高校数学B 群数列—定期テストで群の項数と通し番号から目的の項を探す｜武蔵野個別指導塾

群の末尾までの項数と群内の位置をつなぎ、境界で迷わず項を探すための群数列です。

よくあるのは、定期テスト前に並んだ数を群に分け、第4群の3番目を数列全体の第3項と混ぜてしまう場面です。群の中で数え直した番号と、最初から数え続けた番号は違います。同じ項に2種類の住所が付いていると考え、群の手前に何項あるかを先に数えます。群の区切りが目に見えていても、境目の項をどちらに入れるかまで式で確認しましょう。

どんな問いが並ぶか

群数列では、数列を一定の規則でいくつかの群に分けます。区切りは項の値を変える操作ではなく、並びの読み方を整理するためのものです。第1群から順に項数が1、2、3、…と増える場合、第4群には4項あります。ただし、どんな群数列でも第k群の項数がkとは限りません。問題で示された区切りから項数の規則を読み取ります。

出方の1つは、指定された群の最初や最後の通し番号を求める問いです。第k群の前にある項数を足せば最初の位置が決まり、そこに群の項数を加えれば最後の位置も決まります。もう1つは、第N項が何群の何番目かを逆に探す問いです。各群の終わりまでの合計を使って、Nを挟む2つの数を探します。

さらに、群の番号と群内の位置から項の値を定め、その値まで求める問いがあります。位置の特定と値の計算は別の段階です。例えば各群で同じ値を繰り返す規則と、群内で1ずつ増える規則では、同じ位置でも答えは変わります。まず住所を決め、その後に問題固有の値の規則を当てはめます。

群の前まで数えてから位置を決める

第k群の項数をcₖ、第k群の終わりまでの項数をTₖとします。第1群の前には項がないので、T₀=0と置きます。すると第k群の前までにはTₖ₋₁項あります。第k群の最初の通し番号はTₖ₋₁+1、最後の通し番号はTₖです。前の群の最後と次の群の最初は連続しており、同じ番号を共有しません。

第k群の中のj番目なら、通し番号はTₖ₋₁+jです。ここでjは1以上cₖ以下の整数です。群内の位置を0から数え始めると最初の項が前の群の末尾と重なるので、1から始めることを明示します。逆に通し番号がNなら、Tₖ₋₁<N≦Tₖを満たす群を選び、j=N-Tₖ₋₁とします。左側に等号を付けないのは、N=Tₖ₋₁ならその項は前の群の最後だからです。

図1のように、前の群までをひとかたまりにすると、目的の位置は残りを数えるだけです。第k群の項数がkなら、Tₖ=1+2+…+k=k(k+1)/2です。例えば第3群の前は1+2=3項、第3群は通し番号4から6までです。式にk=1を入れると最初はT₀+1=1、最後はT₁=1となり、最初の群にも使えます。

項数の規則が違うときは、合計も作り直します。第k群が2k項なら、第k群までの項数は2(1+2+…+k)=k(k+1)です。第k群がk項の場合の式をそのまま使えば、群の位置からずれます。区切りと項数の表を短く書き、少なくとも最初の2群で合うことを確認してから先へ進みましょう。

基本例題：第17項の住所と値

次の数列は、縦線の位置で群に分けています。各群の最初から1ずつ増えます。

1｜2, 3｜3, 4, 5｜4, 5, 6, 7｜…

第k群にはk項があり、最初の値はkです。この規則が続くとき、第17項が第何群の何番目かを整数で求め、その項の値も整数で答えてください。

まず群の末尾までに何項あるかを調べます。第k群までの項数はTₖ=k(k+1)/2です。第5群までと第6群までを代入すると、

T₅=5(5+1)/2=15

T₆=6(6+1)/2=21

です。15<17≦21なので、第17項は第6群にあります。第5群までに15項あるため、第6群に入ってからの位置は

17-15=2

となります。第6群の2番目です。最初の値が6で、そこから1回増えるので、値は6+1=7です。答えは第6群の2番目、値は7です。

図2では第5群の最後が15、第6群の最初が16です。16を1番目、17を2番目として数えると、引き算で得た位置と一致します。また第6群は6項ですから、2番目はその範囲内です。位置の式j=N-T₅に戻すと15+2=17で、求められた通し番号も元に戻ります。

値の式を使う場合、第k群のj番目はk+j-1です。j=1で最初の値kに戻るよう、増えた回数をj-1としています。ここにk=6、j=2を入れれば6+2-1=7です。通し番号17をjに入れてしまうと、群内の位置と混ざります。kとjを決めてから代入欄を分けて書くと、役割を取り違えにくくなります。

項数が変わるときの境目

次は第k群に2k項あり、第k群のj番目の値を3k+jと定めます。第40項は第何群の何番目か、またその値はいくつかを、それぞれ整数で答えてください。数の並びはこの条件によって定まります。

第k群までの項数をUₖとすると、

Uₖ=2+4+…+2k

=2(1+2+…+k)

=k(k+1)

です。第5群までではU₅=5×6=30、第6群までではU₆=6×7=42です。30<40≦42なので、第40項は第6群です。第6群に入ってからの位置は40-30=10で、値は3×6+10=28です。第6群には12項あるため、10番目は確かに群の中にあります。

答えを条件に戻すと、前の30項と群内の10項を合わせて40項です。第6群の値の規則にもk=6、j=10を戻すと28となります。第40項が第6群の10番目であることと、その値が28であることは別々に確かめています。

境界が変わった場合も考えます。同じ規則の第30項なら、U₅=30なので第5群の最後です。第6群の0番目とは呼びません。一方、第31項なら第6群の1番目です。左側の不等号に等号を入れるかどうかは、こうした端の項で判断できます。大きい番号を探すときも、まず末尾の合計がその番号以上になる最初の群を探し、その1つ前の合計を引く手順は変わりません。

