入、連鎖律、引き算の順に戻ります。上下端の動きを別々の項に残すと、向きと変化率を自分で点検できます。