高校数学B 階差数列—定期テストで隣り合う項の差を足して一般項に戻す｜武蔵野個別指導塾

初項から足す差の個数を図と例題で整理し、n=1にも戻して階差数列を読み解きます。

定期テスト前に数列の一般項を求め、階差を足した式を書いたところで、初項を足さずに答えとしてしまう。よくあるのは、そのような場面です。差の合計は最初の項からどれだけ変化したかを表します。目的の項そのものに戻すには、出発点の値が必要です。紙の上で項と項の間に差を書き込み、どこからどこまで進んだかを追ってみましょう。

差から問われること

出方の1つは、数列の初めの数項から隣り合う項の差を調べ、その差の規則を条件にして一般項を求める型です。数項から見つけた規則は予想なので、問題に続き方が指定されているかにも注意します。最初の数項が一致する数列は、別の続き方も作れるからです。

もう1つは、初項と階差の一般項が与えられ、指定された項や一般項を求める型です。この場合は差の規則を推測する必要はありません。どの差を何個足すかを決めてから計算します。さらに、途中の項と階差が与えられ、初項を逆算する型もあります。戻るときは差を引き、出発点を求めてから先へ進みます。

扱うのは隣り合う項の差と、その和による復元です。項を群に分けて並べる問題は扱いません。和の計算に必要な公式は途中で示し、添字が示す範囲と一緒に使います。

項の間に置く数

数列の第n項を aₙ とします。n は 1 以上の整数です。隣り合う項の差を bₙ = aₙ₊₁ − aₙ と定めると、bₙ は第n項から次の項への変化です。この b₁, b₂, b₃, … を元の数列の階差数列と呼びます。引く順序は「次の項 − 今の項」です。減るところでは差が負になるので、正の数に直してはいけません。

図1のように、a₁ から a₄ まで進むには、b₁、b₂、b₃ の3つを足します。4番目の項を求めるのに4個の差を足すわけではありません。差は項の間にあり、出発点と到着点を含めた項の個数より1個少なくなります。

実際に差を並べると、b₁ + b₂ + b₃ = (a₂ − a₁) + (a₃ − a₂) + (a₄ − a₃) = a₄ − a₁ です。途中の a₂ と a₃ は正負が対になって消えます。残るのは到着点から出発点を引いた値ですから、a₄ = a₁ + b₁ + b₂ + b₃ となります。

同じ考えで、n が 2 以上なら aₙ = a₁ + Σ[k=1からn-1] bₖ です。Σ は指定された k の値を順に代入して足す記号です。上端が n ではなく n-1 なのは、最後に使う差が aₙ − aₙ₋₁ だからです。n=1 では足す差がありません。まず a₁ をそのまま使い、後で得た式に 1 を代入して初項と一致するか調べます。

基本例題：差を表にして戻す

数列 aₙ は a₁ = 3、各 n について aₙ₊₁ − aₙ = 2n + 1 を満たします。一般項 aₙ と第5項を求め、整数の係数を使った式と整数でそれぞれ答えてください。

まず階差を bₙ = 2n + 1 と置きます。n に 1、2、3、4 を入れると、差は順に 3、5、7、9 です。初項 3 から進むと a₂ = 3 + 3 = 6、a₃ = 6 + 5 = 11、a₄ = 11 + 7 = 18、a₅ = 18 + 9 = 27 です。図2の矢印はそれぞれ左の項から右の項への変化を表します。

一般の n について、n が 2 以上のとき、初項に b₁ から bₙ₋₁ までを足します。

aₙ = 3 + Σ[k=1からn-1] (2k + 1)

和を2つに分けると、

aₙ = 3 + 2Σ[k=1からn-1] k + Σ[k=1からn-1] 1

となります。1 から m までの整数の和は m(m + 1)/2、1 を m 個足した和は m です。ここで m = n − 1 なので、

aₙ = 3 + 2(n − 1)n/2 + (n − 1)

= 3 + n(n − 1) + n − 1

= n² + 2

です。式を導く際は n が 2 以上としました。n=1 を代入すると 1² + 2 = 3 で、指定された初項にも一致します。したがって、一般項は n が 1 以上の整数について aₙ = n² + 2 です。第5項は 5² + 2 = 27 となり、順に足した結果とも一致します。