誤答を番号の意味から直す

基本例題で、第17項は第6群だから「群内でも17番目」とする誤答を考えます。第6群の項数は6なので、17番目は存在しません。通し番号は数列の初めから数えた位置であり、群内の番号は第6群の最初から数えた位置だからです。第5群までの15項を除けば、群内の位置は2になります。

図3のように、17から15を引く矢印を挟むと、2つの番号の役割が見えます。得られた2が1以上6以下かを調べることも有効です。範囲に入らなければ、群の選び方か引く合計を見直します。ただし範囲に入るだけでは正解の証明にはなりません。群の前までの項数と足して元の番号になることも確認します。

別の誤りは、群の最初をTₖ₋₁とすることです。Tₖ₋₁は前の群の最後の番号なので、次の最初は1を加えます。逆に最後をTₖ+1とすると、次の群の最初まで含めてしまいます。最初と最後を両方書いた後、その間の個数が「最後-最初+1」で群の項数と一致するかを調べると、端のずれを発見できます。

逆算の見通しと境界の点検

通し番号から群を探すとき、いきなり群内の位置を計算することはできません。引くべき「前の群までの合計」が、群番号によって変わるからです。まず合計の式に小さい群番号を入れて増やし、目的の通し番号を初めて含むところを探します。候補が大きいときは、およその候補を試し、その前後の合計を比較してもかまいません。最後に不等式で挟めば、途中の候補の選び方にかかわらず場所を確定できます。

例えば各群の項数が群番号と同じとき、第10群までには55項、第11群までには66項あります。通し番号が55なら第10群の最後、56なら第11群の最初です。どちらも近い番号ですが、引く合計はそれぞれ第9群までの45、第10群までの55です。55-45=10、56-55=1となり、それぞれの群の最後と最初に一致します。番号の大小だけでなく、等号がどちらに付くかを具体的に確かめる練習になります。

反対に、群番号と位置から通し番号を出すときは、指定された位置が存在するかを先に見ます。第10群に10項ある規則なら、その群の11番目はありません。前の合計に11を足した数自体は計算できますが、それは次の群の最初の通し番号を指してしまいます。計算ができたことと、指定された住所が有効であることは別です。問題の条件が成り立たないときには、無理にその群の項として値を出さず、位置が範囲外である理由を示します。

値が等しい項が複数あっても、通し番号はそれぞれ異なります。基本例題では第2群の最初と第1群の値は異なりますが、後の群に進むと同じ値が別の位置に現れることがあります。値から場所を決める問題では、その値が出るすべての群と位置を条件に従って調べる必要があります。位置から値を求める今回の手順では、先に住所を特定すれば、同じ値が別の場所にあることは計算の妨げにはなりません。

練習：まず問題をまとめて解く

次の問題の答えは、指示されたものをすべて整数で求めてください。それぞれ別の規則です。各群は左から順に並び、群内の番号は1から始めます。

1. 第k群にk項ある数列で、第8群の最初と最後の通し番号を求めてください。
2. 第k群にk項あり、第k群の各項の値がすべて2kである数列で、第23項の群番号、群内の位置、値を求めてください。
3. 第k群に3k項あり、第k群のj番目の値がk+2jである数列で、第50項の群番号、群内の位置、値を求めてください。
4. 第k群にk+1項あり、第k群の各項の値がkである数列で、第4群の3番目の通し番号と値を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 第7群までの項数は7×8/2=28です。したがって第8群の最初は29、最後は8×9/2=36です。29から36までの個数は36-29+1=8で、第8群の項数に戻ります。前の群の最後が28なので、29はその直後です。

2. 第6群までの項数は6×7/2=21、第7群までの項数は7×8/2=28です。21<23≦28より第7群で、23-21=2番目です。値は2×7=14です。前の21項と2番目を合わせると23項であり、2は第7群の7項の範囲内です。値14も第7群の規則に一致します。

3. 第k群までの項数は3k(k+1)/2です。第5群までは3×5×6/2=45項、第6群までは3×6×7/2=63項です。45<50≦63より第6群の50-45=5番目です。値は6+2×5=16です。第6群の項数18に対し5番目は範囲内で、45+5=50と通し番号へ戻せます。

4. 第1群から第3群までの項数は2+3+4=9です。その次の第4群の3番目は9+3=12番目、値は4です。第4群には5項あるので3番目は存在します。9+1=10から9+5=14までが第4群で、12はその3番目に当たります。

手元に残す4行

群の項数を読み、前の群までの合計を出します。
最初は前の合計+1、最後はその群までの合計です。
通し番号から前の合計を引くと群内の位置です。
位置を確定してから値の規則へ代入します。

どこで止まったかを確かめる

最初の群は書けるのに遠い群へ進めない場合は、第k群の項数と第k群までの合計を混同していないか見ます。例えば項数がkなら、第4群の項数は4、そこまでの合計は10です。この2つを表の別の欄に書くと、足す量が見えます。項数の規則自体が読めないときは、縦線で区切られた最初の数群を数え、問題の条件と照らし合わせます。

個別指導で確かめるなら、解答の不等式と引き算を見せてもらい、左端と右端に等しい場合をそれぞれ口頭で説明できるかを確かめます。値の計算で止まった場合は、群番号と群内の位置を別々に指し、規則のどこへ入れるかを確認します。式を書く前に、どの番号を求める問いなのかを問題文に印を付けて確かめる方法もあります。最後に求めた位置を前の合計へ足し戻せば、通し番号と群内の番号を区別したまま答えに戻れます。