面積の公式一覧—三角形・四角形・台形・ひし形・円・おうぎ形｜武蔵野個別指導塾

台形の式に ÷ 2 が付くのは、同じ台形を 2 枚つなぐと平行四辺形になるからです。辺が 13、14、15 の三角形を 3 通りの式で解き、どれも 84 にそろう様子まで追えます。

高さ h は、底辺に垂直に測った長さです。おうぎ形は弧の長さ l を使って l × r ÷ 2 とも書けます。三角形にはあと 2 つ式があり、2 辺 b、c と間の角 A がわかれば (1/2) bc sin A、3 辺 a、b、c がわかれば s = (a + b + c) / 2 を使って √(s(s − a)(s − b)(s − c)) で求まります。

よくあるのは、夕食の片づけが終わった食卓で、小学 5 年のお子さまの宿題を横から見ている場面です。台形の問題で鉛筆が止まり、「台形ってどうやるんだっけ」と聞かれる。2 で割ることだけは覚えているので、スマートフォンで式を確かめて伝えます。ところが返ってくるのは「なんで足してから 2 で割るの」。ここで黙ってしまう大人は少なくありません。式は 10 秒で見つかりました。その先の「なんで」に答えられるようになって、このページを閉じてください。

公式の一覧

上の表は形から引く表でした。ここでは同じ公式を、問題文に書かれている数字から引ける形に並べ直し、習う時期を添えます。公式を選ぶときに見るのは図形の名前よりも、手元にどの長さがそろっているかです。

図1のように、赤い点線の高さは斜めの辺とは別の線です。平行四辺形なら、上の辺の 1 点から底辺へまっすぐ下ろした線の長さを使います。台形の上底と下底は平行な 2 辺のことで、図を逆さにすれば入れ替わりますが、足し算なので答えは動きません。ひし形の公式には辺の長さが一度も出てこず、緑の点線で示した 2 本の対角線だけで決まります。

図形の仲間を知っておくと、公式の当てはまる範囲が広がります。正方形は長方形でもあり、ひし形でもあります。対角線が 6 cm の正方形は 1 辺の長さがわからなくても、6 × 6 ÷ 2 = 18 cm² と出せます。長方形とひし形は平行四辺形の仲間なので、底辺 × 高さがそのまま使えます。

円だけは小学校と中学校で答えの書き方が変わります。小学校では円周率を 3.14 として計算し、中学校からは π の文字を残します。半径 5 cm の円なら、小6 の答えは 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²、中1 の答えは 25π cm² です。同じ円で、丸めたかどうかの違いだけです。

なぜこの形になるのか

すべての出発点は長方形です。縦 a cm、横 b cm の長方形には、1 cm² のマスが a × b 個並びます。ここから先の四角形と三角形は、切って動かすか、同じ図形をもう 1 枚足すかで、長方形か平行四辺形に持ち込みます。

平行四辺形は、高さの線に沿って片側の直角三角形を切り取り、反対側へ動かすと長方形になります。動かしても面積は変わらないので、底辺 × 高さです。三角形はもう 1 枚用意して 180 度回してつなぐと平行四辺形になるので、底辺 × 高さの半分です。

台形も同じ手を使います。図2の左は上底 3、下底 5、高さ 4 の台形です。同じ台形を 180 度回してつなぐと、下の辺は 5 + 3 = 8 に、上の辺も 3 + 5 = 8 になって、平行四辺形ができます。面積は 8 × 4 = 32 で、これが台形 2 枚分なので 1 枚は 16 です。(上底 + 下底) という足し算の正体は、2 枚つないだときの底辺でした。食卓の「なんで足すの」には、この絵で答えられます。

ひし形は図2の右のように、対角線と同じ長さの辺を持つ長方形で囲みます。対角線が 8 と 6 なら長方形は 8 × 6 = 48 です。4 すみに余った直角三角形は、ひし形の内側を対角線で 4 つに分けた直角三角形と同じ形で同じ大きさなので、ひし形は長方形のちょうど半分の 24 です。このひし形の 1 辺は 5 ですが、正方形のつもりで 5 × 5 = 25 としても合いません。辺の長さが同じでも、つぶれた分だけ面積は減ります。対角線が垂直に交わる四角形なら、ひし形でなくても同じ囲み方で 対角線 × 対角線 ÷ 2 が成り立ちます。

三角形の 3 つの求め方は、別々の公式に見えて同じ面積を別の材料から出しています。図3は辺が 13、14、15 の三角形です。長さ 14 の辺を底辺にすると高さはちょうど 12 で、14 × 12 ÷ 2 = 84 です。

2 つ目の式は、この高さを sin で言い直したものです。2 辺 b、c と間の角 A があるとき、辺 b を底辺にすると高さは c sin A なので、面積は b × c sin A ÷ 2 = (1/2) bc sin A になります。角 A が 90 度を超えても sin(180° − A) = sin A なので式は同じです。図3で 13 と 14 にはさまれた角 B を使うと sin B = 12 / 13 で、13 × 14 × (12 / 13) ÷ 2 = 84 です。