逆向きにも条件を調べます。式から aₙ₊₁ − aₙ = {(n + 1)² + 2} − (n² + 2) = 2n + 1 です。初項と各段の差がともに元の条件へ戻るので、単にいくつかの項が合っただけでなく、指定された数列を表していると確かめられます。

途中の項が出発点になる場合

数列 cₙ は c₄ = 20、各 n について cₙ₊₁ − cₙ = 3n − 2 を満たします。初項と一般項を求め、初項は整数、一般項は分数を含んでもよい式で答えてください。

初項が直接与えられていない点が、基本例題との分かれ目です。c₄ に至るまでの差は n=1、2、3 の3個です。それぞれ 1、4、7 なので、c₄ = c₁ + 1 + 4 + 7 です。よって c₁ = 20 − 12 = 8 です。c₄ から逆に進めるなら、c₃ = 20 − 7 = 13、c₂ = 13 − 4 = 9、c₁ = 9 − 1 = 8 としても求まります。

n が 2 以上のとき、

cₙ = 8 + Σ[k=1からn-1] (3k − 2)

= 8 + 3(n − 1)n/2 − 2(n − 1)

= (3n² − 7n + 20)/2

です。最後の式に n=1 を代入すると (3 − 7 + 20)/2 = 8 で初項にも合います。したがって、この式は n が 1 以上の整数で使えます。n=4 では (48 − 28 + 20)/2 = 20 となり、与えられた途中の項に戻ります。また、式から計算した cₙ₊₁ − cₙ は 3n − 2 です。分母が 2 でも各項は整数になり、この問題では分数の形のまま正確に扱えます。

初項を経由せず c₄ から先へ足す方法もあります。ただし、その場合は n が 5 以上なら差の範囲は k=4 から n-1 です。k=1 から足すと、すでに c₄ に含まれている変化を重ねて数えます。求める位置が出発点より前なら、対応する差を引く必要があります。

答えがずれたときの直し方

基本例題で、差の和 n² − 1 をそのまま一般項とすると誤りです。n=1 では 0 になり、問題の初項 3 と一致しません。差の和は aₙ − a₁ であり、aₙ 自体ではないことが原因です。図3のように、差の和に初項を加えると n² + 2 に直ります。n=5 でも差の和は 24、元の項は 3 + 24 = 27 と区別できます。

別の誤りは、Σ の上端を n にすることです。この和の最後には aₙ₊₁ − aₙ が含まれるため、初項を足した結果は aₙ₊₁ になります。たとえば第5項で差を5個足すと、第6項まで進みます。項の番号と差の番号を図に書いてから上端を決めると、1つ先へ進む間違いに気づけます。

符号にも注意します。階差が負なら、足す操作は項の値を減らします。差の絶対値を足すと元の数列に戻りません。また、一般項の式を n=1 に代入して合っていても、それだけで他の項が正しいとは限りません。初項に加え、隣り合う項の差も条件に一致するかを確かめます。

和の端を調べる小さな手順

一般項を作るとき、最初から Σ の式を書かず、求めたい項を1つ決めてみます。たとえば第4項なら、初項から第2項、第3項、第4項へと3回進みます。差の番号は1、2、3です。この具体的な並びを n に置き換えると、最後の差の番号は n-1 になります。第2項の場合には差が b₁ の1個となり、上端に 2-1 を入れた結果と一致します。

上端が n-1 と決まった後は、各成分を別々に数えます。たとえば階差が 4k + 3 なら、k の部分は 1 から n-1 までの和を4倍し、定数の部分は 3 を n-1 回足します。定数の部分を3とする誤りは、最初の1回しか数えていないことに相当します。和の記号の外に定数を書き出す前に、代入される k の個数を確認しましょう。

差の和を展開した式は、分数を含んでいても無理に小数へ直す必要はありません。n(n-1) は連続する2整数の積なので偶数です。そのため n(n-1)/2 は整数になります。式の形が整数に見えないことと、実際に整数にならないことは別です。正確な分数のまま整理すると、約分や初項の確認を追いやすくなります。

差の向きと出発点を変える

別の短い確認として、初項が 12 で差が順に -2、-1、0、1 と変化する数列を考えます。最初の5項は 12、10、9、9、10 です。差が0の箇所では隣の2項が等しく、負の差では次の項が小さくなります。値の大小だけを見て階差を正にそろえると、この並びを再現できません。

