高校数学III 定積分で表された関数—上端が変わる式を微分して増減を調べる｜武蔵野個別指導塾

積分変数と動く上端の役割を区別し、初期値と導関数の符号から極値を求め、文字の境界条件まで点検します。

よくあるのは、積分内のtと上端のxを同じものと考え、微分した式からtが消えずに手が止まる場面です。たとえば、上端を動かすと積分の値は変わりますが、積分の途中で使う文字には別の役割があります。両者を区別すると、関数の値を積分で計算する道と、増減を微分で調べる道がつながります。ここでは連続な関数を被積分関数とする場合に絞り、初期値から式を確かめ、極値まで求めます。面積や体積の計算は扱いません。

要点（結論から）

• 連続なfに対し、F(x)=∫[a→x] f(t) dtならF′(x)=f(x)、F(a)=0です。
• 積分内のtは途中の文字、xは動く上端です。
• 極値は導関数が0となる点の左右で符号が変わるかを見て決めます。

上端が動くときの3つの問い

1つ目は、上端を変数に持つ関数を微分し、その増減や極値を求める問いです。積分を先に展開しなくても、被積分関数の符号を調べれば増減が見えます。ただし、導関数が0となる点を見つけただけでは極値と決まりません。左右の符号が変わるかを確かめます。

2つ目は、積分で定められた関数の値や方程式を求める問いです。下端と上端が一致するところでは定積分の値が0になります。この初期値を使って、計算で生じた定数の取り違えを点検できます。上端が下端より小さい場合にも、積分の向きと符号を保ちます。

3つ目は、被積分関数に文字を含むときに極値の条件を求める問いです。文字を固定した上で微分し、導関数の根の個数だけでなく、その位置と符号の変化を調べます。根が重なった場合や、求める範囲の端に来た場合は、途中の不等号に等号を付けられるかを別に確かめます。

積分の中の文字と上端の役目

実数aを固定し、fが考える区間で連続で、その区間にaとxが入っているとします。関数Fを次で定めます。

F(x) = ∫[a→x] f(t) dt

tは積分の中で動く文字です。積分が終われば残らないため、同じ役割の別の文字に変えても値は変わりません。一方、xは積分の上端であり、Fの入力です。図1のように、aを固定して上端をxから少し動かすと、増えた部分の積分がFの変化に対応します。

図1の差は、向きを含めて次のように表せます。hが負でも、積分の上下を入れ替えると符号が変わる約束のまま成り立ちます。

F(x+h) - F(x) = ∫[x→x+h] f(t) dt

fがxで連続なので、hが0に近づくと、その短い区間でのf(t)の値はf(x)に近づきます。差をhで割った値はf(x)に近づき、積分と微分の基本定理から次を得ます。

F′(x) = f(x)
F(a) = 0

2行目は上下の端が同じ定積分の値です。fの原始関数をGとすると、定積分の基本定理によりF(x)=G(x)-G(a)とも書けます。Gに定数を加えても差では消えます。F′(x)=f(x)を満たす関数は定数の分だけ異なりますが、F(a)=0まで指定すると、その定数は決まります。

微分の式を使う前に、aからxまでの区間でfが連続かを見ます。連続でない点をまたぐ式では、ここで示した定理をそのまま適用できません。また、上端以外にxが含まれる式は、この形に当てはめる前に条件を整理する必要があります。以下の問題では、積分内のtについての関数を先に定め、xは上端として扱います。

数学IIIの積分では基本性質と積分の方法を学びます。ここではその基本定理を使い、積分で定義された関数の変化を読み取ります。

基本例題：導関数の符号から谷を見つける

F(x)=∫[1→x] (2t-4) dtとします。実数全体での増減と極値を求め、F(x)を多項式で表してください。極値は整数で答えます。

被積分関数2t-4は実数全体で連続です。したがって基本定理を使えます。積分内のtを上端xに替え、次の導関数を得ます。

F′(x) = 2x-4
       = 2(x-2)

x<2ではF′(x)<0、x>2ではF′(x)>0です。よってFは2まで減少し、2から増加します。符号が負から正に変わるので、x=2で極小です。図2のように、初期値F(1)=0から右へ進み、2を過ぎると上昇します。

極小値を出すには、位置2をFに代入します。原始関数t²-4tを使い、上下の端での値の差を取ります。

F(x) = [t²-4t] の t=1 から t=x までの差
     = (x²-4x) - (1-4)
     = x²-4x+3
     = (x-2)²-1
F(2) = -1

したがって極小値は-1で、極大値はありません。平方完成した式からも2が谷であると照合できます。図2にはF(1)=0、F(2)=-1、F(3)=0を示しています。3は上端の値であり、積分内の変数の名前ではありません。