3 つ目のヘロンの公式は、sin の式から角を消したものです。余弦定理から cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) とし、sin²A = (1 + cos A)(1 − cos A) に入れます。s = (a + b + c) / 2 とおくと、1 + cos A = ((b + c)² − a²) / (2bc) = 2s × 2(s − a) / (2bc)、1 − cos A = (a² − (b − c)²) / (2bc) = 2(s − b) × 2(s − c) / (2bc) と因数分解できます。面積の 2 乗は (1/4) b²c² sin²A なので、これらを入れると b²c² が消えて s(s − a)(s − b)(s − c) だけが残ります。図3の三角形では s = 21 で、√(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 です。材料が違っても、同じ三角形の面積は同じ値にそろいます。

円は、細かく切って互い違いに並べると、縦が r、横が円周の半分 πr の長方形に近づきます。だから πr × r = πr² です。おうぎ形はその円の一部で、中心角 x 度は 1 周 360 度の x / 360 にあたります。図4の左は半径 6、中心角 120 度で、円全体の面積 36π の 3 分の 1 が面積 12π、円周 12π の 3 分の 1 が弧の長さ 4π です。

おうぎ形のもう 1 つの式 l × r ÷ 2 は、面積の式を組み替えると出てきます。πr² × (x / 360) = r × 2πr × (x / 360) ÷ 2 で、2πr × (x / 360) が弧の長さ l だからです。おうぎ形を細かく切ると細い三角形の集まりになり、底辺を全部足すと l、高さはどれも r です。図4の右のように弧をまっすぐ伸ばして底辺と見れば、4π × 6 ÷ 2 = 12π となって左の計算と一致します。

例題で使い方を確かめる

易しい順に 4 問です。どの問題も、公式に数字を入れる前に「手元にあるのは何の長さか」を確かめるところから始めます。

例題1（小5）

上底 6 cm、下底 10 cm、高さ 4 cm で、斜めの辺の 1 本が 5 cm の台形の面積を求めてください。

1. 平行な 2 辺を探して上底と下底を決めます。公式に入る辺は平行な 2 辺だけだからです。
2. 6 + 10 = 16 と足します。同じ台形を 2 枚つないだときの底辺を作る計算です。
3. 16 × 4 = 64 と高さをかけます。5 cm を使わないのは、底辺に垂直ではないからです。
4. 64 ÷ 2 = 32 と半分にします。2 枚分を 1 枚に戻すためです。

答え: 32 cm²

例題2（中1）

半径 12 cm、中心角 150 度のおうぎ形の面積と弧の長さを求めてください。

1. 中心角の割合を 150 / 360 = 5 / 12 と約分します。先に約分すると、π を含む計算が短く済むからです。
2. 円全体の面積は π × 12² = 144π なので、144π × 5 / 12 = 60π です。円のうち 12 分の 5 だけを切り取っているからです。
3. 円周は 2π × 12 = 24π なので、24π × 5 / 12 = 10π です。弧の長さも面積と同じ割合で決まるからです。
4. 10π × 12 ÷ 2 = 60π と、もう 1 つの式で確かめます。別の式で同じ値になれば、割合の計算違いをここで見つけられます。

答え: 面積 60π cm²、弧の長さ 10π cm

例題3（数学Ⅰ）

AB = 8 cm、AC = 5 cm、角 A = 120° の三角形 ABC の面積を求めてください。

1. 8 cm と 5 cm の辺が角 A をはさんでいることを確かめます。sin の式が使えるのは間の角だけだからです。
2. sin 120° = sin 60° = √3 / 2 と値を決めます。sin(180° − A) = sin A の関係で鋭角に直せるからです。
3. (1/2) × 8 × 5 × (√3 / 2) = 10√3 と計算します。底辺 8 に高さ 5 sin 120° をかけて半分にしている形です。
4. 大きさを概算で確かめます。高さ 5 sin 120° は約 4.3 なので 8 × 4.3 ÷ 2 は約 17.2 で、10√3 の約 17.3 と近い値です。√ の式は見た目で大きさがつかみにくいので、途中で数字を落としていないかをここで見つけるためです。

答え: 10√3 cm²

例題4（数学Ⅰの発展）

3 辺が 5 cm、6 cm、7 cm の三角形の面積と、7 cm の辺を底辺としたときの高さを求めてください。

1. s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9 と周の半分を出します。ヘロンの公式はこの s がないと始まらないからです。
2. s から各辺を引いて 4、3、2 を作ります。この 3 つを足すと s に戻るので、引き算の確かめになります。
3. √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 = 6√6 と計算します。216 = 6² × 6 なので、6 を √ の外へ出せます。
4. 7 × h ÷ 2 = 6√6 から h = 12√6 / 7 を求めます。面積が出れば、底辺 × 高さ ÷ 2 を逆に使って高さが出るからです。

