高校数学I 整式の整理と展開—項と次数を見分けて乗法公式を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

項と次数の数え方から、交差項を落とさない二次の乗法公式と置き換えまで、式の展開をたどります。

よくあるのは、定期テストの復習で展開した式を見直すと、2つの文字を掛け合わせた交差項を1つ落としている場面です。両端の二乗は書けても、間にできる積は見落としやすいものです。どの項とどの項を掛けたかを一度書き出し、同類項をまとめるところまで追うと、符号や係数の間違いにも気づけます。

式のどこを見て手を動かすか

この特集は数と式、集合と命題、二次関数、図形と計量、データの分析を扱います。この特集では数学Aの独立単元や数学II以降の内容は扱いません。ここでは整式の項と次数、二次の乗法公式、式をひとまとまりとして見る置き換えを扱います。三次の乗法公式には進まず、必要な積は分配法則から考えます。

定期テストでの出方には、まず与えられた整式を同類項で整理し、項や次数を答える型があります。次に、2つの括弧の積を展開して係数をまとめる型があります。さらに、共通する式を1つの文字に置き換え、見慣れた二次の形にしてから元に戻す型もあります。どの場合も、最後に問題が求めた文字について整理されているかを見ます。

式を見た瞬間に公式名だけを決める必要はありません。括弧の中が何項か、同じまとまりがあるかを先に見ると、どこに分配法則を使うかが決まります。公式が思い出せないときも、それぞれの項の積を順に書けば計算を進められます。

項と次数は何を数えるか

整式では、足し算の形に直したときの各部分を項と呼びます。例えば 4x² − 3xy + 2y − 5 は、4x²、-3xy、2y、-5 の4項です。引き算の直後の符号も項の一部として見ます。-3xy の係数は -3 です。文字を含まない -5 は定数項です。

図1のように、文字を掛けた回数を項ごとに数えます。4x² の次数は2、-3xy も x と y がそれぞれ1回ずつなので次数は2です。2y の次数は1、0でない定数項の次数は0です。整式の次数は、整理した後の0でない項の次数のうち最大のものです。この式の次数は2です。0だけの式の次数はここでは考えません。

図1では -3xy の符号を係数に含め、x と y の指数の和を次数として示しています。文字を2種類含むから次数が2なのではなく、指数の和が2です。例えば x²y なら次数は3です。x だけに着目した次数を問われた場合は、x の指数を見るという条件の違いにも注意します。

同類項は文字の種類とそれぞれの指数が同じ項です。2x² と -7x² は係数を足して -5x² にできますが、2x² と -7x はまとめられません。xy と yx はどちらも x と y の積なので同類項です。整理する前に最高次数の項が打ち消し合う場合もあります。例えば 3x² − 3x² + 4x は 4x なので、整理後の次数は1です。見かけの最大の指数を数える前に、係数が0にならないか調べます。

二次の乗法公式は、a と b を数や式として次のように使えます。

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²
• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

最初の式で 2ab が現れるのは、a と b の積が2回あるためです。符号が違う2つの括弧では、交差項 ab と -ab が打ち消し合います。結果だけを暗記するより、各項を1回ずつ掛けた結果として見れば、負号や係数が変わっても確かめられます。

公式を選ぶ前の小さな確認

括弧が同じ形で2回現れたら、二乗の公式を使う候補です。ただし、括弧内の2つの項に付いた符号まで含めて同じかを見ます。例えば (3u + v)² なら、3u 全体を a、v を b と見て 9u² + 6uv + v² です。3u の二乗は 3u² ではなく 9u² になります。係数にも二乗がかかるからです。交差項も 2・3u・v と書けば 6uv と求められます。

一方、(3u + v)(3u − v) は和と差の積です。分配して 9u² − 3uv + 3uv − v² と書けば、真ん中が消える理由が見えます。二乗の形と見間違えると、本来消える項を残してしまいます。公式に当てはめた後も、元の括弧の符号を指で追うと選び間違いを見直せます。