答えを元の条件に戻します。x²-4x+3を微分すると2x-4で、上端に入れた被積分関数と一致します。さらにx=1を代入すると0です。この2つを確認すれば、傾きと下端での値の両方を点検できます。導関数の一致だけで終えると、定数を誤った式も通してしまいます。

標準例題：2つの停留点を比べる

H(x)=∫[2→x] (t-2)(t-4) dtとします。Hの増減を調べ、極大値と極小値をそれぞれ分数または整数で求めてください。

被積分関数は多項式なので連続です。上端を代入して因数の符号を見ます。

H′(x) = (x-2)(x-4)

x<2では両因数が負なのでH′(x)>0です。2<x<4では一方が正、他方が負なのでH′(x)<0です。x>4では両方が正なのでH′(x)>0です。2と4で導関数が0になるだけでなく、2では正から負、4では負から正に変わります。したがって2で極大、4で極小です。

2は下端なのでH(2)=0です。4での値は積分の向きに注意して計算します。被積分関数を展開し、原始関数の差を取ります。

(t-2)(t-4) = t²-6t+8
H(x) = (x³/3-3x²+8x) - (8/3-12+16)
     = x³/3-3x²+8x-20/3
H(4) = 64/3-48+32-20/3
     = -4/3

極大値は0、極小値は-4/3です。2から4の間では被積分関数が負なので、H(4)がH(2)より小さいという符号も結果に合います。H(x)を微分するとx²-6x+8に戻り、H(2)は0です。実数全体では左端や右端がないため、この極大値と極小値をそれぞれ最大値、最小値と呼ぶことはできません。

極値の位置が下端と一致するのは、この問題の条件によるものです。別の下端なら、同じ導関数でも関数の値は定数分だけ変わります。位置と値を別に求めると、この違いを見落としません。

発展例題：文字の範囲と境界を調べる

実数kを固定し、P(x)=∫[0→x] (t²-2t+k) dtとします。Pが異なる2つの極値を与える点を持ち、その2点がともに正となるようなkの範囲を求めてください。範囲は不等式で答えます。

被積分関数はどのkでも連続です。基本定理と平方完成により、次を得ます。

P′(x) = x²-2x+k
      = (x-1)²+k-1

極値の位置の候補はP′(x)=0の実数解です。2つの異なる解を得るには1-k>0、すなわちk<1が必要です。そのとき、解は1-√(1-k)と1+√(1-k)です。前者をα、後者をβとするとα<βで、因数分解したP′(x)=(x-α)(x-β)は外側で正、間で負です。よってαで極大、βで極小となり、両方で確かに符号が変わります。

βは常に正です。αも正である条件を、両辺が非負であることに注意して変形します。

1-√(1-k) > 0
√(1-k) < 1
1-k < 1
k > 0

最後の2行の同値変形は、平方根と1がともに非負なので二乗してよいことによります。2つの条件を合わせ、答えは0<k<1です。実際にこの範囲なら異なる2つの正の根があり、それぞれで符号が変わります。必要条件を出すだけでなく、この逆向きも確認しました。

境界を戻して検査します。k=0なら根は0と2で、0は正ではありません。k=1ならP′(x)=(x-1)²で、x=1の左右で正のままなので極値は生じません。k>1なら導関数は常に正で、停留点がありません。k<0なら小さい根は負となります。端を含めない理由は、これらを元の条件に戻すと明確です。

誤答を直す：0になる点と極値は同じではない

Q(x)=∫[0→x] (t-2)² dtについて、「Q′(2)=0だから、x=2で極小」とする答えを考えます。被積分関数は連続なので、微分自体はQ′(x)=(x-2)²で正しいです。誤りは、その後で導関数の値が0という条件を、符号の変化があるという条件にすり替えた点にあります。

図3のように、2の左右ではQ′(x)>0です。2で一度0になっても、正から負にも負から正にも変わりません。実際にQ(x)=(x-2)³/3+8/3で、どの実数xでもQは増加します。したがってx=2は停留点ですが、極大点でも極小点でもありません。Q(0)=0と微分の結果を代入すれば、この式が元の定義と整合することも確認できます。

反対に、導関数が0になる点を見つけた後で左右の符号を調べれば、基本例題のような負から正への変化を見逃しません。式が因数分解できる場合は各因数の符号を区間ごとに書きます。重解なら符号が変わらない場合があるため、根の個数と極値の個数を同じものとして数えないことが必要です。

もう1つの誤りは、∫[a→x] f(t) dtの微分をf(t)と残すことです。導関数もxの関数なので、答えはf(x)です。具体的なxを入れると上端が決まり、そのときの変化率に対応する値が定まる、と役割に戻って点検します。