答え: 面積 6√6 cm²、高さ 12√6 / 7 cm

まちがえやすいところ

どれも計算力の問題ではなく、公式に入れる数字の選び方で起きます。

斜めの辺を高さにしてしまう

• 誤った書き方: 図3の三角形を 14 × 13 ÷ 2 = 91 とする。
• どこが違うか: 13 は底辺に垂直ではありません。斜めの辺は高さより必ず長いので、面積が大きく出ます。問題文に書いてある数字を全部使おうとすると、この誤りに入ります。
• 正しい書き方: 垂直に測った 12 を使い、14 × 12 ÷ 2 = 84 とします。

直径のまま 2 乗してしまう

• 誤った書き方: 直径 12 cm の半円を π × 12² ÷ 2 = 72π cm² とする。
• どこが違うか: 公式の r は半径です。直径をそのまま入れると長さが 2 倍のまま 2 乗されて、面積は 4 倍になります。
• 正しい書き方: 半径 6 cm に直し、π × 6² ÷ 2 = 18π cm² とします。

単位をそろえずにかけてしまう

• 誤った書き方: 縦 3 m、横 40 cm の長方形を 3 × 40 = 120 cm² とする。
• どこが違うか: m と cm を混ぜてかけています。1 m = 100 cm でも、1 m² は 100 cm² ではなく 100 × 100 = 10000 cm² です。面積は長さを 2 回かけた量なので、換算も 2 回分かかります。
• 正しい書き方: 300 × 40 = 12000 cm²、または 3 × 0.4 = 1.2 m² とします。

覚え方と忘れたときの戻り方

丸暗記する式は少なくて済みます。忘れたときは、次の順に図を描いて戻ります。

1. 長方形は 1 cm² のマスを数える形として、縦 × 横から始めます。
2. 平行四辺形は片側を切って反対へ動かし、長方形に戻します。
3. 三角形と台形は同じものをもう 1 枚描いて回し、平行四辺形にしてから半分にします。
4. ひし形は長方形で囲んで半分にします。
5. おうぎ形は、円の何分のいくつかを中心角から出します。

台形は「上底足す下底、かける高さ、割る 2」とそのまま唱える形がよく使われます。唱えられなくなったら、紙を 2 枚重ねて台形を切り、片方を 180 度回してつなげば 1 分で式が戻ります。お子さまに「なんで」と聞かれたときも、説明より先にこの紙を渡すほうが話は早く進みます。

ヘロンの公式だけは図で戻りにくいので、3 辺が 3、4、5 の直角三角形で確かめます。s = 6 で √(6 × 3 × 2 × 1) = 6、底辺 × 高さでも 3 × 4 ÷ 2 = 6 となって一致すれば、覚えた形は合っています。

練習問題

1. 底辺 12 cm、斜めの辺 7 cm、高さ 5 cm の平行四辺形の面積を求めてください。また、7 cm の辺を底辺と見たときの高さも求めてください。
2. 1 辺 10 cm の正方形 ABCD で、頂点 A を中心とする半径 10 cm の弧と、頂点 C を中心とする半径 10 cm の弧を、どちらも B から D まで引きます。2 本の弧にはさまれた葉の形の面積を求めてください。答えは π を残した形と、π を 3.14 に置きかえた値を並べて書きます。
3. 3 辺が 7 cm、8 cm、9 cm の三角形の面積を求めてください。

答えと解説

1. 面積は 60 cm²、高さは 60 / 7 cm です。斜めの辺は使わず 12 × 5 = 60 とします。同じ平行四辺形を 7 cm の辺から見ても面積は 60 のままなので、7 × h = 60 から h = 60 / 7 が出ます。
2. 50π − 100 cm²、3.14 とした値は 57 cm² です。半径 10 cm、中心角 90 度のおうぎ形は面積 25π で、これを 2 枚重ねると葉の形の部分だけが 2 回数えられ、全体は正方形の 100 を覆います。だから 2 × 25π − 100 = 50π − 100 で、3.14 を入れると 157 − 100 = 57 です。
3. 12√5 cm² です。s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12 で、s から各辺を引くと 5、4、3 です。√(12 × 5 × 4 × 3) = √720 で、720 = 144 × 5 と分けると √ の外へ 12 が出ます。

次に確かめる公式

• 三平方の定理: 斜めの辺と底辺の一部から高さを出すときに使います。
• 余弦定理: 3 辺から角の大きさを求めるときや、ヘロンの公式を導くときに使います。
• 体積の公式: 底面積に高さをかけて柱の体積を出すときに使います。

個別指導では、台形で止まった生徒なら平行四辺形の切り貼りまで、sin の式で止まった生徒なら三角形の高さを sin で表すところまで戻り、本人の手で図を描いて確かめます。式を見せるのは、その図が描けてからです。

まとめ

次に食卓で「なんで 2 で割るの」と聞かれたら、紙とはさみを出せば足ります。同じ台形をもう 1 枚切って 180 度回せば、(上底 + 下底) の足し算まで一緒に机の上に現れます。三角形の sin の式もヘロンの公式も、底辺 × 高さ ÷ 2 の言い直しでした。公式集に並ぶ ÷ 2 は、どれも図形を 2 倍に広げて長方形か平行四辺形にした跡です。