今度は第3項の 9 を出発点にすると、第5項までは差 0 と 1 を加えて 10 です。初項からの差 -2 と -1 をもう一度加えると、出発点までの変化を二重に数えてしまいます。反対に第3項から第1項へ戻るには、まず第2項から第3項への差 -1 を引き、次に第1項から第2項への差 -2 を引きます。9 − (-1) − (-2) = 12 と、元の出発点に戻れます。

このように、足すか引くかは差の符号だけで決めません。差は常に「右の項 − 左の項」と定め、右へ進むときはその差を足し、左へ戻るときはその差を引きます。負の差を引く場合は値が増えます。式の操作と項の並びを対応させると、符号を暗記に頼らず判断できます。

一般項を提出する前に

答えの点検では、初項と差の両方を使います。初項が合わなければ、足し忘れや定数項の整理を見直します。初項が合って差が違う場合は、和の上端や計算した係数を見直します。たとえば初項を合わせるため定数を直しただけでは、差の式の誤りは直りません。定数は隣り合う項を引くと消えるからです。

逆に、差が合っていても初項が違えば、数列全体が同じ量だけずれています。差の式は各段の変化を定めますが、出発点の高さは定めません。初項と差がともに一致すれば、初項から順に同じ変化をたどるので、それぞれの項が条件と一致します。問題が途中の項を与えるときは、その項も得られた式に戻して確かめます。

手を動かす問題

次の数列は、示された条件がすべての 1 以上の整数 n で成り立つものとします。一般項は n を用いた正確な式、指定された項は整数で答えてください。

1. p₁ = 4、pₙ₊₁ − pₙ = 2n とします。pₙ と p₆ を求めてください。
2. q₁ = 15、qₙ₊₁ − qₙ = 5 − n とします。qₙ と q₇ を求めてください。
3. r₃ = 10、rₙ₊₁ − rₙ = n + 2 とします。r₁ と rₙ を求めてください。
4. s₁ = -2、sₙ₊₁ − sₙ = 6 とします。sₙ と s₈ を求めてください。

解答と確かめ

1. n が 2 以上なら、pₙ = 4 + 2Σ[k=1からn-1] k = 4 + n(n − 1) です。n=1 でも 4 なので、pₙ = n² − n + 4 は n が 1 以上で成り立ちます。p₆ = 36 − 6 + 4 = 34 です。初項 4 に差 2、4、6、8、10 を足しても 34 です。式の隣り合う項の差は 2n で、条件に戻ります。

2. n が 2 以上なら、qₙ = 15 + 5(n − 1) − n(n − 1)/2 = (-n² + 11n + 20)/2 です。n=1 で 15 となるので初項にも合います。q₇ = (-49 + 77 + 20)/2 = 24 です。最初の6個の差は 4、3、2、1、0、-1 で、合計は 9 です。15 に足すと 24 となり、負の差も条件どおりに扱えています。一般項の差も 5 − n に一致します。

3. r₃ までの差は 3 と 4 ですから、r₁ = 10 − 3 − 4 = 3 です。n が 2 以上なら、rₙ = 3 + n(n − 1)/2 + 2(n − 1) = (n² + 3n + 2)/2 です。n=1 では 3、n=3 では 10 となります。式の差は n + 2 であり、途中の項と差の双方が与えられた条件に戻ります。

4. 差 6 を n-1 個足すので、n が 2 以上なら sₙ = -2 + 6(n − 1) = 6n − 8 です。n=1 でも -2 となります。s₈ = 48 − 8 = 40 です。初項から7回、6ずつ増やしても -2 + 42 = 40 です。隣り合う式の差は 6 なので、各段の変化にも合います。

持ち帰る4行

階差は「次の項 − 今の項」です。
初項から第n項までは n-1 個の差を足します。
n=1 は初項に戻して別に確認します。
得た式の隣り合う項の差も元の条件に戻します。

どこで止まったかを見分ける

差の式が作れない場合は、実際の2項を選び、右の項から左の項を引けているかを見ます。差は作れても一般項がずれる場合は、初項を書いた位置と最後の差の番号を確認します。和の式までは合うのに計算後にずれる場合は、定数を足した回数と分数の分母をたどります。

個別指導で確かめるなら、解答の完成形だけでなく、項の間に書いた差、Σ の上下端、n=1 の代入を順に見ます。途中の項を出発点とした問題では、どの差がすでにその項に含まれているかを説明できるかも確かめます。出発点と変化を分けて書けば、階差数列から元の項へ戻る道筋が見えます。