手を動かす5問

各被積分関数は実数全体で連続です。極値は存在する場合に値と位置を答え、存在しない場合はその理由も述べてください。答えの数は整数または分数、必要な場合は対数を含む正確な式で表します。

1. A(x)=∫[-1→x] (3t²+2) dtを多項式で表し、実数全体での増減を調べてください。
2. B(x)=∫[0→x] (t-3)(t+1) dtの極大値と極小値を求めてください。
3. C(x)=∫[2→x] (4-t) dtについて、C(x)=0を満たすすべての実数xを求めてください。
4. 実数aを固定し、D(x)=∫[1→x] (t²+a) dtとします。Dがx=2で極値を持つようなaを求め、その極値が極大値か極小値かを判定してください。
5. E(x)=∫[0→x] (eᵗ-2) dtの増減と極小値を求めてください。logは自然対数とします。

解答と確かめ

1. 初期値と単調性

3t²+2の原始関数はt³+2tです。下端の値を引きます。

A(x) = (x³+2x) - {(-1)³+2(-1)}
     = x³+2x+3
A′(x) = 3x²+2

x²は0以上なので、A′(x)>0がすべての実数xで成り立ちます。よってAは実数全体で増加し、極値はありません。答えの多項式を微分すると3x²+2となり、x=-1を代入すると0です。上端と下端が一致する元の条件も満たします。

2. 符号が変わる順番

被積分関数は連続なので、上端を入れて導関数にします。根の順を小さい方から並べて符号を調べます。

B′(x) = (x-3)(x+1)

x<-1では正、-1<x<3では負、x>3では正です。したがってx=-1で極大、x=3で極小です。値を求めるために原始関数との差を計算します。

B(x) = ∫[0→x] (t²-2t-3) dt
     = x³/3-x²-3x
B(-1) = -1/3-1+3
      = 5/3
B(3) = 9-9-9
     = -9

極大値は5/3、極小値は-9です。B(0)=0であり、Bを微分すると(x-3)(x+1)に戻ります。-1から3の間では導関数が負なので、求めた極大値が極小値より大きいことも符号と一致します。

3. 同じ値を取る別の上端

下端2を代入するとC(2)=0です。ただし、それ以外の解がないとは限りません。式を求めてから方程式を解きます。

C(x) = (4x-x²/2) - (8-2)
     = 4x-x²/2-6
     = -(x-2)(x-6)/2

積が0となるのはx=2またはx=6です。元の積分に戻すと、2では上下が同じです。6では原始関数4t-t²/2の値が上下とも6なので差が0です。途中に正の部分と負の部分があるため、上下が異なっても定積分が0となります。答えはx=2、6です。

4. 極値を持つための条件

Dがx=2で極値を持ち、そこで微分可能ならD′(2)=0です。被積分関数が連続なので、基本定理を使います。

D′(x) = x²+a
D′(2) = 4+a
4+a = 0
 a = -4

この条件が十分か、元に戻して調べます。a=-4ではD′(x)=(x-2)(x+2)です。2の左側のうち-2<x<2では負、2の右側では正です。したがってx=2で極小値を持ちます。求めるaは-4です。

さらに下端での値も合わせると、D(x)=x³/3-4x+11/3となります。微分はx²-4に戻り、D(1)=0です。参考として極小値はD(2)=-5/3です。導関数が0になることだけでは十分でないので、左右の符号を調べてから判定しました。

5. 指数関数の増減に戻す

eᵗ-2は連続です。eˣは単調に増加し、eˣ=2の解はx=log 2です。

E′(x) = eˣ-2
E(x) = (eˣ-2x) - 1
     = eˣ-2x-1

x<log 2ではE′(x)<0、x>log 2ではE′(x)>0です。したがってEはlog 2まで減少し、その後増加します。極小値は次のとおりです。

E(log 2) = 2-2 log 2-1
         = 1-2 log 2

答えの式を微分するとeˣ-2となり、E(0)=1-0-1=0です。eのlog 2乗が2であることを極小値への代入に使いました。近似値にせず、元の条件に戻して確かめています。

要点を残す

• 連続なfに対し、F(x)=∫[a→x] f(t) dtならF′(x)=f(x)、F(a)=0です。
• 積分内のtは途中の文字、xは動く上端です。
• 極値は導関数が0となる点の左右で符号が変わるかを見て決めます。
• 求めた式は微分と下端の代入で、値は元の積分の向きでも照合します。

符号表にtが残る場合は、上端に代入する段階で文字を混同しているかを見ます。停留点をそのまま極値とした場合は、左右の区間に具体的な値を1つずつ入れて符号を確認します。個別指導では、本人が書いた初期値、因数の符号、極値の位置と値を順にたどり、どの行で条件を落としたかを確かめます。積分の中と外の文字を区別すると、関数の変化が式の上に現れます。