分数の係数があっても操作は同じです。例えば (w + 1/2)² では、交差項は 2・w・1/2 = w、定数項は (1/2)² = 1/4 です。したがって w² + w + 1/4 と正確に表せます。1/2 をそのまま定数項に残す誤りは、最後の項も二乗することを確認して直します。分数は途中で丸めず、分子と分母をそれぞれ掛けて扱います。

文字が複数ある式を整理するときは、どの文字についての次数かにも気を配ります。例えば 2r²s³ + 4r³s は、各項の次数がそれぞれ5と4なので、整式の次数は5です。r についての次数を問われれば、r の指数はそれぞれ2と3なので3です。同じ式でも問われた条件が違うと答えが変わります。項をまとめる作業と、次数を数える作業を別々に行うと混同を減らせます。

基本例題：4つの積を残してから整理する

次の式を展開し、x と y の整式として同類項をまとめて答えてください。

(2x − 3y)(x + 4y)

左の括弧の各項を、右の括弧の各項に掛けます。図2のように、2つの項それぞれから2本ずつ対応を取ると、積は4つです。マイナスを含む項は -3y とひとまとまりにします。

図2の対応を順に式にすると、次のようになります。

(2x − 3y)(x + 4y) = 2x・x + 2x・4y + (-3y)・x + (-3y)・4y = 2x² + 8xy − 3xy − 12y² = 2x² + 5xy − 12y²

2行目ではそれぞれの係数と文字を掛けています。3行目では 8xy と -3xy が同類項なので、係数の和を 8 − 3 = 5 としました。x² と y² は文字の指数の組が違うため、xy とまとめません。答えは 2x² + 5xy − 12y² です。

確認では、元の2つの括弧に x = 1、y = 1 を入れると、(-1)・5 = -5 です。整理した式も 2 + 5 − 12 = -5 になります。別の値でも必ず一致すること自体は分配法則で保証されており、代入は計算の見直しです。1組の値で一致しただけでは、式が常に等しいことの証明にはなりません。

途中で 8xy と -3xy を先に暗算しても構いません。ただし交差する2つの積のうち片方を書き忘れたとき、答えの 5xy を復元しづらくなります。誤りが続くときは4つの積を一行に並べ、それぞれがどの組から出たかを指でたどってください。積が負になる場所は、係数の符号を掛ける段階で確定させます。

少し難しい例題：同じまとまりを置く

次の式を展開し、x の整式として同類項をまとめて答えてください。

(x² − 2x + 3)(x² − 2x − 4)

両方の括弧に x² − 2x があります。ここを A と置くと、式は (A + 3)(A − 4) です。A を1つの文字として扱うと、分配法則から次のようになります。

(A + 3)(A − 4) = A² − 4A + 3A − 12 = A² − A − 12

ただし A のままでは x の整式になっていません。A = x² − 2x を戻し、二乗の中身にも分配法則を使います。

A² − A − 12 = (x² − 2x)² − (x² − 2x) − 12 = (x²)² − 2・x²・2x + (2x)² − x² + 2x − 12 = x⁴ − 4x³ + 4x² − x² + 2x − 12 = x⁴ − 4x³ + 3x² + 2x − 12

二乗の公式では a = x²、b = 2x と見ています。-(x² − 2x) の負号は括弧内の両項に掛かるので、-x² + 2x です。x = 0 を元の式に入れると 3・(-4) = -12、答えも -12 です。x = 1 でも元の式は 2・(-5) = -10、答えは 1 − 4 + 3 + 2 − 12 = -10 です。

置き換えが役立つ分かれ目は、2つの括弧に同じ式がそのまま見えるかどうかです。片方が x² − 2x、もう片方が x² + 2x なら、同じ A としてはいけません。置き換えず各項を掛けても同じ結果に到達しますが、項の組が多くなるため、何を掛けたかを記録します。共通部分が定数を含む場合も、同じ形にそろえた上で残りの定数を調整します。

誤答の発生場所を戻って直す

例えば (x − 5)² を x² + 25 とした答案を考えます。両端の項をそれぞれ二乗した結果は合っていますが、x と -5 を掛ける2通りを落としています。図3のように、同じ括弧を2つ並べると、交差項は -5x と -5x です。

図3の2つの交差項を加えると -10x です。したがって正しくは (x − 5)² = x² − 10x + 25 となります。x = 1 なら元の式は16、誤答は26、修正した式は16です。交差項が0になる値だけを代入するとこの誤りを見つけられないので、代入する際は文字を0以外にもしてみます。ただし、どんな代入でも見逃しがあり得るため、4つの積の点検を先に行います。

別の誤りは (x + 5)(x − 5) にも -10x を入れることです。この場合の交差項は -5x と +5x で、和は0です。二乗と和と差の積は括弧の符号が違います。片方だけを見て公式を選ばず、2つの括弧を並べてから積の符号を確かめてください。

また、計算結果の項数だけでは正否を判断できません。交差項が同類項として合わさる場合も、符号が反対で消える場合もあります。途中の積を省略した答案では、元の括弧から組を作り直し、書かれている項と照合します。係数が0になった項を最後の答えに残す必要はありませんが、消えた理由は途中式に残せます。

手を動かす問題

次の4問はすべて、指定された形で正確に答えてください。途中で小数に直す必要はありません。

1. 3a² − 2ab + 5a² + 4ab − 7 を同類項で整理し、a と b についての次数と定数項を整数で答えてください。
2. (3p + 2q)(p − 5q) を展開し、p と q の整式として同類項をまとめてください。
3. (2t + 3)² − (2t + 3)(2t − 3) を展開し、t の整式として同類項をまとめてください。
4. (z² + z − 2)(z² + z + 6) を展開し、z の整式として同類項をまとめてください。

答えとたどり方

1. 整理した式は 8a² + 2ab − 7、次数は2、定数項は -7 です。3a² + 5a² = 8a²、-2ab + 4ab = 2ab とします。a = 1、b = 1 を与えられた式に戻すと 3 − 2 + 5 + 4 − 7 = 3 で、整理後も 8 + 2 − 7 = 3 です。次数は整理後の各項について、a と b の指数を足して比べます。

2. 答えは 3p² − 13pq − 10q² です。分配すると 3p・p + 3p・(-5q) + 2q・p + 2q・(-5q) です。順に 3p² − 15pq + 2pq − 10q² となり、中央の係数を足します。p = 1、q = 1 なら元の積は 5・(-4) = -20、整理後も 3 − 13 − 10 = -20 です。負の積が2つあることも元の括弧で確認できます。

3. 答えは 12t + 18 です。最初の二乗は 4t² + 12t + 9、次の積は 4t² − 9 です。後者全体を引くので、4t² + 12t + 9 − (4t² − 9) = 12t + 18 となります。t = 1 を元の式に入れると 5² − 5・(-1) = 30、答えも 12 + 18 = 30 です。後ろの括弧を外す際に定数項の符号を変え忘れないようにします。

4. 答えは z⁴ + 2z³ + 5z² + 4z − 12 です。B = z² + z と置くと、元の式は (B − 2)(B + 6) = B² + 4B − 12 です。戻して (z² + z)² + 4(z² + z) − 12 = z⁴ + 2z³ + z² + 4z² + 4z − 12 とします。z = 1 のとき元の積は 0・8 = 0、答えも 1 + 2 + 5 + 4 − 12 = 0 です。置いた文字を戻した後も同類項の整理が必要です。

最後に残す目印

• 項は符号ごと見て、次数は整理後に数えます。
• 展開では左右の各項の組を漏らさず掛けます。
• 二乗の交差項は同じ積が2回現れます。
• 置き換えた文字を元に戻してから整理します。

答案を見直すとき、積の数が合わないのか、積はそろっていて同類項の符号が違うのかを分けてみてください。前者なら括弧の各項を線で結び、後者なら符号を含む係数だけを書き出すと、止まった場所が見えます。個別指導で確かめるなら、公式を言えるかに加え、なぜ交差項が2つ生じるか、置いた文字をどの行で戻すかを本人の言葉で説明してもらいます。説明の途中で積の対応が途切れた箇所が、次に練習する場所です。項の組を確かめる習慣が、展開の途中式を支えます。